概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題課答案(經(jīng)管系 吳贛昌編)1

1、第一章 概率論的基本概念1隨機(jī)試驗(yàn)2 樣本空間隨機(jī)事件定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的 樣本空間，記為S=e，稱S中的元素e為樣本點(diǎn)定義： ：試驗(yàn)E的樣本空間S的子集稱為隨機(jī)事 件， 簡(jiǎn)稱事件.通常用A、B、C表示. ：在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)事件中的一 個(gè)樣 本點(diǎn)出現(xiàn)，稱該事件發(fā)生。 ：?jiǎn)蝹€(gè)樣本點(diǎn)組成的事件稱為基本事件. ：樣本空間S稱為必然事件. ：空集稱為不可能事件.事件間的關(guān)系：包含、相等、互不相容事件運(yùn)算：并、交、差、對(duì)立；運(yùn)算性質(zhì)：交換律：ABBA ABBA結(jié)合律：A（BC）（AB）C A（BC）（AB）C分配律：A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC）德.

2、摩根律： 符號(hào)集合概率S空間樣本空間（必然事件）空集不可能事件eSS中的元素樣本點(diǎn) e 單點(diǎn)集基本事件A SS的子集事件AA B集合A包含在集合B中事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生A= B集合A與B相等事件A與事件B相等A B集合A與B的并集事件A與B至少發(fā)生一個(gè)A B集合A與B的交集事件A與B同時(shí)發(fā)生A B= 集合A與B無(wú)共同元素事件A與B不能同時(shí)發(fā)生集合A的補(bǔ)集事件A不發(fā)生A- B集合A與B的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生例：設(shè)A、B、C表示三個(gè)事件，試用A、B、C的運(yùn)算表示下列事件：僅A發(fā)生；A、B、C都不發(fā)生；A、B、C都發(fā)生；A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生；A、B、C恰有一個(gè)發(fā)生。解： 3 頻率與概率

3、(2) P(S )= 1 ， (3) 若事件A1 , A2 , , An , 兩兩互不相容，則有(1) 若事件A ，有 P(A) 0 ， 設(shè)E 是隨機(jī)試驗(yàn)， S 是它的樣本空間, 對(duì)于E 的每個(gè)事件A 賦予一實(shí)數(shù)，記為P(A ) ,稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(.) 滿足下列條件：概率的公理化定義 定義非負(fù)性 正則性 可列可加性 性質(zhì)1. P()=0性質(zhì)2. (有限可加性) 若A1 , A2 , , An 兩兩互不相容，則有 P( A1 A2 An )= P(A1) +P( A2 ) + +P( An )性質(zhì)5. (余概公式 ) 對(duì)任何事件 A， 有 P( )= 1-P(A) . 性質(zhì)3.

4、 任意事件 A, B有 P( B-A )= P(B) - P(AB). (差概公式)推論 若A B, 有 P( B-A )= P(B) - P(A)，且P(A) P(B) . (單調(diào)性) 性質(zhì)6. (加法公式) 對(duì)任意事件 A，B ， A1 , A2 , , An 有 P( A B )= P(A) +P( B)- P( AB) , 性質(zhì)4. 對(duì)任何事件 A， 有 P(A) 1. 則稱n(A)為事件A 發(fā)生的頻數(shù),稱比值 為事件 A 在 n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率, 定義1 如果在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中事件A 發(fā)生了n(A)次, 記為 f n ( A )，即A 發(fā)生的頻繁程度 穩(wěn)定值確定概率的頻率方法基

5、本性質(zhì)(3) 設(shè)A1, A2, , Ak 兩兩互不相容的事件，則非負(fù)性 正則性 有限可加性 即滿足公理化定義. 4 等可能概型 ( 古典概型 )-確定概率的古典方法 古典方法的基本思想 ：(1) 樣本空間 S 只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)， (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等， 等可能性這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題 .設(shè)事件 A 由 k 個(gè)樣本點(diǎn)組成 ，即則 A 的概率為：稱此概率為古典概率. 這種確定概率的方法稱為古典方法 . 當(dāng)樣本空間S 有無(wú)限多個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，并且S 可表示為一個(gè)有度量的幾何區(qū)域時(shí), 就形 成了確定概率的另一方法幾何方法. 它類似于古典概率，仍用“事件的概率”等于“部分”比

6、“全體”的方法來(lái)規(guī)定事件的概率.不過(guò)現(xiàn)在的“部分”和“全體”所包含的樣本點(diǎn)是無(wú)限的. 早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.1.2.5 確定概率的幾何方法定義 若隨機(jī)現(xiàn)象 E 具有以下兩個(gè)特征：(1) E 的樣本空間有無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn)，且可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。 則事件A的概率為： 有度量的區(qū)域S事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域仍以A表示長(zhǎng)度面積體積 S . .1933年, kolmogorov 柯爾莫哥洛夫 無(wú)限個(gè)等可能樣本點(diǎn) 有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)克服等可能觀點(diǎn)不易解決的問(wèn)題 公理化 定義幾何 定義 頻率 定義古典定義 B設(shè)A

7、、B是兩個(gè)事件， A為在事件 A 發(fā)生的條件下, 事件 B 的條件概率.定義且 P(A) 0, 則稱 AB在事件A 已發(fā)生的條件下,為使 B 也發(fā)生, 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 A 中又在 B 中的樣本點(diǎn) ,即此點(diǎn)必屬于AB.條件概率是概率滿足概率的三條公理用古典概型的思想去理解：5 條件概率例題涉及 A與 B 同時(shí)發(fā)生時(shí)， 用P(AB)； 有主從關(guān)系時(shí)， 用P(A|B). = ,2) 在減縮的樣本空間中 (加入條件后改變了的情況)直接計(jì)算. 1) 在原樣本空間中直接用定義計(jì)算:P(A)0； 例2一盒中裝有4只產(chǎn)品，其中3只為一等品, 1只為二等品。從中不放回的抽取兩次，每次取1只產(chǎn)品，A表示第一次

8、取到的是一等品，B表示第二次取到的是一等品，求條件概率P(B|A) .2A 發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B 所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)條件概率的計(jì)算解:方法 1)用定義計(jì)算P(A) P(AB)3 4 方法 2)S 的點(diǎn)數(shù) 4= 3由條件概率的定義即 若P(B)0, 則 P(AB)= P(B)P(A|B) (1)若已知P(B), P(A|B)時(shí), 可以反求P(AB).對(duì)調(diào)A、B的位置，則有 (1)和(2)式統(tǒng)稱為乘法公式 , 利用它可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率二、 乘法公式即 若P(A)0, 則 P(BA)= P(A)P(B|A) (2)推廣到多個(gè)事件的乘法公式:當(dāng) P(A1A2An-

9、1) 0 (?)時(shí)，有P(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1)(5.5) 例4* 設(shè)有 100 件產(chǎn)品，其中有 10 件次品. 現(xiàn)從中連續(xù)取3次，每次不放回地取 1 件，求第 3 次才取到次品的概率. 則所求概率為： 解 設(shè) Ai =第 i 次取到的是次品,i =1, 2, 3. P(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1)乘法公式 設(shè) B1, B2, , Bn 是 的一個(gè)分割，且(三) 全概率公式定義 若 n 個(gè)事件 B1, B2, , Bn互不相容，且滿足則稱 B1, B2,

10、 , Bn 為 的一個(gè)分割（或劃分）. P(Bi) 0， i = 1, 2, , n , 對(duì)任一事件 A ，顯然 A = A 則AB2B1B3Bn -1Bn定理： 有 全概(率)公式 “全”部概率 P(A) 被分解成了許多部分之和最簡(jiǎn)單形式：若 0P(B) 0, i =1, 2, , n ，如果P (A) 0 , 則即 P(Bi|A). 證明：由條件概率、乘法公式和全概率公式可得知“結(jié)果”求“原因”例6 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明：當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98%；而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，產(chǎn)品的合格率為55%；每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格

11、品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？解：設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”， B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”。則0.98,0.55,0.95,0.05,所求的概率為先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率 定義 若事件A, B 滿足P(AB)= P(A)P(B), 則稱事件 A 與 B 相互獨(dú)立 . 簡(jiǎn)稱獨(dú)立 .6 事件的獨(dú)立性不可能事件與任一事件都是相互獨(dú)立的一般地 P(A|B) P(A)例子 在擲兩顆色子的試驗(yàn)中，記 A =第一顆色子的點(diǎn)數(shù)為1， B =第二顆色子的點(diǎn)數(shù)為4。很顯然，事件B發(fā)生, 并不影響事件A 發(fā)生的概率. 即 P(A|B)= P(A)。 在條件 P(B)0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B). 在條件 P(A)0下， P(B|A)= P(B) P(AB)=P(A)P(B). 實(shí)際應(yīng)用中往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判斷兩事件是否獨(dú)立 如果對(duì)其中任意一組事件 (12)個(gè)事件兩兩獨(dú)立 相互獨(dú)立結(jié)論: 若事件 A1, A2, ,An 相互獨(dú)立，將其中的任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件，則所得的 n 個(gè)事件仍相互獨(dú)立 . 直接計(jì)算作業(yè)古典概型幾何概率條件概率Bayes公式全概率公式乘法公式P(AB)=