考研數(shù)學二歷年真題詳解2003-2012

1、2012年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一、選擇題:1-8小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個選項中,只有一個選項吻合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定地址上.(1)曲線yx2x的漸近線條數(shù)()x21(A)0(B)1(C)2(D)3(2)設函數(shù)f(x)(ex1)(e2x2)L(enxn)，此中n為正整數(shù),則f(0)()(A)(1)n1(n1)!(B)(1)n(n1)!(C)(1)n1n!(D)(1)nn!(3)設an0(n1,2,3L),Sna1a2a3Lan，則數(shù)列Sn有界是數(shù)列an收斂的()(A)充分必需條件(B)充分非必需條件(C)必需非充分條件(D)非充分也非必

2、需(4)設Ikkex2sinxdx,(k1,2,3),則有0()(A)I1I2I3(B)I3I2I1(C)I2I3I1(D)I2I1I3(5)設函數(shù)f(x,y）為可微函數(shù)，且對任意的x,y都有(x,y)0,(x,y)0,則使不等式xyf(x1,y1)f(x2,y2)建立的一個充分條件是()(A)x1x2,y1y2(B)x1x2,y1y2(C)x1x2,y1y2(D)x1x2,y1y2(6)設地域D由曲線ysinx,x,y1圍成，則(x5y1)dxdy2D()(A)(B)2(C)-2(D)-0011(7)設0,1,1,1,此中c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)，則以下向量組1234c1c2c3c4

3、線性相關的為()(A)1,2,3(B)1,2,4(C)1,3,4(D)2,3,4100(8)設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P1AP010.若P1,2,3，002Q12,2,3則Q1AQ()100100200200(A)020(B)010(C)010(D)020001002002001二、填空題：9-14小題,每題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定地址上.(9)設yy(x)是由方程x2y1ey所確立的隱函數(shù)，則d2yx0.dx2(10)limn11L122222n1n2nnn.(11)設zflnx1,此中函數(shù)fu可微，則xzy2z.yxy(12)微分方程ydxx3y2dy0滿足條件yx

4、11的解為y.(13)曲線yx2xx0上曲率為2的點的坐標是.2(14)設A為3階矩陣，A=3，A*為A陪伴矩陣，若交換A的第1行與第2行得矩陣B，則BA*.三、解答題：15-23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定地址上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(此題滿分10分)已知函數(shù)f1x1limfx，x，記asinxxx0(I)求a的值;(II)若x0時，fxa與xk是同階無量小，求常數(shù)k的值.(16)(此題滿分10分)x2y2求函數(shù)fx,yxe2的極值.(17)(此題滿分12分)過(0,1)點作曲線L:ylnx的切線,切點為A,又L與x軸交于B點,地域D由L與直線AB圍成,

5、求地域D的面積及D繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積.(18)(此題滿分10分)計算二重積分xyd，此中地域D為曲線r1cos0與極軸圍成.D(19)(此題滿分10分)已知函數(shù)f(x)滿足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex,(I)求f(x)的表達式;(II)求曲線yf(x2)xt2)dt的拐點.f(0(20)(此題滿分10分)證明xln1xcosx1x2,(1x1).1x2(21)(此題滿分10分)(I)證明方程xn+xn-1Lx1n1的整數(shù)，在區(qū)間1,1內有且僅有一個實根；2(II)記(I)中的實根為xn，證明limxn存在，并求此極限.n(22)(此題滿分11分)1a00

6、1設A01a0，1001a0a0010計算行列式A；(II)當實數(shù)a為什么值時，方程組Ax有無量多解，并求其通解.(23)(此題滿分11分)101已知A011x1,x2,x3xTATAx的秩為10，二次型f2，a0a1務實數(shù)a的值；求正交變換xQy將f化為標準形.2011年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一、選擇題：18小題，每題4分，共32分。以下每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定地址上。（1）已知當x0時，函數(shù)f(x)3sinxsin3x與cxk是等價無量小，則（）（A）k1,c4（B）k1,c4（C）k3,c4（D）k3,c4（2）設

7、函數(shù)f(x)在x0處可導，且f(0)0，則limx2f(x)32f(x3)（）x0 x（A）2f(0)（B）f(0)（C）f(0)（D）0（3）函數(shù)f(x)ln(x1)(x2)(x3)的駐點個數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）微分方程y2yexex(0)的特解形式為（）（A）a(exex)（B）ax(exex)（C）x(aexbex)（D）x2(aexbex)（5）設函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導數(shù)，滿足f(0)0，g(0)0，f(0)g(0)0則函數(shù)zf(x)g(y)在點(0,0)處獲得極小值的一個充分條件是（）（A）f(0)0，g(0)0（B）f(0)0，g(0)0（C）

8、f(0)0，g(0)0（D）f(0)0，g(0)0（6）設I4lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，則I，J，K的大小關系為（）000（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI（7）設A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第3行得單位矩100100陣。記P110，P001，則A=（）12001010（A）P1P2（B）P11P2（C）P2P1（D）P2P11（8）設A(1,2,3,4)是4階矩陣，A*為A的陪伴矩陣。若(1,0,1,0)T是方程組Ax0的一個基礎解系，則A*x0的基礎解系可為（）（A）1,3（B）1,2（C）1,2,3（D

9、）2,3,4二、填空題：914小題，每題4分，共24分。請將答案寫在答題紙指定地址上。x1x12。（9）lim2x0（10）微分方程yyexcosx滿足條件y(0)0的解為y。（11）曲線yxtantdt(0 x)的弧長s0。4（12）設函數(shù)f(x)ekx,x0,0，則xf(x)dx。0,x0,（13）設平面地域D由直線yx，圓x2y22y及y軸所圍成，則二重積分xyd。D（14）二次型f(x1,x2,x3)x123x22x322x1x22x1x32x2x3，則f的正慣性指數(shù)為。三、解答題：1523小題，共94分。請將解答寫在答題紙指定地址上，解答應字說明、證明過程或演算步驟。（15）（此題滿

10、分10分）xt2)dtln(1已知函數(shù)F(x)0，設limF(x)limF(x)0，試求的取值范圍。xxx0（16）（此題滿分11分）x1t3t1,設函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程33確立，求yy(x)的極值和曲線yy(x)的11yt3t33凹凸區(qū)間及拐點。（17）（此題滿分9分）設函數(shù)zf(xy,yg(x)，此中函數(shù)f擁有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)g(x)可導且在x1處取得極值g(1)1，求2z。yx1,y1（18）（此題滿分10分）設函數(shù)y(x)擁有二階導數(shù)，且曲線l:yy(x)與直線yx相切于原點，記為曲線l在點(x,y)處切線的傾角，若ddy，求y(x)的表達式。dxdx（19）（此題滿分10分）

11、（I）證明：對任意的正整數(shù)n，都有1ln111建立。n1nn（II）設an111,2,)，證明數(shù)列an收斂。1lnn(nn20）（此題滿分11分）一容器的內側是由圖中曲線繞y軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由x2y22y(y1)與2x2y21(y1)連接而成。2I）求容器的容積；II）若將容器內盛滿的水沉著器頂部所有抽出，最少需要做多少功？（長度單位：m，重力加速度為gms2，水的密度為103kgm3）（21）（此題滿分11分）已知函數(shù)f(x,y)擁有二階連續(xù)偏導數(shù)，且f(1,y)0，f(x,1)0，f(x,y)dxdya，D此中D(x,y)0 x1,0y1，計算二重積分Ixyfxy(x,y)dx

12、dy。D（22）（此題滿分11分）設向量組1(1,0,1)T，2(0,1,1)T，3(1,3,5)T不可以由向量組1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,a)T線性表示。（I）求a的值；（II）將1,2,3用1,2,3線性表示。（23）（此題滿分11分）1111設A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且A0000。1111I）求A的所有的特色值與特色向量；II）求矩陣A。2010年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一選擇題(1)函數(shù)f(x)x2x1x21x2的無量中斷點的個數(shù)為1A0B1C2D32.設y1,y2是一階線性非齊次微分方程yp(x)yq(x)的兩個特解，若常數(shù),使y1y2是

13、該方程的解，y1y2是該方程對應的齊次方程的解，則A1,1B1,12222C2,1D2,23333(1)曲線yx2與曲線yalnx(a0)相切，則aA4eB3eC2eDe4.設m,n為正整數(shù),則失常積分1mln2(1x)0nxdx的收斂性A僅與m取值相關B僅與n取值相關C與m,n取值都相關D與m,n取值都沒關5.設函數(shù)zz(x,y)由方程F(y,z)0確立,此中F為可微函數(shù),且F20,則xzyz=xxxyAxBzCxDznnn6.(4)lim2=2xj)i1j1(ni)(n1x1dy1x1dyAdxx)(12)Bdx(1x)(1y)00(1y00111dy111dyCdxx)(1y)Ddxx)

14、(1200(100(1y)7.設向量組I:1,2,，r可由向量組II：1，2，s線性表示，以下命題正確的選項是：A若向量組I線性沒關，則rsC若向量組II線性沒關，則rsB若向量組I線性相關，則rsD若向量組II線性相關，則rs1(A)設A為4階對稱矩陣,且A2A0,若A的秩為3,則A相像于A1B101111C1D1111000二填空題9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程y2yy2y0的通解y=_2x3的漸近線方程為_10.曲線yx2111.函數(shù)yln(12x)在x0處的n階導數(shù)y(n)(0)_當0時，對數(shù)螺線re的弧長為_13.已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增添，寬w以3cm/s的速率增添

15、，則當l=12cm,w=5cm時，它的對角線增添的速率為_14.設A，B為3階矩陣，且A3,B2,A1B2,則AB1_三解答題15.求函數(shù)f(x)x2(x2t)et2dt的單一區(qū)間與極值。116.(1)比較1lntln(1t)ndt與1tnlntdt(n1,2,)的大小,說明原由.L00(2)記un1lntln(1t)ndt(n1,2,L),求極限limun.0 x設函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程17.t2,x2t(t1)所確立，此中(t)擁有階導數(shù)，且5，y(t),2(1)2(1)，已知d2y3,求函數(shù)。6dx24(1(t)t)18.一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。

16、現(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油3b面高度為2時，計算油的質量。kg/m3（長度單位為m，質量單位為kg，油的密度為）19.設函數(shù)uf(x,y)擁有二階連續(xù)偏導數(shù)，2u2u52u0.且滿足等式4212y2xxy確立a,b的值，使等式在變換xay,xby下簡化2u0計算二重積分Ir2sin1r2cos2drd,此中D(r,)0rsec,0.20.D4121.設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=3,證明：存在(0,1),(1,1),使得f()f()22.2222.11a設A010,b已知線性方程組Axb存在2個不一樣的解。1.111（）求、a.23.設

17、1(2)求方程組Axb的通解。0141A13a，正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣，若Q的第一列為(1,2,1)T，求a、Q.4a062009年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）函數(shù)fxxx3的可去中斷點的個數(shù)，則（）sinnxA1.B2.C3.D無量多個.（2）當x0時，fxxsinax與gxx2ln1bx是等價無量小，則（）Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1Da1,b1.6666（3）設函數(shù)zfx,y的全微分為dzxdxydy，則點0,0（）A不是fx,y的連

18、續(xù)點.B不是fx,y的極值點.C是fx,y的極大值點.D是fx,y的極小值點.（4）設函數(shù)fx,y2dx2x,ydy24y連續(xù)，則f1dyfx,ydx（）1xyA24xx,ydy.B24xfx,ydy.dx1f1dx1xC24y22x,ydxdy1fx,ydx.D.dyf11y（5）若fx不變號，且曲線yfx在點1,1上的曲率圓為x2y22，則fx在區(qū)間1,2內（）A有極值點，無零點.BC有極值點，有零點.D（6）設函數(shù)yfx在區(qū)間1,3無極值點，有零點.無極值點，無零點.上的圖形為：f(x)O-2023x1-1則函數(shù)Fxxftdt的圖形為（）0f(x)f(x)11-2023x-2023x11

19、A.-1B.-1f(x)f(x)1-1023x1.1-2023x1-1.（7）設A、B均為2階矩陣，A*，B*分別為A、B的陪伴矩陣。若A=2，B=3，則分塊矩陣0A）B的陪伴矩陣為（0AC03B*.B2A*003A*.D2B*002B*.*03A02A*.03B*100（8）設A，P均為3階矩陣，PT為P的轉置矩陣，且PTAP=010，若002（，），Q=（1+，），則QTAQ為（）P=123223AC.210110B002200010D002.110120002100020002二、填空題：9-14小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定地址上.1-t2（0，0）（9）曲線x=0d

20、ueu在處的切線方程為yt2ln(2t2)（10）已知+ekxdx1,則k（11）lim1xsinnxdxen0（12）設yy(x)是由方程xyeyd2y=x1確立的隱函數(shù)，則2x=0dx（13）函數(shù)yx2x在區(qū)間01，上的最小值為200(14)設，為3維列向量，T為的轉置，若矩陣T相像于000，則T=000三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的地址上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（此題滿分9分）求極限lim1cosxxln(1tanx)sin4xx0（16）（此題滿分10分）計算不定積分ln(11x)dx(x0)x（17）（此題滿分10分）設zfxy

21、,xy,xy，此中f擁有2階連續(xù)偏導數(shù)，求2zdz與xy（18）（此題滿分10分）設非負函數(shù)yyxx0滿足微分方程xyy20，當曲線yyx過原點時，其與直線x1及y0圍成平面地域D的面積為2，求D繞y軸旋轉所得旋轉體體積。（19）（此題滿分10分）求二重積分xydxdy，D222,yx此中Dx,yx1y1（20）（此題滿分12分）設yy(x)是區(qū)間（-，）內過（-，）的圓滑曲線，當-x0時，曲線上任一點處的法22線都過原點，當0 x時，函數(shù)y(x)滿足yyx0。求y(x)的表達式（21）（此題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)fx在a,b上連續(xù)，在a,b可導，則存在a,b使得fbfa

22、fba（）證明：若函數(shù)fx在x0處連續(xù)，在0,0可導，且limfxA，則f0存在，且f0A。x0，內1111（22）（此題滿分11分）設A111，110422（）求滿足A21,A231的所有向量2,3（）對（）中的任一直量2,3，證明：1,2,3線性沒關。（23）（此題滿分11分）設二次型fx1,x2,x3ax12ax22a1x322x1x32x2x3（）求二次型f的矩陣的所有特色值；（）若二次型f的規(guī)范形為y12y22，求a的值。2008年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括

23、號內.（1）設f(x)x2(x1)(x2)，則f(x)的零點個數(shù)為（）A0B1.C2D3（2）曲線方程為yf(x)函數(shù)在區(qū)間0,a上有連續(xù)導數(shù)，則定積分aaft(x)dx（）0A曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形ACD面積.三角形ACD面積.（3）在以下微分方程中，以yC1exC2cos2xC3sin2x（C1,C2,C3為任意常數(shù)）為通解的是（）Ayy4y4y0Byy4y4y0Cyy4y4y0Dyy4y4y0（5）設函數(shù)f(x)在(,)內單一有界，xn為數(shù)列，以下命題正確的選項是（）A若xn收斂，則f(xn)收斂.B若xn單一，則f(xn)收斂.C若f(xn)收斂，則xn收斂

24、.D若f(xn)單一，則xn收斂.f(x2y2)dxdy，此中地域F（6）設函數(shù)f連續(xù)，若F(u,v)y2Duv為圖中暗影部分，則Duvx2uAvf(u2)Bvf(u2)uCvf(u)Dvf(u)u（7）設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣.若A30，則（）AEA不行逆，EA不行逆.BEA不行逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不行逆.12A合同的矩陣為（8）設A1，則在實數(shù)域上與）221.B21A212.12112.C.D1122二、填空題：9-14小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定地址上.（9）已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且lim1cosxf(x)1，則f(0)_.

25、21)f(x)x0(ex（10）微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解是y_.（11）曲線sinxylnyxx在點0,1處的切線方程為.2（12）曲線y(x5)x3的拐點坐標為_.y（13）設zxxyz_，則(1,2).x（14）設3階矩陣A的特色值為2,3,.若行列式2A48，則_.三、解答題：1523題，共94分.請將解答寫在答題紙指定地址上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.sinxsinsinxsinx(15)（此題滿分9分）求極限limx4.x0(16)（此題滿分10分）xx(t)dxx0設函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程2tet2ln(1確立，此中x(t)是初值問題dt的y0u)d

26、uxt002y解.求2.x(17)（此題滿分1xarcsinx9分）求積分dx.01x2(18)（此題滿分11分）求二重積分max(,1),此中D(x,y)0 x2,0y2xydxdyD(19)（此題滿分11分）設f(x)是區(qū)間0,上擁有連續(xù)導數(shù)的單一增添函數(shù)，且f(0)1.對任意的t0,，直線x0,xt，曲線yf(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周生成一旋轉體.若該旋轉體的側面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f(x)的表達式.(20)（此題滿分11分）(1)證明積分中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則最少存在一點a,b，使得b(x)擁有二階導數(shù)，且滿足(2)(1),(2

27、)3(x)dx，證f(x)dxf()(ba)(2)若函數(shù)2a明最少存在一點(1,3),使得()0（21）（此題滿分11分）求函數(shù)ux2y2z2在拘束條件zx2y2和xyz4下的最大值與最小值.（22）（此題滿分12分）2a1a22aO設矩陣AOO12a2aB1,0,L,0，A滿足方程AXB，此中XT，現(xiàn)矩陣x1,L,xn，nn（1）求證An1an；（2）a為什么值，方程組有獨一解，并求x1；（3）a為什么值，方程組有無量多解，并求通解.（23）（此題滿分10分）設A為3階矩陣，1,2為A的分別屬于特色值1,1特色向量，向量3滿足A323，（1）證明1,2,3線性沒關；（2）令P1,2,3，求P

28、1AP.2007年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一、選擇題：110小題，每題4分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）當x0時，與x等價的無量小量是（A）1ex（B）ln1x（C）1x1（D）1cosx1x（2）函數(shù)f(x)(exe)tanx在,上的第一類中斷點是x1xexe（A）0（B）1（C）（D）22（3）如圖，連續(xù)函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,2,2,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2,0,0,2xf(t)dt，則以下結論正的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設F(x)0確的是：（A）F(3)3F(2)(B)F(

29、3)5F(2)44（C）F(3)3F(2)（D）F(3)5F(2)44（4）設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，以下命題錯誤的選項是：A）若limf(x)0 xC）若limf(x)0 x存在，則f(0)0（B）若limf(x)f(x)x0 x存在，則f(0)0（D）若limf(x)f(x)x0 x存在，則f(0)0.存在，則f(0)0.（5）曲線y1ln1ex的漸近線的條數(shù)為x（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.（6）設函數(shù)f(x)在(0,)上擁有二階導數(shù)，且f(x)0，令unf(n)，則以下結論正確的選項是：(A)若u1u2，則un必收斂.(B)若u1u2，則un必發(fā)散(C)若u1u2，則un必

30、收斂.(D)若u1u2，則un必發(fā)散.（7）二元函數(shù)f(x,y)在點0,0處可微的一個充要條件是（A）limf(x,y)f(0,0)0.(x,y)0,0（B）limf(x,0)f(0,0)0,且limf(0,y)f(0,0)0.x0 xy0y（C）limf(x,y)f(0,0)0.0,022(x,y)xy（D）limfx(x,0)fx(0,0)0,且limfy(0,y)fy(0,0)0.x0y0（8）設函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則二次積分dx1f(x,y)dy等于2sinx1dyf(x,y)dx1f(x,y)dx（A）（B）dy0arcsiny0arcsiny1dyarcsinyf(x,y)dx（

31、D）1arcsiny（C）dyf(x,y)dx0202（9）設向量組1,2,3線性沒關，則以下向量組線性相關的是線性相關，則(A)12,23,31(B)12,23,31(C)122,223,321.(D)122,223,321.211100（10）設矩陣A121,B010，則A與B112000(A)合同且相像（B）合同，但不相像.(C)不合同，但相像.(D)既不合同也不相像二、填空題：1116小題，每題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（11）limarctanxsinx_.x3x0（12）曲線xcostcos2t上對應于t4的點處的法線斜率為_.y1sint（13）設函數(shù)y13，則y(n

32、)(0)_.2x（14）二階常系數(shù)非齊次微分方程y4y3y2e2x的通解為y_.（15）設f(u,v)是二元可微函數(shù)，zfy,x，則xzyz_.xyxy0100（16）設矩陣A0010.000，則A3的秩為10000三、解答題：1724小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）(此題滿分10分)設f(x)是區(qū)間0,上單一、可導的函數(shù)，且滿足4f(x)1(t)dtxtcostsint，此中f1是f的反函數(shù)，求f(x).fsintdt00cost（18）（此題滿分11分）x設D是位于曲線yxa2a(a1,0 x)下方、x軸上方的無界地域.（）求地域D繞x軸旋轉一周所成旋轉體的

33、體積V(a)；（）當a為什么值時，V(a)最?。坎⑶蟠俗钚≈?（19）（此題滿分10分）求微分方程y(xy2)y滿足初始條件y(1)y(1)1的特解.（20）（此題滿分11分）已知函數(shù)f(u)擁有二階導數(shù)，且f(0)1，函數(shù)yy(x)由方程yxey11所確立，設zflnysinx，求dzx0,d2zx0.dxdx2（21）(此題滿分11分)設函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內擁有二階導數(shù)且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b)，證明：存在(a,b)，使得f()g().x2,|x|y|1（22）(此題滿分11分)設二元函數(shù)f(x,y)11|x|y|，計算二重積分x

34、2,2y2f(x,y)d，此中Dx,y|x|y|2.D23）(此題滿分11分)x1x2x30設線性方程組x12x2ax30與方程x12x2x3a1有公共解，求a的值及所有公共x14x2a2x30.24）(此題滿分11分)設三階對稱矩陣A的特色向量值11,22,32，1(1,1,1)T是A的屬于1的一個特色向量，記BA54A3E，此中E為3階單位矩陣.I）考據(jù)1是矩陣B的特色向量，并求B的所有特色值與特色向量；II）求矩陣B.2006年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題一、填空題：16小題，每題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.x4sinx（1）曲線y的水平漸近線方程為5x2cosx12x

35、（2）設函數(shù)f(x)3sintdt,x00處連續(xù)，則a.x0在xa,x0（3）廣義積分xdx.0(1x2)2（4）微分方程y(1x)y的通解是x（5）設函數(shù)yy(x)由方程y1xey確立，則dyx0dx（6）設矩陣A21B滿足BAB2E，則1，E為2階單位矩陣，矩陣2B.二、選擇題：714小題，每題4分，共32分.每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（7）設函數(shù)yf(x)擁有二階導數(shù)，且f(x)0,f(x)0，x為自變量x在點x0處的增量，y與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若x0，則(A)0dyy.(B)0ydy.(C)ydy0.(D)

36、dyy0.（8）設f(x)是奇函數(shù)，除x0外到處連續(xù)，x0是其第一類中斷點，則xf(t)dt是0（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在x0中斷的奇函數(shù)（D）在x0中斷的偶函數(shù).（9）設函數(shù)g(x)可微，h(x)e1g(x),h(1)1,g(1)2，則g(1)等于（A）ln31.（B）ln31.（C）ln21.（D）ln21.（10）函數(shù)yC1exC2e2xxex滿足的一個微分方程是（A）yy2y3xex.（B）（C）yy2y3xex.（D）yy2y3ex.yy2y3ex.（11）設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則4d1f(rcos,rsin)rdr等于0021x221x2（）2dxf(x,y

37、)dy.（B）2dxf(x,y)dy.0 x0021y221y2f(x,y)dx.(D)(C)2dyy2dyf(x,y)dx.000（12）設f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在拘束條件(x,y)0下的一個極值點，以下選項正確的選項是(A)若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.(B)若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.(C)若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.(D)若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0.（13）設1,2,L,s均為n維列向量，A為mn矩陣，以下選項正確的選項是(B)若1,2,L,s

38、線性相關，則A1,A2,L,As線性相關.(C)若1,2,L,s線性相關，則A1,A2,L,As線性沒關.(C)若1,2,L,s線性沒關，則A1,A2,L,As線性相關.(D)若1,2,L,s線性沒關，則A1,A2,L,As線性沒關.（14）設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的1倍加到第2列得C，110記P010，則001（）CP1AP.（）（）CPTAP.（）CPAP1.CPAPT.三、解答題：1523小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（此題滿分10分）試確立A,B,C的值，使得ex(1BxCx2)1Axo(x3)，此中o(x3)是當x0

39、時比x3高階的無量小.xarcsine（16）（此題滿分10分）求dx.（17）（此題滿分10分）設地域D(x,y)x2y21,x0，計算二重積分12xy2dxdy.D1xy（18）（此題滿分12分）設數(shù)列xn滿足0 x1,xn1sinxn(n1,2,L)1xnx2（）證明limxn存在，并求該極限；（）計算lim1n.nnxn（19）（此題滿分10分）證明：當0ab時，bsinb2cosbbasina2cosaa.（20）（此題滿分12分）設函數(shù)f(u)在(0,)內擁有二階導數(shù)，且222z2z0.zfxy滿足等式x2y2（I）考據(jù)ff(u)(u)0；u（II）若f(1)0,f(1)1，求函數(shù)

40、f(u)的表達式.（21）（此題滿分12分）xt21,(t0)（I）談論L的凹凸性；（II）過點(1,0)引L的切線，已知曲線L的方程4tt2y求切點(x0,y0)，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對應于xx0的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.22）（此題滿分9分）已知非齊次線性方程組x1x2x3x414x13x25x3x41有3個線性沒關的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣A的秩ax1x23x3bx41rA2；（）求a,b的值及方程組的通解.（23）（此題滿分9分）設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量TT11,2,1,20,1,1是線性方程組Ax0的兩個解.()求A的特色值與特

41、色向量；()求正交矩陣Q和對角矩陣,使得QTAQ.2005年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二試題二、填空題（此題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）設y(1sinx)x，則dy=.x3（2）曲線y(1x)2.的斜漸近線方程為x1xdx.（3）x2)1x20(2（4）微分方程xy2yxlnx滿足y(1)1.的解為9（5）當x0時，(x)kx2與(x)1xarcsinxcosx是等價無量小，則k=.（6）設1,2,3均為3維列向量，記矩陣A(1,2,3)，B(123,12243,13293)，假如A1，那么B.二、選擇題（此題共8小題，每題4分，滿分32分.每題給出的四個選

42、項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）設函數(shù)f(x)limn1x3n，則f(x)在(,)內n(A)到處可導.(B)恰有一個不行導點.(C)恰有兩個不行導點.(D)最罕有三個不行導點.（8）設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，MN表示“M的充分必需條件是N”，則必有(A)F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).(D)F(x)是單一函數(shù)f(x)是單一函數(shù).（9）設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程xt22t,y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫yln(1確立，則曲線t)坐標是(A)1ln23.

43、(B)1ln23.88(C)8ln23.(D)8ln23.（10）設地域D(x,y)x2y24,x0,y0，f(x)為D上的正當連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則af(x)bf(y)dDf(x)f(y)(A)ab.(B)ab.(C)(ab).(D)ab.22（11）設函數(shù)u(x,y)(xy)(xxy(t)dt,y)y此中函數(shù)擁有二階導數(shù)，擁有一階x導數(shù)，則必有2u2u2u2u(A)x2y2.（B）x2y2.2u2u2u2u(C)xyy2.(D)xyx2.1（12）設函數(shù)f(x),則xex11x=0,x=1都是f(x)的第一類中斷點.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二類中斷點.(C)x=0是f(x)

44、的第一類中斷點，x=1是f(x)的第二類中斷點.(D)x=0是f(x)的第二類中斷點，x=1是f(x)的第一類中斷點.（13）設1,2是矩陣A的兩個不一樣的特色值，對應的特色向量分別為1,2，則1，A(12)線性沒關的充分必需條件是(A)10.(B)20.(C)10.(D)20.（14）設A為n（n2）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,B*分別為A,B的陪伴矩陣，則(D)交換A*的第1列與第2列得B*.(B)交換A*的第1行與第2行得B*.(C)交換A*的第1列與第2列得B*.(D)交換A*的第1行與第2行得B*.三、解答題（此題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過

45、程或演算步驟.）（15）（此題滿分11分）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0，求極限x(xt)f(t)dtlim0 x.x0f(xt)dtx0（16）（此題滿分11分）如圖，C1和C2分別是y1(1ex)和yex的圖象，過點(0,1)的曲2線C3是一單一增函數(shù)的圖象.過C2上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly.記C1,C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)；C2,C3與ly所圍圖形的面積為S2(y).假如總有S1(x)S2(y)，求曲線C3的方程x(y).（17）（此題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線l1與l2分別是曲線C在點(0

46、,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設函數(shù)f(x)擁有32x)f(x)dx.三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分(x0（18）（此題滿分12分）用變量代換xcost(0t)化簡微分方程(1x2)yxyy0，并求其滿足y1,y2的特解.x0 x0（19）（此題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1.證明：（I）存在(0,1),使得f()1；（II）存在兩個不一樣的點,(0,1)，使得f()f()1.（20）（此題滿分10分）已知函數(shù)z=f(x,y)的全微分dz2xdx2ydy，而且f(1,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域D(x,y)x2y2

47、1上的最大值和最小值.4（21）（此題滿分9分）計算二重積分x2y2d，此中D(x,y)0 x1,0y1.1D（22）（此題滿分9分）確立常數(shù)a,使向量組1(1,1,a)T,2(1,a,1)T,3(a,1,1)T可由向量組1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T線性表示，但向量組1,2,3不可以由向量組1,2,3線性表示.（23）（此題滿分9分）123已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為零，矩陣B246（k為常數(shù)），且36kAB=O,求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數(shù)學（二）真題一.填空題（此題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上

48、.）（1）設f(x)lim(n1)x,則f(x)的中斷點為x.nnx21（2）設函數(shù)y(x)由參數(shù)方程xt33t1y(x)向上凸的x取值范圍為t3確立,則曲線yy3t1_.（3）dx_.1xx21（4）設函數(shù)zz(x,y)由方程ze2x3z2y確立,則3zz_.xy（5）微分方程(yx3)dx2xdy0滿足yx16的特解為_.5210（6）設矩陣A120,矩陣B滿足ABA2BAE,此中A為A的陪伴矩陣,E是001單位矩陣,則B_-.二.選擇題（此題共8小題，每題4分，滿分32分.每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.）（7）把x0 x2dt,x2x3dt

49、擺列起來,時的無量小量0cost0tantdt,0sint使排在后邊的是前一個的高階無量小,則正確的擺列次序是（A）,.（B）,.（C）,.（D）,.（8）設f(x)x(1x),則（A）x0是f(x)的極值點,但(0,0)不是曲線yf(x)的拐點.（B）x0不是f(x)的極值點,但(0,0)是曲線yf(x)的拐點.（C）x0是f(x)的極值點,且(0,0)是曲線yf(x)的拐點.（D）x0不是f(x)的極值點,(0,0)也不是曲線yf(x)的拐點.（9）limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于nnnn22xdx.2（A）1ln（B）21lnxdx.2x)dx.2ln2(1x)dx（C）

50、2ln(1（D）11（10）設函數(shù)f(x)連續(xù),且f(0)0,則存在0,使得（A）f(x)在(0,)內單一增添.（B）f(x)在(,0)內單一減小.（C）對任意的x(0,)有f(x)f(0).（D）對任意的x(,0)有f(x)f(0).（11）微分方程yyx21sinx的特解形式可設為（A）yax2bxcx(AsinxBcosx).（B）yx(ax2bxcAsinxBcosx).（C）yax2bxcAsinx.（D）yax2bxcAcosx（12）設函數(shù)f(u)連續(xù),地域D(x,y)x2y22y,則f(xy)dxdy等于D（A）1dx1x2f(xy)dy.11x222yy2（B）2dy0f(x

51、y)dx.0（C）0d2sinf(r2sincos)dr.0（D）0d2sinf(r2sincos)rdr0（13）設A是3階方陣,將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQC的可逆矩陣Q為010010（A）100.（B）101.101001010011（C）100.（D）100.01100114）設A,B為滿足AB0的任意兩個非零矩陣,則必有A）A的列向量組線性相關,B的行向量組線性相關.B）A的列向量組線性相關,B的列向量組線性相關.C）A的行向量組線性相關,B的行向量組線性相關.D）A的行向量組線性相關,B的列向量組線性相關.三.解答題（此題共9小題，滿分94

52、分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（此題滿分10分）求極限lim1x2cosx1.x0 x33（16）（此題滿分10分）設函數(shù)f(x)在（,）上有定義,在區(qū)間0,2上,f(x)x(x24),若對任意的x都滿足f(x)kf(x2),此中k為常數(shù).()寫出f(x)在2,0上的表達式;()問k為什么值時,f(x)在x0處可導.（17）（此題滿分11分）設f(x)xsintdt,()證明f(x)是以;()求f(x)的值域.2為周期的周期函數(shù)x（18）（此題滿分12分）exex0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉曲線y與直線x0,xt(t0)及y2一周得一旋轉體,其體積為V(t),

53、側面積為S(t),在xt處的底面積為F(t).()求S(t)的值;()計算極限limS(t).V(t)tF(t)（19）（此題滿分12分）設eabe2,證明ln2bln2a42(ba).e（20）（此題滿分11分）某種飛機在機場下降時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬時,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機,著陸時的水平速度為700km/h.經測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比率系數(shù)為k6.0106).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?注kg表示千克,km/h表示千米/小時.（21（）此題滿分10分）設zf(x2y2

54、,exy),此中f擁有連續(xù)二階偏導數(shù),求z,z,2z.xyxy22）（此題滿分9分）設有齊次線性方程組(1a)x1x2x3x40,2x1(2a)x22x32x40,3x13x2(3a)x33x40,4x14x24x3(4a)x40,試問a取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.（23）（此題滿分9分）123設矩陣143的特色方程有一個二重根,求a的值,并談論A能否可相像對角化.1a52003年考研數(shù)學（二）真題三、填空題（此題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）1（1）若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無量小，則a=.（2）設函數(shù)y=f(x)由方程xy2lnxy4

55、所確立，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是.（3）y2x的麥克勞林公式中xn項的系數(shù)是_.（4）設曲線的極坐標方程為ea(a0)，則該曲線上相應于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為_.（5）設為3維列向量，T是的轉置.若T=.T111111，則111101（6）設三階方陣A,B滿足A2BABE，此中E為三階單位矩陣，若A020，201B_.二、選擇題（此題共6小題，每題4分，滿分24分.每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設an,bn,cn均為非負數(shù)列，且liman0,limbn1,limcn,則必有nnn(A)anbn對任

56、意n建立.(B)bncn對任意n建立.(C)極限limancn不存在.(D)極限limbncn不存在.nnn（2）設an3n1xn11xndx,則極限limnan等于20n33(A)(1e)21.(B)(1e1)21.33(C)(1e1)21.(D)(1e)21.（3）已知yx是微分方程yy(x)的解，則(x)的表達式為lnxxyy22（A）y2.(B)y2.xx22(C)x2.(D)x2.yy（4）設函數(shù)f(x)在(,)內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形以以下圖，則f(x)有(A)一個極小值點和兩個極大值點.(B)兩個極小值點和一個極大值點.(C)兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大

57、值點.yOx（5）設I14tanxdx,I24xdx,則0 x0tanx(A)I1I21.(B)1I1I2.(C)I2I11.(D)1I2I1.（6）設向量組I：1,2,r可由向量組II：1,2,s線性表示，則(A)當rs時，向量組II必線性相關.(B)當rs時，向量組II必線性相關.(C)當rs時，向量組I必線性相關.(D)當rs時，向量組I必線性相關.ln(1ax3)x0,x,f(x)arcsinxx0,三、（此題滿分10分）設函數(shù)6,eaxx2ax1x0,xsinx4a為什么值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為什么值時，x=0是f(x)的可去中斷點？、（此題滿分9分）x12t2,d2yu.

58、設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程12lnte(t1)所確立，求dx2ydux91u五、（此題滿分9分）計算不定積分xearctanxdx.3(1x2)2六、（此題滿分12分）設函數(shù)y=y(x)在(,)內擁有二階導數(shù)，且y0,xx(y)是y=y(x)的反函數(shù).(1)d2x(ydx)30變換為y=y(x)滿足的微分方程；試將x=x(y)所滿足的微分方程2sinx)(dydy(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0,y(0)3的解.2七、（此題滿分12分）談論曲線y4lnxk與y4xln4x的交點個數(shù).八、（此題滿分12分）設位于第一象限的曲線y=f(x)過點(2,1)，其上任一點P(x,y)處的

59、法線與y軸的交點為Q，22且線段PQ被x軸均分.求曲線y=f(x)的方程；(3)已知曲線y=sinx在0,上的弧長為l，試用l表示曲線y=f(x)的弧長s.九、（此題滿分10分）有一平底容器，其內側壁是由曲線x(y)(y0)繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2m.依據(jù)設計要求，當以33/min的速率向容器內注入液體時，液面的面積將m以m2/min的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.(2)依據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與(y)之間的關系式；(3)求曲線x(y)的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)十、（此題滿分10分）設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上

60、連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且f(x)0.若極限limf(2xa)存在，證明：xaxa(1)在(a,b)內f(x)0;(2)在(a,b)內存在點，使b2a22；bf()f(x)dxa，使f()(b2a2)2b(3)在(a,b)內存在與(2)中相異的點f(x)dx.aa十一、（此題滿分10分）220若矩陣A82a相像于對角陣，試確立常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使P1AP.006十二、（此題滿分8分）已知平面上三條不一樣直線的方程分別為l1:ax2by3c0，l2:bx2cy3a0，l3:cx2ay3b0.試證這三條直線交于一點的充分必需條件為abc0.2012年全國碩士研究生入學一致考試數(shù)學二