2021年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁，總 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 20 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 頁2021年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，找兩個集合的公共元素，即可得.【詳解】因為，所以.故選：B.2函數(shù)的定義域是（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，列不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，所以.故選：C.3（ ）ABCD【答案】B【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可得答案.【詳解】.故選：B.4以為直徑端點的圓方程是（ ）ABC

2、D【答案】D【分析】由中點坐標(biāo)公式求圓心坐標(biāo)，再求半徑即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得的中點即為圓心坐標(biāo)，為，半徑為，所以以為直徑端點的圓方程是.故選：D.5某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體為三棱柱，由三視圖得幾何元素的長度，由三棱柱的體積公式求出幾何體的體積.【詳解】如圖，由三視圖可知該幾何體是一個平放的三棱柱，底面三角形的底邊長為，高為，幾何體的高為，所以三棱柱的體積為.故選：A.6不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題意得，再解絕對值不等式即可得答案.【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，進(jìn)而得，即.故選

3、：A.7若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值是（ ）A2B4C5D6【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)滿足的約束條件畫出可行域，將，轉(zhuǎn)化為，平移直線，由直線在y軸上的截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值求解.【詳解】由實數(shù)滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將，轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線在y軸上的截距最大，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值是5，故選：C8若直線與平行，則與間的距離是（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)與平行，列式求解得，利用平行線間的距離公式代入求解即可.【詳解】因為與平行，所以，得，所以，所以與間的距離為.故選：C.9在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）AB或CD或【答案】D【分

4、析】根據(jù)，利用正弦定理得到求解.【詳解】因為在中，所以因為，所以，因為則,或故選：D10已知平面和直線，則下列說法正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】C【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，若，則或相交，故A選項不正確；對于B選項，若，則或相交，故B選項不正確；對于C選項，若，則，為面面垂直的判定定理，故C選項正確；對于D選項，若，則，故D選項不正確.故選：C.11若，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合，和充分，必要條件的概念求解即可.【詳解】解：當(dāng)，由于，故充分性成立

5、；當(dāng)，不妨設(shè)，成立，不成立，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.12函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCD【答案】A【分析】先根據(jù)條件分析出的奇偶性，然后取特殊值計算函數(shù)值分析得到的大致圖象.【詳解】因為，且的定義域為關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)，所以排除BC，又因為當(dāng)且較小時，可取，所以，所以排除D，故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式辨別函數(shù)圖象，難度一般.辨別函數(shù)圖象的常用方法：分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，計算特殊值的大小等.13已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（ ）ABCD【答案】D【分析】首先通過列舉數(shù)列的項，得到數(shù)列是周期數(shù)列，利用周期判斷選項.【詳解】，所以數(shù)列是以3為

6、周期的周期數(shù)列，前三項和，所以，所以.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推公式，列舉數(shù)列中的項，判斷數(shù)列是周期數(shù)列.14如圖，正方體中，分別為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【分析】取的中點，連接,可得四邊形為平行四邊形，所以，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，在中由余弦定理可求解.【詳解】取的中點，連接由分別為的中點，則且在正方體中且,所以且所以四邊形為平行四邊形，所以 則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角.設(shè)正方體的棱長為2，則在中，, 所以故選：A【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸

7、為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角15某簡諧運動的圖象如圖所示.若兩點經(jīng)過秒后分別運動到圖象上兩點，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）ABCD【答案】B【分析】簡諧運動的圖象求出三角函數(shù)的表達(dá)式，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示逐一驗證四個選項即可得正確答案.【詳解】設(shè)，由圖知，解得，所以，假設(shè)，則即，對于選項A：，所以，故選項A成立；對于選項

8、B：，顯然最大值為，不成立，故選項B不成立；對于選項C：，所以，故選項C成立；對于選項D：，所以，因為，所以，即，所以，故選項D成立，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是求出三角函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)點與點時間間隔相差秒，若設(shè)，則這是解題的關(guān)鍵點.16已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）ABCD【答案】D【分析】令，利用代數(shù)式法結(jié)合零點存在定理得出函數(shù)的零點，然后作出函數(shù)，直線、的圖象，觀察三條直線、與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解】令.當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，由零點存在定理可知，存在，使得；當(dāng)時，由，解得，.作出函數(shù)，直線、的圖象如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象

9、有兩個交點；直線與函數(shù)的圖象有兩個交點；直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點.綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：D.【點睛】思路點睛：求解復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)，步驟如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)；（2）求出外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)的交點個數(shù)，由此可得到原函數(shù)的零點個數(shù)為.17如圖，橢圓的右焦點為分別為橢圓的上下頂點，是橢圓上一點，記橢圓的離心率為，則（ ）ABCD【答案】B【分析】首先求直線方程，并求點的坐標(biāo)，根據(jù)，整理為關(guān)于的齊次方程，再求.【詳解】，則，所以直線，與橢圓方程聯(lián)立，所以點的橫坐標(biāo)是，即，整理為：，兩邊同時除以得：，所以，得，或（舍）.故選：B【點睛】方法點睛：本

10、題考查求橢圓離心率，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.18如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】補(bǔ)全底面為正方形ABCG，由正方形性質(zhì)有面面，進(jìn)而可證為平行四邊形，則為直線與平面所成角，中由余弦定理知，結(jié)合棱錐側(cè)面為全等三角形知，即可求的取值范圍.【詳解】由，將底面補(bǔ)全為正方形ABCG，如下圖示，O為ABCG對角線交點且，又有，面，而面，故面面，若H為DG的中點，連接FH，又為棱的中點，則且，而，有平行且相等，即為平行四邊形.可將平移至，直

11、線與平面所成角為，且中，令，即，中，即，即，解得（舍去），綜上有，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：補(bǔ)全幾何體，應(yīng)用正方形、中位線、平行四邊形性質(zhì)，根據(jù)線面角的定義確定對應(yīng)的平面角，結(jié)合余弦定理及空間角的范圍，求線面角的范圍.二、填空題19已知平面向量滿足，則_.【答案】【分析】根據(jù)，由求解.【詳解】因為，所以，故答案為：20如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡稱大圓)和兩個互相外切且半徑相等的圓(簡稱小圓)的半圓弧組成，兩個小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長為8，則以兩個小圓的圓心(圖中兩個黑白點視為小圓的圓心)

12、為焦點，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實軸長是_.【答案】【分析】由題得雙曲線的漸近線方程為，故，進(jìn)而得，故實軸為.【詳解】解：以兩焦點所在直線為軸，兩焦點所在線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，進(jìn)而得.故雙曲線的實軸長為：.故答案為：【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)題意得該雙曲線的漸近線為，進(jìn)而求解，考查數(shù)學(xué)建模能力與運算求解能力，是中檔題.21已知，若存在實數(shù)，使得成立，則的取值范圍是_.【答案】【分析】不等式兩邊同除以b，先將題意轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，設(shè)，即且，再求出函數(shù)對應(yīng)最值即得結(jié)果.【詳解】解：因為

13、，故不等式兩邊同除以b，得，令，即不等式在上有解.去絕對值即得，即 即在上有解，設(shè)，即且即可，由在上，即，故；由，利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故，即，故，綜上：t的取值范圍是，即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)（或范圍）時的常用方法：（1）對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.三、雙空題22設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為.若，則_，_.【答案】4 21 【分析】首先根據(jù)得到，再計算即可.【詳解】因為，所以.故答案為：；四、

14、解答題23已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期；（3）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）本題將代入中進(jìn)行計算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可通過兩角和的正弦公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后通過周期計算公式即可得出結(jié)果；（3）本題首先可根據(jù)得出，然后通過正弦函數(shù)性質(zhì)即可求出值域.【詳解】（1），即.（2），故的最小正周期.（3）因為，所以，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，故在上的值域為.24如圖，直線與圓相切于點，與拋物線相交于不同的兩點，與軸相交于點.（1）若是拋物線的焦點，求直線的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由為拋物線焦點，即可設(shè)直線

15、的方程為，根據(jù)直線與圓相切可求k值，寫出直線方程.（2）設(shè)直線的方程為，由直線上兩點距離公式可知，根據(jù)直線與圓相切、求，切線性質(zhì)：直線與互相垂直及即可求的值.【詳解】（1）因為是拋物線的焦點，所以，即，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，得，即，所以，直線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由，得，.由直線與圓相切，得，即.由，得.所以，又，解得.由直線與互相垂直，得，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）由過拋物線焦點的直線與圓相切求斜率，寫出直線方程.（2）由直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長公式、點線距離公式、兩直線垂直的性質(zhì)求參數(shù)值.25設(shè)，已知函數(shù).（1）若是奇函數(shù)，求的值；（2）當(dāng)時，證明：；（3）設(shè)，若實數(shù)滿足，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）由于函數(shù)的定義域為，進(jìn)而結(jié)合奇函數(shù)即可得；（2）采用作差