人教版數(shù)學八年級上冊 全等三角形易錯題(Word版 含答案)

1、人教版數(shù)學八年級上冊全等三角形易錯題（Word版含答案）一、八年級數(shù)學軸對稱三角形填空題（難）1.如圖，點0是等邊ABC內(nèi)一點，ZAOB=110,ZBOC=a.以0C為一邊作等邊三角形OCD,連接AC、AD,當厶AOD是等腰三角形時，求a的角度為.【答案】110、125、140【解析】【分析】先求出ZDAO=50,分三種情況討論：AO=AD，則ZAOD=ZAD0,OA=OD,貝Z0AD=ZAD0，OD=AD，貝Z0AD=ZA0D，分另U求出a的角度即可.【詳解】解：設ZCBO=ZCAD=a,ZABO=b,ZBAO=c,ZCAO=d,則a+b=60,b+c=180-110=70,c+d=60,.

2、b-d=10,.（60-a）-d=10,.a+d=50,即ZDAO=50,分三種情況討論：AO=AD，貝yZAOD=ZADO,.190-a=a-60,.a=125；OA=OD，貝yZOAD=ZADO,.a-60=50,.a=110；OD=AD，貝yZOAD=ZAOD,.190-a=50,.a=140；所以當a為110、125、140時，三角形AOD是等腰三角形，故答案為：110、125、140.【點睛】本題是對等邊三角形的考查,熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)定理及分類討論是解決本題的關鍵.2.如圖，P為ZAOB內(nèi)一定點，M,N分別是射線OA,OB上一點，當APMN周長最小時，ZOPM二50,則ZAO

3、B二.【答案】40【解析】【分析】作P關于OA,OB的對稱點P1,P2.連接OP】，OP2.則當M,N是P1P2與OA,OB的交點時，APHN的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：ZOPM=ZOPM=50,OP=OP2=OP,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖：作P關于OA,OB的對稱點P1,P2.連接OP,OP2.則當M,N是P1P2與OA、OB的交點時，APHN的周長最短，連接PO、P2O,TPP關于OA對稱，AZP1OP=2ZMOP,OP1=OP,P1M=PM,ZOP1M=ZOPM=50同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP2,AZP1OP2=ZP1OP+ZP2OP=2(ZMOP

4、+ZNOP)=2ZAOB,OP1=OP2=OP,/.p1op2是等腰三角形.ZOP2N=ZOP1M=50,AZP1OP2=180-2x50=80,故答案為：40【點睛】本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，證得P1OP2是等腰三角形是解題的關鍵.3.如圖，在AABA中，ZB二20。，AB二AB，在AB上取點C，延長AA到A2,01011012使得AA2=AC；在A2C上取一點D，延長A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做JL乙JL乙JL乙J乙J乙法進行下去，第n個等腰三角形的底角上碼的度數(shù)為.【答案】（2）n-1-80解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NBA】A。的度數(shù)，再根據(jù)三角

5、形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出ZCA2A1，ZDA3A2及ZEA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第n個等腰三角形的底角ZAn的度數(shù).【詳解】解：在A0BA1中,ZB=20,A0B=A1B,NBA1A0=180-ZB_180-2022=80，va1a2=a1c,zba1a0是厶a1a2c的外角,ZBAA80.ZCAA=i_=40；2122同理可得，NDA3A2=20，NEA4A3=10，第n個等腰三角形的底角ZAn=（2）n-1-80.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出zca2a1,zda3a2及zea4a3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關鍵.4.如圖，點P

6、是ZAOB內(nèi)任意一點，OP=5,M,N分別是射線OA和OB上的動點，若PMN周長的最小值為5,貝ZAOB的度數(shù)為.BOA答案】30解析】分析】如圖：分別作點P關于OB、AO的對稱點P、P，分別連OP、OP、PP交OB、OA于M、N,則可證明此時APMN周長的最小，由軸對稱性，可證明厶POP為等邊三角形，1ZAOB=ZPOP=30.2解：如圖：分別作點P關于OB、AO的對稱點P、P，分別連OP、O、P交OB、OA于M、N，由軸對稱APHN周長等于PN+NM+MP=PN+NM+MP=PP由兩點之間線段最短可知，此時PMN周長的最小.PP=5由對稱OP=OP=OP=5.POP為等邊三角形.ZPOP=

7、60VZPOB=ZPOB，ZPOA=ZPOA1/.ZAOB=ZPOP=30.2故答案為30.【點睛】本題是動點問題的幾何探究題，考查最短路徑問題，應用了軸對稱圖形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì).5.等腰三角形頂角為30,腰長是4cm,則三角形的面積為【答案】4【解析】如圖，根據(jù)30角所對直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，可由等腰三角形的頂角為30，腰11長是4cm,可求得BD=AB=4x=2,因此此三角形的面積為：111S=ACBD=x4x2=8x=4(cm2)222故答案是：46.如圖，在ABC中，AB=AC,D、E是厶ABC內(nèi)的兩點，AE平分/BAC,ZD=ZDBC=60，若BD=5cm,DE=3cm,則

8、BC的長是cm.【答案】8.【解析】【分析】作出輔助線后根據(jù)等邊三角形的判定得出BDM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案.【詳解】解：延長DE交BC于M,延長AE交BC于N,作EFIIBC于F，TAB=AC,AE平分ZBAC,AN丄BC,BN=CN,TZDBC=ZD=60，.BDM為等邊三角形,.EFD為等邊三角形,TBD=5,DE=3,.EM=2,TBDM為等邊三角形,.ZDMB=60,TAN丄BC,.ZENM=90,.ZNEM=30,.NM=1,.BN=4,.BC=2BN=8（cm）,故答案為8【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)7.在AB

9、C中，ZACB=90,D、E分另lj在AC、AB邊上，把ADE沿DE翻折得至FDE,點F恰好落在BC邊上，若ACFD與ABFE都是等腰三角形，則ZBAC的度數(shù)為.【答案】45或60【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設ZBAC的度數(shù)為x,則ZB=90-x，ZEFB=135-x,ZBEF=2x-45，當厶BFE都是等腰三角形，分三種情況討論，即可求解.【詳解】VZACB=90，CFD是等腰三角形，.ZCDF=ZCFD=45,設ZBAC的度數(shù)為x,.ZB=90-x,/ADE沿DE翻折得到AFDE，點F恰好落在BC邊上，.ZDFE=ZBAC=x,.ZEFB=180-45-x=135-x,?ZADE=Z

10、FDE,.ZADE=(180-45)2=67.5,.ZAED=180-ZADE-ZBAC=180-67.5-x=112.5-x,AZDEF=ZAED=112.5-x,.ZBEF=180-ZAED-ZDEF=180-(112.5-x)-(112.5-x)=2x-45,/BFE都是等腰三角形，分三種情況討論：當FE=FB時，如圖1,貝kBEF=ZB,90-x=2x-45，解得：x=45；當BF=BE時，貝kEFB=ZBEF,.135-x=2x-45，解得：x=60,當EB=EF時，如圖2,貝S=ZEFB,135-x=90-x,無解，這種情況不存在.綜上所述：ZBAC的度數(shù)為：45或60.故答案是：

11、45或60.【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)定理,用代數(shù)式表示角度,并進行分類討論,是解題的關鍵.如圖，ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動。若點Q的運動速度為3厘米/秒，則當BPD與氐CQP全等時，v的值為【答案】2.25或3【解析】【分析】分兩種情況討論：若厶BPD9ACPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則BD=CQ=6厘米,11BP=CP=2BC=2x9=4.5（厘米），根據(jù)速度、路程、時間的關系即可求得；若9-vt=6BPD9ACQP，則CP=BD=6厘米，BP=CQ,

12、得出，解得：v=3.vt=3t【詳解】解：ABC中，AB=AC=12厘米，點D為AB的中點，.BD=6厘米，11若厶BPDCPQ，則需BD=CQ=6厘米，BP=CP=2BC=2X9=4.5（厘米），點Q的運動速度為3厘米/秒，點Q的運動時間為：63=2（s）,.v=4.5F2=2.25（厘米/秒）；若厶BPD9ACQP,則需CP=BD=6厘米，BP=CQ，9vt=6則有|vt=3t，解得：v=3.v的值為：2.25或3厘米/秒故答案為：2.25或3.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和線段垂直平分線的性質(zhì).注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.如圖，ZAOB=45，點M、點C在射線

13、OA上，點P、點D在射線OB上，且0D=3忑，則CP+PM+DM的最小值是.【答案】；3孑.【解析】【分析】如圖，作點C關于0B的對稱點，作點D關于OA的對稱點D，連接OC，PC，DM，OD，CD，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到OC=OC=2,OD=OD=3話2，CP=CP，DM=DM，ZCOD=COD=ZCOD=45，于是得至ICP+PM+MD=C+PM+DM三CD，當僅當C，P，M，D三點共線時，CP+PM+MD最小為CD，作CT丄DO于點幾于是得到結(jié)論.【詳解】解：如圖，作點C關于0B的對稱點C,作點D關于OA的對稱點D,連接0CPC,DM,0D,CD,貝y0C=0C=2,OD=OD=32,CP=

14、CP,DM=DM,ZC0D=COD=ZCOD=45,:,CP+PM+MD=C+PM+DMACD,當僅當C,P,M,D三點共線時，CP+PM+MD最小為CD,作CT丄D0于點T,則CT=OT=巨,:.DT=4込,cd=34,CP+PM+DM的最小值是V34.故答案為：34.【點睛】本題考查了最短路徑問題,掌握作軸對稱點是解題的關鍵.如圖，在第1個厶A1BC中，ZB=20,A1B=CB；在邊AB上任取一點D,延長CA1到A2，使A1A2=A1D,得到第2個AD；在邊A2D上任取一點E,延長A到A3，使A2A3=A2E,得到第3個AAE，按此做法繼續(xù)下去，第2019個等腰三角形的底角度數(shù)是（1201

15、8【答案】x8012丿O【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出ZBAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出ZDA2A1，ZEA3A2及ZFA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第2019個三角形中以a2019為頂點的內(nèi)角度數(shù).【詳解】解：在CBA1中，ZB=20,A1B=CB,180-ZB.ZBA,C=80，12va1a2=a1d，zba1c是厶a1a2d的外角，11AZDA2A1=-ZBA1C=-X80；11同理可得ZEA3A2=（-）2X80，ZFA4A3=（-）3X80，1第n個三角形中以An為頂點的底角度數(shù)是（-）n-1X80.1.第2017個三角形中以A2019為頂點

16、的底角度數(shù)是（-）2018X80，1故答案為：（-）2018X80【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出zda2a1，zea3a2及zfa4a3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關鍵.二、八年級數(shù)學軸對稱三角形選擇題（難）11.如圖，上MON=30。.點A,a2，A3，在射線ON上，點B1，B2，B3，在射線OM上,AA1B1A2，AA2B2A3，AA3B3A4，均為等邊三角形，若OA1=1,則AABA的邊長為（）201920192020A.22017B.22018C.22019D.22020【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和ZMON=30。，可求得/。呂

17、占二30。，進而證得AOA是等腰三角形，可求得0A2的長，同理可得aa2B是等腰三角形，可得A2B2=oA2，同理得規(guī)律AB=OA、AB二OA，即可求得結(jié)果.333nnn【詳解】解：ZMON=30。，AA1牛A?是等邊三角形，.ZBAA=60。，AB=AA121112.ZOBA=ZBAAZMON=30，11112.ZOB1A1=ZMON，則AOA1B是等腰三角形，.AB=OA，111OA=1，1:AB=AA=OA=1，OA=OA+AA=2，111212112同理可得AOAB是等腰三角形，可得AB=OA=2，2222同理得AB=4=AB=8=3，344根據(jù)以上規(guī)律可得：AB=22018，即AAB

18、2019A2020的邊長為2201820192019201920192020故選：B【點睛】本題屬于探索規(guī)律題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的三個內(nèi)角都是60等角對等邊和探索規(guī)律并歸納公式是解題的關鍵.12.如圖，ZAOB=Q，點p是ZAOB內(nèi)的一定點，點M,N分別在OA、OB上移動,當APMN的周長最小時，ZMPN的值為（）A.90+aB.90C.180aD.1802a2cooo【答案】D【解析】【分析】過P點作角的兩邊的對稱點，在連接兩個對稱點，此時線段與角兩邊的交點，構(gòu)成的三角形周長最小.再根據(jù)角的關系求解.【詳解】解：過P點作OB的對稱點弋，過P作

19、OA的對稱點咒，連接PP2，交點為M，N，則此時PMN的周長最小，且p比和厶PMP?為等腰三角形.此時ZPJPp=180-a；設ZNPM=x，則180-x=2（ZpP-x。）所以x=180-2a【點睛】求出M,N在什么位子PMN周長最小是解此題的關鍵.13.如圖，AABC的周長為32,點D、E都在邊BC上，ZABC的平分線垂直于AE,垂足為Q,ZACB的平分線垂直于AD，垂足為P,若BC=12，則PQ的長為（）AA.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】首先判斷BAEACAD是等腰三角形，從而得出BA=BE，CA=CD，由ABC的周長為32以及BC=12，可得DE=8,利用中位線定理可

20、求出PQ.【詳解】VBQ平分ZABC,BQ丄AE,.ZABQ=ZEBQ,VZABQ+ZBAQ=90,ZEBQ+ZBEQ=90,.ZBAQ=ZBEQ,.AB=BE，同理：CA=CD,.點Q是AE中點，點P是AD中點（三線合一），.PQ是厶ADE的中位線，.BE+CD=AB+AC=32-BC=32-12=20,.DE=BE+CD-BC=8,PQ=-DE=4.2故選：B.【點睛】本題考查了三角形的中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)和判定,解答本題的關鍵是判斷出BAE、ACAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)確定PQ是AADE的中位線.14.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC，ZABD=60，ZADB=

21、75，ZBDC=30，則ZDBC=()A.15B.18C.20D.25【答案】A【解析】【分析】延長BD到M使得DM=DC，由厶ADMADC，得AM=AC=AB，得AMB是等邊三角形,得ZACD=ZM=60。，再求出ZBAO即可解決問題.【詳解】如圖，延長BD到M使得DM=DC.VZADB=75，.ZADM=180-ZADB=105.VZADB=75，ZBDC=30，.ZADC=ZADB+ZBDC=105，：.ZADM=ZADC.在厶ADM和ADC中，AD=ADZADM=ZADC，、DM=DC.admAadc,.AM=AC.AC=AB，.AM=AC=AB，ZABC=ZACB.ZABD=60,.

22、AMB是等邊三角形，:.ZM=ZDCA=60.VZDOC=ZAOB,ZDCO=ZABO=60,ZBAO=ZODC=30.VZCAB+ZABC+ZACB=180,A30+2(60+ZCBD)=180,:,ZCBD=15.故選：A.【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解決問題的關鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形,題目有一定難度.15.如圖，AABC中，AB的垂直平分線DG交ZACB的平分線CD于點D，過D作DE丄AC于點E，若AC=10，CB=4，則AE=（）A.7B.6C.3D.2【答案】C【解析】【分析】連接BD、AD,過點D作DF丄CB于點F,利用角平分線及線

23、段垂直平分線的性質(zhì)可求出BD=AD,DE=DF，依據(jù)HL定理可判斷出RtAAEDRtABFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BF=AE，再運用AAS定理可證得RtCEDRtCFD，證出CE=CF，設AE的長度為x,根據(jù)CE=CF列方程求解即可.【詳解】如圖，連接BD、AD,過點D作DF丄CB于點F.BD=AD,DE=DF.：RtAAED9RtABFD.BF=AE.又,ZECD=ZFCD,ZCED=ZCFD,CA=CA,：RtACED9RtACFD,.CE=CF,設AE的長度為x,則CE=10-x,CF=CB+BF=CB+AE=4+x,.可列方程10-x=4+x,x=3,.AE=3；故選C.【點睛

24、】本題涉及到線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì),直角三角形全等的判定定理及性質(zhì),解答此題的關鍵是作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形解答.在平面直角坐標系中，等腰ABC的頂點A、B的坐標分別為(1,0)、(2,3),若頂點C落在坐標軸上，則符合條件的點C有()個A.9B.7C.8D.6【答案】C【解析】【分析】要使ABC是等腰三角形，可分三種情況(若CA=CB，若BC=BA,若AC=AB)討論,通過畫圖就可解決問題.【詳解】若CA=CB，則點C在AB的垂直平分線上.TA(1,0),B(2,3),AB的垂直平分線與坐標軸有2個交點C】，C2.若BC=BA，則以點B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標軸有3個交點(

25、A點除外)C3，C4,C5；若AC=AB,則以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點C6，C7，C8，C9.而C8(0,-3)與A、B在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，故此時滿足條件的點有3個.綜上所述：符合條件的點C的個數(shù)有8個.故選C【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識，還考查了動手操作的能力，運用分類討論的思想是解答本題的關鍵如圖，已知等邊OABC的邊長為4,面積為4朽，點D為AC的中點，點E為BC的中點，點P為BD上一動點，則PE+PC的最小值為（）【答案】C【解析】【分析】由題意可知點A、點C關于BD對稱，連接AE交BD于點P,由對稱的性質(zhì)可得，PA

26、=PC,故PE+PC=AE，由兩點之間線段最短可知，AE即為PE+PC的最小值.【詳解】解：ABC是等邊三角形，點D為AC的中點，點E為BC的中點，BD丄AC，EC=2,連接AE，線段AE的長即為PE+PC最小值，T點E是邊BC的中點，AE丄BC，PE+PC的最小值是弋ACEC2=*422=23.故選C.點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵.18.如圖，ABC，AB=AC，ZBAC二56。，ABAC的平分線與AB的垂直平分線交于0,將ZC沿EF（E在BC上,F在AC上）折疊，點C與0點恰好重合，則ZOEC的度數(shù)為（）A.132。B.130。C.112。D

27、.110?！敬鸢浮緾【解析】【分析】連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出ZBAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出ZABC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角可得ZABO=ZBAO,再求出ZOBC,然后判斷出點O是ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC，再根據(jù)等邊對等角求出ZOCB=ZOBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE，然后根據(jù)等邊對等角求出ZCOE，再利用三角形內(nèi)角和定理列式計算即可得出答案.【詳解】如圖，連接OB、OC，TABAC=56。,AO為ABAC的平分線.ABAO=-ABAC=-x56。=28。22ZABC二280-ZBACL2Go-56L62:DO是AB的垂直平分線，OA=OB.ZABO=ZBAO=28。,ZOBC=ZABCZABO=62。-28。=34。:DO是AB的垂直平分線，AO為ZBAC的平分線.點0是ABC的外心，OB=OC，ZOCB=ZOBC=34。，.將ZC沿EF（E在BC上,F在AC上）折疊，點C與點0恰好重合OE=CE，ZCOE=ZOCB=34。，在NOCE中，ZOEC=180。ZCOEZOCB=180。34。-34。=112?！军c睛】本題主要考查了線段垂直平分線上的點