高中數(shù)學(xué)必修二 8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（精講）(含答案)

1、8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點一 平面及其性質(zhì)【例1】(2021上海松江)下列命題中是真命題的是( )A四邊形一定是平面圖形B空間一個點與一條直線可以確定一個平面C一個平面的面積可以為10D相交于同一點的四條直線最多可以確定6個平面【答案】D【解析】四邊形可以為平面圖形，也可以為空間四邊形，故A不正確；空間一條直線與直線外一點可以確定一個平面，故B不正確；平面是無限延展的，所以平面的面積不可以為10，故C不正確；相交于同一點的四條直線，當(dāng)任三條直線不共面時，可以確定6個平面，故D正確.故選：D【一隅三反】1(2021上海金山高二期末)下列條件中能確定一個平

2、面的是( )A空間任意三個點 B空間相交于一點的三條直線C兩條平行直線 D一條直線和一個點【答案】C【解析】對于A，若三點共線，則三點無法確定一個平面，A錯誤；對于B，空間中相交于一點的三條直線，可能確定一個平面，也可能確定三個不同的平面，B錯誤；對于C，兩條平行直線可以確定唯一的一個平面，C正確；對于D，若一個點在直線上，則無法確定一個平面，D錯誤.故選：C.2(3021年廣東湛江)下列命題中正確命題的個數(shù)是()三角形是平面圖形； 四邊形是平面圖形；四邊相等的四邊形是平面圖形；圓是平面圖形A1 B2C3 D4【答案】B【解析】根據(jù)基本事實3可知正確，錯誤故選B.3(2021全國課時練習(xí))經(jīng)過

3、一點可作_個平面，經(jīng)過兩點可作_個平面，經(jīng)過三點可作_個平面，經(jīng)過不共面的四點可作_個平面.【答案】無數(shù) 無數(shù) 一或無數(shù) 4四 【解析】經(jīng)過一點可作無數(shù)個平面，經(jīng)過兩點可作無數(shù)個平面，經(jīng)過三點,若三點不在一條直線上，可作一個平面，若三點在一條直線上可作無數(shù)個平面，故經(jīng)過三點可作一或無數(shù)個平面經(jīng)過不共面的四點，任取3點可作一個平面，一共可作4個平面.故答案為：無數(shù)；無數(shù)；一或無數(shù)；4.考點二 數(shù)學(xué)符號的表示【例2】(2021四川射洪)如圖所示，點、線、面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為( )A，B，C，D，【答案】B【解析】由圖可知，.故選：B.【一隅三反】1(2021全國課時練習(xí))“直線a經(jīng)過平面外一

4、點P”用符號表示為( )A，BC，D，【答案】C【解析】“直線a經(jīng)過平面外一點P”用符號表示為，.故選：C.2(2021四川)若點在直線上，在平面內(nèi)，則，之間的關(guān)系可記作( )ABCD【答案】B【解析】因為點Q(元素)在直線b(集合)上,所以.又因為直線b(集合)在平面(集合)內(nèi),所以.所以.故選：B3(2021全國課時練習(xí))下列關(guān)于點、線和面的關(guān)系表示錯誤的是( )A點平面B直線平面C直線平面D平面平面【答案】A【解析】根據(jù)點，線，面的位置關(guān)系的符號表示，可知A.錯誤，應(yīng)改為點平面；BCD.正確.故選：A考點三 3個基本事實【例3】(2021全國高一課時練習(xí))如圖，正方體中，分別為，的中點(

5、1)求證：，四點共面；(2)若，與平面交于點，求證：三點共線【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】證明：(1)連接，在正方體中，分別為，的中點，是的中位線，又因為，四邊形為梯形，即，四點共面(2)在正方體中，是平面與平面的交線，又因為交平面于點，是平面與平面的一個公共點因為兩平面相交的所有公共點都在這兩個平面的交線上，三點共線【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))(多選)以下四個命題中，不正確的命題是( )A不共面的四點中，其中任意三點不共線B若點共面，點共面，則共面C若直線共面，直線共面，則直線共面D依次首尾相接的四條線段必共面【答案】BCD【解析】選項：若任意三點共線，則

6、由該直線與第四個點可構(gòu)成一個平面，則與四點不共面矛盾，則任意三點不共線，正確；選項：若三點共線，直線與直線異面，此時不共面，錯誤；選項：共面，共面，此時可為異面直線，錯誤；選項：依次首尾相接的四條線段可構(gòu)成空間四邊形，錯誤.故選：BCD2(2021上海浦東新高二期中)下列命題：(1)若空間四點共面，則其中必有三點共線；(2)若空間有三點共線，則此四點必共面；(3)若空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面；(4)若空間四點不共面，則其中任意三點不共線.其中正確的命題有( )個.A0B1C2D3【答案】C【解析】對于，空間四點共面，如平面四邊形，其中任何三點不共線；故錯誤；對于，空間四點中有三點

7、共線，根據(jù)不共線的三點確定一個平面，得到此四點必共面；故正確；對于，空間四點中任何三點不共線，則此四點可能共面，如平面四邊形；故錯誤；對于，空間四點不共面，如果任意三點有共線的，那么此四個點就共面，與已知矛盾故正確，所以正確的命題有2個.故選：C.3(2021全國高一課時練習(xí))如圖，不共面的四邊形ABBA，BCCB，CAAC都是梯形求證：三條直線AA，BB，CC相交于一點【答案】證明見解析【解析】因為在梯形ABBA中，ABAB，所以AA，BB在同一平面AB內(nèi)設(shè)直線AA，BB相交于點P，如圖所示同理BB，CC同在平面BC內(nèi)，CC，AA同在平面AC內(nèi)因為PAA，AA平面AC，所以P平面AC同理點P

8、平面BC，所以點P在平面AC與平面BC的交線上，而平面AC平面BC=CC，故點P直線CC，即三條直線AA，BB，CC相交于一點4(2021山東鄒城高一期中)已知正方體，分別是棱，的中點()畫出平面與平面的交線，并說明理由；()設(shè)為直線與平面的交點，求證：，三點共線【答案】()答案見解析；()證明見解析.【解析】()如圖所示，直線即為平面與平面的交線，理由如下：在正方體中，分別是棱，的中點，平面，平面，且與不平行，在平面內(nèi)分別延長，則與必相交于一點，不妨設(shè)為點，平面，平面，平面，平面，即為平面和平面的公共點，又為平面和平面的公共點，連接，直線即為平面與平面的交線()證明：如圖所示，在正方體中，且

9、，四邊形為平行四邊形，為直線與平面的交點，又平面，平面，又平面，平面平面，三點共線5(2021全國高一課時練習(xí))在三棱錐中，分別是線段的中點，分別是線段上的點，且.求證:(1)四邊形是梯形；(2)三條直線相交于同一點.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)分別是邊的中點，由得：，且，且，四邊形是梯形.(2)由(1)知：相交，設(shè)，平面，平面，同理可得：平面，又平面平面，和的交點在直線上，三條直線相交于同一點.考點四 點線面的位置關(guān)系【例4】(2021全國高一課時練習(xí))已知，是平面，是直線，若，則( )ABCD【答案】A【解析】因為，所以，由，可得且，所以且，因為，所以，故選項

10、A正確，選項B不正確；因為，所以、有公共點，故選項C不正確；因為，所以，因為，所以與有公共點，故選項D不正確；故選：A.【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EFHG=P，則點P( )A一定在直線BD上 B一定在直線AC上C在直線AC或BD上 D不在直線AC上，也不在直線BD上【答案】B【解析】如圖，EF平面ABC，HG平面ACD，EFHG=P，P平面ABC，P平面ACD又平面ABC平面ACD=AC，PAC.故選：B2(2021全國高三專題練習(xí))正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，

11、則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( )A相交B異面C平行D垂直【答案】A【解析】如圖所示，連接與交于點F，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點，又且共面，則直線與直線相交.故選：A.3(2021重慶合川高二開學(xué)考試)下面表述與結(jié)論都正確的是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】對，所以直線在平面內(nèi)，即，故錯誤；對，直線在平面內(nèi)，應(yīng)為，故錯誤；對，故正確；對，有可能，故錯誤故選：4(2021全國高二課時練習(xí))在空間四邊形中，點E，F(xiàn)，G，H分別在，上，若直線與相交于點P，則點P與直線的關(guān)系是_.【答案】【解析】由題意，而面，面，面，面，而面面，.故答案為：考

12、點五 異面直線所成的角【例5】(2021四川眉山)在正四面體中，E，F(xiàn)分別為SCAB的中點，那么異面直線EF與SA所成的角等于( )A30B45C60D90【答案】B【解析】取AC中點G，連接EG，GF，因為E，F(xiàn)分別為SCAB的中點，所以 ，GEF為異面直線EF與SA所成的角，因為，所以，又，所以，所以GEF為等腰直角三角形，故GEF=45故選：B.【一隅三反】1(2021遼寧沈陽 )已知在正四面體中，為的中點，則直線與所成角的余弦值為( )ABCD【答案】C【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為2，取的中點，連接，是的中點，是直線與所成的角(或其補(bǔ)角)，設(shè)的中點為，則，在中，直線與所成角的余弦值為故選：C2(2021遼寧沈陽)在正方體中，是棱AB上的點，且，G，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，則異面直線與EF所成角的余弦值為( )ABCD【答案】D【解析】由題設(shè)，若為底面中心，分別是的四等分點，且，如下圖示：由正方體的性質(zhì)易知：必過點且，連接有，直線與E