濾波器設(shè)計(jì)-簡明教程要點(diǎn)

1、濾波器是一種二端口網(wǎng)絡(luò)。它具有選擇頻率的特性，即可以讓某些頻率順利通過，而對(duì)其它頻率則加以阻攔，目前由于在雷達(dá)、微波、通訊等部門，多頻率工作越來越普遍，對(duì)分隔頻率的要求也相應(yīng)提高；所以需用大量的濾波器。再則，微波固體器件的應(yīng)用對(duì)濾波器的發(fā)展也有推動(dòng)作用，像參數(shù)放大器、微波固體倍頻器、微波固體混頻器等一類器件都是多頻率工作的，都需用相應(yīng)的濾波器。更何況，隨著集成電路的迅速發(fā)展，近幾年來，電子電路的構(gòu)成完全改變了，電子設(shè)備日趨小型化。原來為處理模擬信號(hào)所不可缺少的LC型濾波器，在低頻部分，將逐漸為有源濾波器和陶瓷濾波器所替代。在高頻部分也出現(xiàn)了許多新型的濾波器，例如：螺旋振子濾波器、微帶濾波器、交

2、指型濾波器等等。雖然它們的設(shè)計(jì)方法各有自己的特殊之點(diǎn)，但是這些設(shè)計(jì)方法仍是以低頻“綜合法濾波器設(shè)計(jì)”為基礎(chǔ)，再從中演變而成，我們要講的波導(dǎo)濾波器就是一例。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，希望大家對(duì)復(fù)變函數(shù)在濾波器綜合中的應(yīng)用有所了解。同時(shí)也向大家說明:即使初看起來一件簡單事情或一個(gè)簡單的器件，當(dāng)你深入地去研究它時(shí)，就會(huì)有許多意想不到的問題出現(xiàn)，解決這些問題并把它用數(shù)學(xué)形式來表示，這就是我們的任務(wù)。誰對(duì)事物研究得越深，誰能提出的問題就越多，或者也可以說誰能解決的問題就越多，微波濾波器的實(shí)例就能很好的說明這個(gè)情況。我們把整個(gè)問題不斷地“化整為零”，然后逐個(gè)地加以解決，最后再把它們合在一起，也就解決了大問題。

3、這講義還沒有對(duì)各個(gè)問題都進(jìn)行詳細(xì)分析，由此可知提出問題的重要性。希望大家都來試試。第一部分濾波器設(shè)計(jì)1-1濾波器的基本概念圖1圖1的虛線方框里面是一個(gè)由電抗元件L和C組成的兩端口。它的輸入端1-1與電源相接，其電動(dòng)勢(shì)為Eg，內(nèi)阻為人。二端口網(wǎng)絡(luò)的輸出端22與負(fù)載R2相接，當(dāng)電源的頻率為零（直流）或較低時(shí)，感抗jwL很小，負(fù)載R2兩端的電壓降E2比較大（當(dāng)然這也就是說負(fù)載R2可以得到比較大的功率）。但是，當(dāng)電流的頻率很高時(shí)，一方面感抗jwL變得很大，另一方面容抗一j/wC卻很小，電感L上有一個(gè)很大的壓降，電容C又幾乎把R2短路，所以，縱然電源的電動(dòng)勢(shì)雖保持不變，負(fù)載R兩端的壓降E2也接近于零。換

4、句話說，R2不能從電源取得多少功率。網(wǎng)絡(luò)會(huì)讓低頻信號(hào)順利通過，到達(dá)R2,但阻攔了高頻信號(hào),使R2不受它們的作用，那些被網(wǎng)絡(luò)A（或其他濾波器）順利通過的頻率構(gòu)成一個(gè)“通帶”，而那些受網(wǎng)絡(luò)A阻攔的頻率構(gòu)成一個(gè)“止帶”，通帶和止帶相接頻率稱為截止頻率。什么機(jī)理使網(wǎng)絡(luò)A具有阻止高頻功率通過的能力呢？網(wǎng)絡(luò)A是由電抗元件組成的，而電抗元件是不消耗功率的，所以，高頻功率并沒有被網(wǎng)絡(luò)A吸收，在圖一所示的具體情況中，它有時(shí)貯存于電感L的周圍，作為磁能；在另一些時(shí)間，它又由電感L交還給電源。如果L和C都是無損元件（即它們的電阻等于零），那么，高頻功率就是這樣在電感與電源之間來回交換，絲毫不受損耗，這就是電抗濾波器

5、阻止一些頻率通過的物理基礎(chǔ)。從這個(gè)意義來說，我們可以認(rèn)為濾波器將止帶頻率的功率發(fā)射回電源去，同時(shí)也是因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系，在止帶內(nèi)濾波器的輸入阻抗是純電抗性的。圖一的網(wǎng)絡(luò)A是一個(gè)很簡單的濾波電路，它的濾波效能是比較低的，在許多場合下，往往不能滿足技術(shù)上的要求，而不得不采取更復(fù)雜的電路結(jié)構(gòu)。然而，不管電路結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，濾波作用的物理根源還是和前面所說的完全一樣。濾波作用是濾波網(wǎng)絡(luò)所具有的內(nèi)在特性，但濾波網(wǎng)絡(luò)所能起到的作用還受外界因素（電源內(nèi)阻Ri和負(fù)載電阻R2）的影響。濾波效能首先決定于濾波器的內(nèi)在特性（這是主要的），同時(shí)還決定于濾波器的外加阻抗（這也是不可忽略的）。那么，濾波器效能是用什么來衡量的呢？

6、圖二（a）表示一個(gè)電源，它的電動(dòng)勢(shì)為Eg，內(nèi)阻為R。設(shè)負(fù)載為R2，則當(dāng)負(fù)載直接與電源相接時(shí)，它所能吸收的功率P02為：現(xiàn)在我們將濾波器A接于電源與負(fù)載之間，如圖二（b）所示，由于濾波器的特性，當(dāng)電源頻率變化時(shí)，出現(xiàn)于r2兩端的壓降e2是不同的，即r2從電源所取得的功率13在不同頻率上是不等的。用分貝來表示的P02與P2的比值稱為插入損耗Q：(1)(b)(a)插入損耗-是衡量濾波器效能的一個(gè)參數(shù)。根據(jù)上面的討論，顯然可見，一個(gè)良好的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該比較低，而在止帶內(nèi)應(yīng)該比較高。理想的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該等于零，而在止帶內(nèi)應(yīng)該是無窮大。插入損耗是普通濾波器常用的參數(shù)。濾波網(wǎng)絡(luò)具

7、有的阻抗變換特性不難使負(fù)載R2在整個(gè)通帶內(nèi)與電源達(dá)成匹配。這時(shí)，負(fù)荷所吸收的功率將超過P02，而使Li取得負(fù)值。根據(jù)R和R2的比值不同，-的這個(gè)負(fù)值也不一樣。因此，插入損耗L并不是一個(gè)很方便的比較基準(zhǔn)。為了避免這種困難，人們還提出另外一個(gè)參數(shù)，它以電源所能供給的最大功率P。為基準(zhǔn)。從電工基礎(chǔ)我們知道：P與P0的比值，如以分貝來表示，稱為變換器損耗La（TransducterLoss）:根據(jù)以上給出的種種關(guān)系，可以算出:L島二匕+0垃先牛（汕）從上式顯然可見，當(dāng)R2=R時(shí)，變換器損耗就是插入損耗。有些參考書上，這兩者是混為一談的。必須注意，在(2)式中，當(dāng)頻率變化時(shí)，P2是跟著變化的。在理想的情

8、況下，濾波器的變換器損耗LA在通帶內(nèi)應(yīng)該是零，而在止帶內(nèi)則應(yīng)該具有比較大的數(shù)值。根據(jù)濾波器的具體電路結(jié)構(gòu)，變換器損耗與頻率保持有各種不同的關(guān)系。圖三給出四種典型關(guān)系，在這些圖中，橫坐標(biāo)表示頻率3,縱坐標(biāo)表示變換器損耗LA。(a)表示有關(guān)器件順利通過低于3的頻率，而阻礙高于3的頻率通過；這樣的器件稱為低通濾波器(LPLowPass)。(b)的情況正好相反，稱為高通濾波器(HP-HighPass)。(c)表示有關(guān)器件順利通過3至32之間的頻率，對(duì)于低于3或高于32的頻率都阻礙它們通過；這樣的器件稱為帶通濾波器(BP-BandPass)。(d)是)的對(duì)立面，它阻止3至32之間的頻率通過，稱為帶阻濾波

9、器(BSBandSuppress)。這些不同的頻率特性取決于電路的具體結(jié)構(gòu)，圖四給出以上四種濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式，各個(gè)元件的數(shù)值是和變換器衰減的頻率特性以及所接負(fù)載密切聯(lián)系著的。驟然看來，這四種電路結(jié)構(gòu)是很不相同的，似乎各自應(yīng)有各自的設(shè)計(jì)方法。其實(shí)不然，通過一些數(shù)學(xué)方法，人們可以把這四種濾波器電路結(jié)構(gòu)完全統(tǒng)一起來，這里用到的數(shù)學(xué)方法叫作“頻率變換”。應(yīng)用頻率變換法，其它三種濾波器都可以看作低通濾波器；在設(shè)計(jì)時(shí)，先從它對(duì)應(yīng)的低通濾波器著手(因?yàn)檫@樣簡單得多)，在獲得低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)以后，再用頻率變換法，求得所要設(shè)計(jì)的濾波器的數(shù)據(jù)。因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系，滿足設(shè)計(jì)技術(shù)要求的低通濾波器稱為“母型濾波器”或

10、“原型濾波器”(prototype)。圖3上面提出了衡量濾波器效能的參數(shù)一一變換器損耗LA，但是，效能好壞的準(zhǔn)則又是什么呢？在實(shí)際濾波器中，變換器損耗的頻率特性往往不像圖三那樣理想。首先，從通帶過渡到止帶，LA是慢慢增加的，所以，衡量濾波器效能好壞的有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)是：從通帶過渡到止帶時(shí)，LA曲線的上升要陡峭。其次在通帶內(nèi),變換器損耗不是完全不存在的，一方面因?yàn)闃?gòu)成濾波器的元件多少總帶有一點(diǎn)損耗，如電感中的電阻，電容中的漏阻等。另一方面，由于設(shè)計(jì)上的考慮，有時(shí)故意要LA在通帶內(nèi)不能完全為零。故衡量濾波器效能的另一準(zhǔn)則是：在LA曲線從通帶過渡到止帶的上升程度相同的情況下，L在通帶內(nèi)的大小究竟怎樣。對(duì)以上

11、兩點(diǎn)的要求越高，濾波器所需用的元件越多，這將帶來生產(chǎn)工作和造價(jià)的增加。所以，對(duì)于實(shí)際設(shè)計(jì)，應(yīng)根據(jù)具體情況進(jìn)行全面的考慮，只要濾波性能能夠滿足所提出的要求，那便沒有追求LA曲線上升過分陡峭的必要。問題在于能夠完成任務(wù)，這也就是我國老話“殺雞用不著牛刀”的意思。第一部分濾波器設(shè)計(jì)1-2濾波器設(shè)計(jì)的兩種出發(fā)點(diǎn)濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)前有兩種不同的出發(fā)點(diǎn)。一種稱為鏡象參數(shù)法。它以濾波網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在特性為根據(jù)。是人們一向用來設(shè)計(jì)濾波器的老辦法。這種方法的特點(diǎn)是：根據(jù)濾波網(wǎng)絡(luò)的具體電路，用分析的方法推算出變換器損耗的特性。然后再將這些具體電路拼湊起來，使總的LA特性滿足所需要的技術(shù)要求。用這種方法設(shè)計(jì)出來的濾波器一般為

12、K式濾波器和m式濾波器等。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是理論根據(jù)簡單。它的缺點(diǎn)是在分析過程中沒有考慮外接負(fù)載的影響，故在具體的設(shè)計(jì)要求提出后，需要反復(fù)試探，才能得到設(shè)計(jì)結(jié)果；這對(duì)于缺乏經(jīng)驗(yàn)的工作人員來說,是頗費(fèi)時(shí)間的。另一種方法從插入損耗入手，它是近年來應(yīng)用的很多的設(shè)計(jì)方法。這種方法的特點(diǎn)是：根據(jù)所提出的技術(shù)要求，決定插入損耗Li（在R2=R1時(shí)也就是孌換器損耗LA）與頻率3的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)理論綜合出具體的電路結(jié)構(gòu)。所以這種方法和前面的一種方法正好是相反的；這種方法根據(jù)要求推求電路，而鏡象參數(shù)法則是應(yīng)用已知的特性電路拼湊出滿足要求的結(jié)構(gòu)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)準(zhǔn)確，而且設(shè)計(jì)是已經(jīng)考慮

13、到外接負(fù)載的影響，無需經(jīng)過多次試探的手續(xù)。它的缺點(diǎn)是需要用到比較難深的網(wǎng)絡(luò)理論。但是，這個(gè)缺點(diǎn)是可以彌補(bǔ)的，因?yàn)橹灰划?dāng)把滿足各種要求的母型濾波器設(shè)計(jì)出來以后，后來的設(shè)計(jì)手續(xù)變成了簡單的查表讀圖和應(yīng)用淺近數(shù)學(xué)方法換算數(shù)據(jù)，從實(shí)用角度來說比鏡象參數(shù)法還要簡單得多。第一部分濾波器設(shè)計(jì)亠耐1-3綜合法濾波器引言一恩格斯說過:“沒有分析就沒有綜合”。要討論綜合法濾波器就需要從分析濾波器入手。綜合法濾波器設(shè)計(jì)又名插入損耗法。這就是說插入損耗是該設(shè)計(jì)法的核心?，F(xiàn)在需要弄清楚什么是網(wǎng)絡(luò)分析和什么是網(wǎng)絡(luò)綜合？網(wǎng)絡(luò)分析一給出一個(gè)具體網(wǎng)絡(luò)，要我們求出這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)綜合一它是網(wǎng)絡(luò)分析的逆過程。給出一個(gè)具體

14、的傳遞函數(shù)，要我們求出這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的電路形式和各種元件的數(shù)值。網(wǎng)絡(luò)綜合的確比分析一個(gè)具體電路要復(fù)雜得多。而且涉及的數(shù)學(xué)公式又多又難。但是它又是一個(gè)把數(shù)學(xué)用于工程問題的一個(gè)極好例子。所以我們還是決定詳細(xì)地講一講。我們相信這會(huì)對(duì)同學(xué)們有好處的。（一）二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)工程設(shè)計(jì)中遇到的實(shí)際電路，大多可以用圖五所示的二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)來表示。圖五的左方代表一個(gè)實(shí)際的電壓源，雖是它的電動(dòng)勢(shì)，R是它的內(nèi)阻。右邊的R2代表負(fù)載。根據(jù)問題的不同R和R2可以取得種種不同的數(shù)值，因?yàn)槿藗冃枰鉀Q的實(shí)際問題是多種多樣的。這樣的兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)主要是用作傳輸系統(tǒng)。既然如此，人們首先注意的問題是：它在外力作用下，輸出端會(huì)產(chǎn)生什么效

15、果。譬如說，當(dāng)輸入端1-1加上激勵(lì)電壓Eg或送進(jìn)激勵(lì)電流I】時(shí)，接于網(wǎng)絡(luò)輸出端2-2的端載R2上的電壓E2或流過R2上的電流I2都是很重要的響應(yīng)，我們把Eg/E2之比稱為傳遞函數(shù)。學(xué)過兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)理論，我們當(dāng)然就希望用網(wǎng)絡(luò)理論來推導(dǎo)這個(gè)電壓傳遞函數(shù)。考慮到網(wǎng)絡(luò)內(nèi)元件的復(fù)雜性，我們就用通用矩陣a來推導(dǎo)這個(gè)傳遞函數(shù)。圖五所示結(jié)構(gòu)用a矩陣的參數(shù)來表示：根據(jù)a矩陣的定義:E=AE2+BI2Il=ce2+di2先求2-2端接上負(fù)載R2時(shí)，1-1端的輸入阻抗Zin:Ei_AE亠見二11CE2+I)I2Al+BC亙J丿十D12AR2十呂cr3+b圖6這樣圖五所示的網(wǎng)絡(luò)就轉(zhuǎn)化為圖6那樣。該電路的電壓和電流的關(guān)系

16、式是很容易求得的。(AR.+BE二RJ+二加I=ILR+s111cr2+d._TAR2+B+CRR2+DRiCR/+D丿=(cr2+d)i2x2+B+CR1R2+DR1Icr3+d丿Eg_AR2+B+CR1R3+DR1E?%當(dāng)R=R2=1Q時(shí)，E嚴(yán)二A+B+C+D艮因?yàn)?，?duì)于純電抗網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)頻率j3時(shí)，只有B和C是純虛數(shù)，而A和D是實(shí)數(shù)。所以，就是一復(fù)數(shù)。于是又可以把它表示為：Fp1二二尹二如E2E2這個(gè)公式(3)是極其重要的一個(gè)關(guān)系式，它所要滿足的條件在我們一般要討論的問題中，很容易達(dá)到R=R2。這是因?yàn)椋鹤鳛橐粋€(gè)傳輸系統(tǒng)總是希望把大部分功率傳到負(fù)載上去的，所以總是想盡辦法使電流和負(fù)載匹配。這

17、里要提的另一個(gè)問題是：為什么在公式的推導(dǎo)中，用的是R=E=1Q,而不是具體值。R1=R=300Q,25Q,75Q呢？回答是：這樣可以簡化我們的討論。這也是網(wǎng)絡(luò)分析的一個(gè)極重要的結(jié)論一一阻抗歸一化。電壓傳遞函數(shù)的阻抗歸一化人們對(duì)大量的具體電壓傳遞函數(shù)進(jìn)行分析后，總結(jié)出一個(gè)重要的特性。如果網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)獨(dú)立的阻抗乘上一個(gè)常數(shù)因子A后，那么，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)保持不變?？紤]到以后的實(shí)際情況，我們用帶撇“”的R、C和L來表示已歸一化的元件值，單位分別是歐姆、法拉和亨利，而用不帶撇的R、C和L表示實(shí)際電路的元件值。具體來說：對(duì)于電阻值!對(duì)于電容值,對(duì)于電感值!R二ARrA=工這個(gè)結(jié)論可以用實(shí)際例子來說

18、明:給我們兩個(gè)如圖7(a)(b)所示的網(wǎng)絡(luò)，要我們分別求出其各自的電壓傳遞函數(shù)，按照電工原理，我們可以求出它們的電壓傳遞函數(shù)：對(duì)于圖7(a)所示的網(wǎng)絡(luò)，我們先求出其回路電流I】：150+50+J100G3EEE9=LR.=電x50=21250(2+j2)2+j2w于是對(duì)于圖7(b)所示的網(wǎng)絡(luò)，由于其R=R2=1Q,數(shù)簡單，所以計(jì)算起來更加簡潔:1+1+j2e)2+j2wEEE3=LR3=-Xl=2+j2印2+j2于是2+)2e2由此可見這兩個(gè)電路的電壓傳遞函數(shù)是一樣的。圖7(b)的電路的各元件值只是圖7(a)的電中各元件的阻抗值擴(kuò)大了50倍的反映。所以，這兩個(gè)電路只有絕對(duì)阻抗大小的差別，而對(duì)電

19、壓分配比是一樣的。這樣，我們就可以把阻抗之間的相對(duì)比例一樣的網(wǎng)絡(luò)歸為一類。僅僅研究它的歸一化后的電路的特性，別的阻抗值的電路，都可以從它導(dǎo)出。(二)電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化受到上述的好處以后，我們很自然地會(huì)想到不同的頻率工作的電路，其電壓傳遞函數(shù)是否也能歸類,研究的結(jié)果是可行的。其結(jié)論如下：如果把工作頻率從3=1弧度/秒升高到3=B弧度/秒，讓該網(wǎng)絡(luò)的所有電阻保持不變，而把網(wǎng)絡(luò)中的所有電感L和電容C都除以B,那么，變換后的電路的電壓傳遞函數(shù)沒有變化。這是很自然的，它好像物理量的單位換算，其基本的道理仍然是使網(wǎng)絡(luò)各元件的阻抗之比保持不變。對(duì)于電阻，因?yàn)樗凸ぷ黝l率無關(guān)，所以工作頻率變化，不影響它

20、的值。對(duì)于電容的電感，則有：XL=Lr=L和電路分析求出的結(jié)果完全一樣。不過，從過程中可以看出：后一種方法簡潔很多。而且，當(dāng)元件數(shù)目越多就越顯出矩陣法的優(yōu)越。我們?cè)谶@里還要定義一個(gè)歸一化幅度函數(shù)A（3）：魚Et_Ari2L3Ce2j晟-宀、(L+L3-C3f3CdJ2LJ4A()=1-0T+丄亠to4A2(=1+B2-FB2to4+B3a對(duì)偶電路上述一列三節(jié)低通濾波電路都有其對(duì)偶電路。我們把它們都畫在圖15上。它們各自的電壓傳遞函數(shù)、幅度平方函數(shù)也可以求出如下：一節(jié)對(duì)偶低通濾波器:E2+jcoCA?(w)=1+十A3(g)=1+比用二節(jié)對(duì)偶低通濾波器:厝1j叫01ij述2_jwCj1-(C,L

21、52-03匕D+同G+LJA3(oI=1+t)3+B23+B3co4+Bgof從上面分析可以看出對(duì)偶電路各自電壓傳遞函數(shù)是不變的，它們?cè)趥鬟f能量的頻率特性上是一樣的。圖15像這樣一節(jié)一節(jié)地推下去最終就能導(dǎo)出像圖16所示的梯形結(jié)構(gòu)的低能濾波器。其幅度平方函數(shù)A2(3)的一般表示式為：A2(to)二1+鳥co2+E肘+E肘+鞏護(hù)其中n是濾波器的元件個(gè)數(shù)。圖16通過對(duì)低通濾波器進(jìn)行定量分析以后，得出兩個(gè)極為重要的結(jié)論：（一）一個(gè)特定的電壓傳遞函數(shù),對(duì)應(yīng)著兩個(gè)具體電路，這兩個(gè)電路就是電工中的對(duì)偶電路。（二）對(duì)于梯形結(jié)構(gòu)的低通濾波器，它的幅度平方函數(shù)可以表示為頻率3作參量的一個(gè)2n階的多項(xiàng)式。又因?yàn)锳2

22、（s）和插入損耗Li有直接關(guān)系，濾波器的綜合又和多項(xiàng)式直接聯(lián)系在一起，所以也有人把綜合法濾波器叫做多項(xiàng)式濾波器。這兩個(gè)結(jié)論的第二個(gè)更為重要，因?yàn)樗嬖V我們梯形結(jié)構(gòu)低通濾波器的電壓傳遞函數(shù)，和幅度平方函數(shù)是有規(guī)律的，解析的。這就為我們提供了運(yùn)用數(shù)學(xué)來解決問題的可能性。網(wǎng)絡(luò)分析達(dá)到這一步就完成了它的使命。下一步就屬網(wǎng)絡(luò)綜合的范疇。根據(jù)給出的衰減特性，或衰減曲線來找具體的電路。第一部分濾波器設(shè)計(jì)1-5低通濾波器的綜合（一）引言低通濾波器根據(jù)定義應(yīng)該是：在通帶內(nèi)濾波器的變換器損耗LA為零，而在止帶內(nèi)LA應(yīng)該無窮大。這是不可能實(shí)現(xiàn)的。一般來說，工程問題多大只有一個(gè)折衷解。照顧一方面，另一方面就得犧牲點(diǎn)，

23、沒有什么都好的。濾波器的綜合也是這樣，主要的指標(biāo)有插入損耗，帶外衰減，信號(hào)的時(shí)間遲延，信號(hào)的群遲延等。根據(jù)不同要求，給出不同的結(jié)果。這里就是一個(gè)近似問題。即用什么方法去盡量地近似理想的情況。同時(shí)也有一個(gè)是以哪種方式去近似。只有解決了這些問題，才能繼續(xù)討論具體的綜合。加上近似理論對(duì)于以后的工作和學(xué)習(xí)都很有用。所以我們打算比較詳細(xì)講一講這個(gè)問題。（二）近似問題在討論用一個(gè)函數(shù)近似地表達(dá)另一個(gè)給定函數(shù)（圖形）之前，我們用自變量X代替無線電技術(shù)中的頻率3。這樣做的目的是使討論更有普遍意義。而且，近似常常是在經(jīng)頻率變換后進(jìn)行的，故變量常不再是3。假定g（x）為X的函數(shù)，給定在x軸的（a,b）范圍內(nèi)，并令

24、x）為我們所需要求的近似（實(shí)現(xiàn)）函數(shù)。函數(shù)g（x）作為一個(gè)期望的幅度函數(shù)或者相位函數(shù)。它可能是以解析式給出，不過經(jīng)常是以圖形給出。fx）則是可實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。假定g（x）和f（x丿在區(qū)間（a,b）內(nèi)具有同樣的性質(zhì)。這樣，它們?cè)谀骋稽c(diǎn)X0均可用臺(tái)勞級(jí)數(shù)來展開。并設(shè)兩個(gè)級(jí)數(shù)在區(qū)間（a,b丿內(nèi)均為收斂，貝V：=a0+o1x-x0j+a3tx-+近似的誤差將為兩者之差，即皿）_尹巧=砌一帯+0-2%U_孔、打衍-織歸.擬丿+如果兩個(gè)級(jí)數(shù)的前K次系數(shù)逐項(xiàng)彼此相等，貝fx）與g（x）為K階臺(tái)勞型近似。在此情況下，誤差函數(shù)將由x的第（K+1）冪次項(xiàng)開始，即塞對(duì)如列如i加f嚴(yán)上式就是x=x0處展開的臺(tái)勞級(jí)數(shù)的

25、誤差函數(shù)。而且，可以看出：在x=x0處的誤差函數(shù)的前K階導(dǎo)數(shù)為零。這是臺(tái)勞近似法的一個(gè)性質(zhì)。其實(shí)我們可以得出如下定義：如果g(x)-f(x)的前K階導(dǎo)數(shù)在x=x0處為零，則fx)為g(x)在x=x0處的K階臺(tái)勞近似式。臺(tái)勞型近似法中，在x=x0處誤差為零；而隨著x-x0的增大，誤差增加。因而，這一近似法有利于接近x0的所有x值，而不利于接近區(qū)域兩端的點(diǎn)。其實(shí)這個(gè)近似僅在x0點(diǎn)十分好，在這一點(diǎn)不僅兩個(gè)函數(shù)完全相同，而且，它們的若干導(dǎo)數(shù)也完全相同。如果，近似函數(shù)f(x)沿給定函數(shù)g(x)來回?cái)[動(dòng)，則兩者的差將有峰值和谷值，某些峰值將是很大，而某些峰值則很小。fx)越復(fù)雜，即fx)的可調(diào)整參數(shù)越多，

26、得到的近似就越好。假設(shè)，我們規(guī)定fx)有n個(gè)參=1+o+切g(shù)丼數(shù)例如：為具有n個(gè)可調(diào)整系數(shù)的多項(xiàng)式最佳近似的一種方法是這樣。它使得誤差函數(shù)的最大值降到最小。我們稱此近似法為“切比雪夫近似法”。由上可知，對(duì)一個(gè)函數(shù)g(x)或圖形進(jìn)行近似，方法是多種的，上述的臺(tái)勞級(jí)數(shù)近似法和切比雪夫近似法都是最常用的，此外還有一些近似法，如橢園函數(shù)近似法。不過，不同的近似法有它各自的特點(diǎn)。所以就有選擇的余地。最大平滑近似圖17示出了一個(gè)理想低通濾波器，其幅度和截止角頻率3c都標(biāo)稱為1。這個(gè)理想低通濾波器傳遞函數(shù)為E(jw)=e_jra01Li=101|Fi|2AA01圖17這樣的理想特性是無法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)函數(shù)

27、是一個(gè)有理函數(shù)，其幅度必須是3的連續(xù)平滑函數(shù)，而圖17的特性則不然，它在3=1處要折轉(zhuǎn)一個(gè)直角。因此，在綜合過程中，需用近似方法求出一個(gè)有理函數(shù)來近似圖17的特性。一種簡單的近似稱為最平幅度特性近似。這一近似函數(shù)必須是有理函數(shù)，在通帶內(nèi)，即1訓(xùn)一1的范圍內(nèi)，幅度平方要近似于1。而在通帶之外，即卜1的范圍，幅度的平方逐漸趨于無窮大。首先，假定傳遞函數(shù)的無窮大點(diǎn)產(chǎn)生在頻率等于處，則有：G(o)2)=1+B+B2g)4+Bn其中指數(shù)n和系數(shù)b是待定的常數(shù)，它們的數(shù)值與所求的近似程度有關(guān)。在上式分母中的第一項(xiàng)的系數(shù)取為1是為了保證近似函數(shù)與給定函數(shù)在3=0時(shí)重合，在通帶內(nèi)誤差函數(shù)為：Gt(w2)-G(

28、oI=BX+B2w4+Bnw2n用主；卅代入上式得R仗)二Gjx)-G(x)=B12+B24+比諛系數(shù)B的求法隨所采用的近似類型而定。如果采用臺(tái)勞型近似，則要求誤差函數(shù)的前n階導(dǎo)數(shù)在x=0時(shí)等于零。更確切地說，K階臺(tái)勞型近似需要誤差函數(shù)的第K階導(dǎo)數(shù)之前的各階導(dǎo)數(shù)等于零。式(6)的第K階導(dǎo)數(shù)之前的各導(dǎo)數(shù)當(dāng)x=0時(shí)分別為：dR(x)dxx=0二E=E=1!Ed3d?=0=6B3=12x3xB3=3fB3這樣，我們可以推斷定：R(x)的第n階導(dǎo)數(shù)在x=0時(shí)，可以表示成Bn乘以n!。又因?yàn)槲覀儾捎门_(tái)勞型近似，貝煨差函數(shù)R(x)的第K階以前導(dǎo)數(shù)在x=0時(shí)都必須是零，才可以稱為第K階臺(tái)勞近似。所以，B1=

29、0,B2=0,B3=0直到Bn-1=0，于是，函數(shù)G(w2)=!+Bk+1w2(k+1)+Bnw2n就是對(duì)于幅度為1的K階臺(tái)勞近似。對(duì)于給定n值的最高階臺(tái)勞近似函數(shù)為：G(to2l=l+Bnw211上式稱為最平幅度特性近似函數(shù)。在截止頻率處(3=1),上式化為：G(l2l=l+Bn系數(shù)Bn取決于截止頻率處，人們規(guī)定是什么樣的幅度，當(dāng)Bn=1時(shí)，G(12)=2，于是截止頻率3=1處對(duì)應(yīng)著輸出功率下降3db，輸出幅度下降0.707倍。這種最平幅度近似還有一個(gè)名字叫做勃脫瓦茲(Butterworth)響應(yīng)。多項(xiàng)式心丄!十川也叫做n階勃脫瓦茲多項(xiàng)式。切比雪夫(Chebyshev)近似現(xiàn)在我們?cè)儆懻摿硪?/p>

30、種近似方法。這就是讓近似函數(shù)在給定函數(shù)附近擺動(dòng)，使誤差平均地分布在整個(gè)頻帶內(nèi)。同時(shí)我們還把最大值的大小減到最小，這也就等于偏離近似。我們把這種近似叫做切比雪夫近似。由于在工程中很有用，所以打算詳細(xì)地來講。一般的問題為在區(qū)間(-1,+1)范圍內(nèi)求出與某一常數(shù)為切比雪夫近似的m階多項(xiàng)式的系數(shù)(將3軸歸一化成頻率帶邊緣等于土1)。誤差函數(shù)本身為一m階多項(xiàng)式,設(shè)為h(3),且其階狀如圖18所示，其中峰值被歸一化于1。-1圖18根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知，一個(gè)m階切比雪夫近似的誤差函數(shù)在近似區(qū)域內(nèi)應(yīng)達(dá)峰值m+1次；m-1個(gè)出現(xiàn)于近似區(qū)內(nèi)，2個(gè)出現(xiàn)于邊界上。在區(qū)內(nèi)的峰值點(diǎn)上，h的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零，且所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)應(yīng)為一階零

31、點(diǎn)。現(xiàn)在，設(shè)有多項(xiàng)式1-h2;它在所有m+1個(gè)h峰值點(diǎn)將等于零，因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上，h=1。而且,它在區(qū)內(nèi)峰值點(diǎn)上將有二階零點(diǎn)。這可由1-h2的導(dǎo)數(shù)2hh在這些點(diǎn)也零而得出。在兩端3二1點(diǎn)，1-h2僅有一階零點(diǎn)。因此，1-h2除了含有(h)及(1-3)(1+3)外，無其他因子。這樣我們有：以及dli.1dco_,=土,其中，K為常數(shù)。h的解可由上式積分得出。其結(jié)果為：cok-1h=icos-1ft)K已知，當(dāng)3由-1到+1，h在1間擺動(dòng)m次，這就確定了K=1/m，所以h=Cos(mCos-1)|1并可寫為：h=Cosmy3=Cosy這些多項(xiàng)式可以表示為Tm(3)并稱第一類切比雪夫多項(xiàng)式，m為多項(xiàng)式

32、的階。=coy1,111CGH-1閨)-11的情況，就有：1圖19示出了幾個(gè)低階切比雪夫多項(xiàng)式圖形及其數(shù)學(xué)表達(dá)式:圖19（五）最大平滑濾波器的綜合在我們研究了近似條件和某些特定的近似函數(shù)，加上網(wǎng)絡(luò)分析時(shí)推導(dǎo)的結(jié)論：圖16所示的梯形結(jié)構(gòu)低能濾波器，其幅度平方函數(shù)A2（3）的一般表示式為：A2(w)=1+B/o2+B2w4+E3亦HBn(o2n其中n是濾波器的元件個(gè)數(shù)，我們就有條件來綜合濾波器的元件。在近似理論中已經(jīng)指出：理想的低通濾波器特性可以采用臺(tái)勞近似。它的最高階近似就是勃脫瓦芘茲（最大平滑）響應(yīng)。它要求低通濾波器的幅度平方函數(shù)滿足下列公式：其中n為濾波器的元件個(gè)數(shù)。比較（7）式（8）式就知

33、道，如果希望用上述梯形結(jié)構(gòu)來綜合濾波器只要令這兩個(gè)公式中的各項(xiàng)系數(shù)相等，則有：鞏=1B1=B2=B3=En-L=0一節(jié)最大平滑利用這個(gè)條件，我們就可以解出滿足最大平滑函數(shù)的濾波器。下面就來找找看:低通濾波器：根據(jù)定量分析，一節(jié)低通濾波器的幅度平方函數(shù)的數(shù)學(xué)式為：T2A2(g)=1+4要滿足最大平滑的要求，則有:L2=4;L二土2L=-2是物理上不能實(shí)現(xiàn)的。二節(jié)最大平滑低通濾波器：其幅度平方函數(shù)的通用式為則有！少心=0Li=jV2L二二土忑?。篖i=C2=-2其他解無物理意義。三節(jié)最大平滑低通濾波器：其幅度平方函數(shù)的通用式為:十脅匸1-L+S7*亠L(fēng)h(c嚴(yán)Q44要滿足最大平滑的要求，則有:2L

34、J|LC/C：2LJ1=Bq-04J2T?廠2T2宀弋=143求解并取有理解為：當(dāng)3c=l弧度/秒時(shí)，L=L3=1（亨利）C2=2（法拉）從上述討論，已經(jīng)可以看出，當(dāng)濾波器節(jié)數(shù)超過四節(jié)以上，直接求解法就顯得得很困難了。這里我們就要用到復(fù)變函數(shù)理論來求高階最大平滑濾波器。我們還是從最大平滑近似函數(shù)出發(fā)：A2（3）=l+32n,用S=j3把3平面開拓到復(fù)數(shù)平面S上,貝y：S3n=伽戶=（?滬=（1他如這就是最大平滑函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示法。又因?yàn)閺?fù)變函數(shù)中，零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置決定了這個(gè)函數(shù)的特性，所以我們也來求出一時(shí)，各個(gè)零點(diǎn)的位置。則有：11SK=(-1(-1)=e護(hù)式中:K=l,2,3.2n。這些零

35、點(diǎn)都落在S平面的單位圓上，并且既以實(shí)軸為對(duì)稱又以虛軸為對(duì)稱。對(duì)下列情況求零點(diǎn):ii=h1-S2=0Si2-1忌IC+L=2,l+S4-0百=K=UJ.4n=3.1-S6=0SK=K=L2J4A6其零點(diǎn)的分布如圖20所示。n=3圖20現(xiàn)在需要把幅度平方函數(shù)的根和以前學(xué)過的反射系數(shù)、插入損耗和兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗聯(lián)系起來。根據(jù)定義，兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的插入阻抗和它的傳遞函數(shù)的幅度平方有下列關(guān)系:它只描述了負(fù)載吸收功率P2和電源最大輸出功率之間的關(guān)系。而沒有直接地和網(wǎng)絡(luò)中的元件聯(lián)系起來。不過，我們知道濾波器網(wǎng)絡(luò)是無源元件組成的，它不吸收功率。于是，最大輸出功率一定是由這個(gè)兩端網(wǎng)絡(luò)反射回去一部分，留下的才成了

36、負(fù)載R上的吸收功率。這樣，我們可寫成：Pi輸入功率，Pr反射功率，R2負(fù)載R上的吸收功率，在這里Pi=Pmax,(參見圖21)。(a)(b)圖21另一方面，根據(jù)傳輸線理論，反射功率Pr為:式中r為反射系數(shù)，r*表示r的共軛復(fù)數(shù)，故得插入損耗：P1L.=1已-L-rr注意r=r(js),它是因頻率3而變的。所以，按照前面講的近似函數(shù)所提出的具體，實(shí)際就是找出反射系數(shù)的模平方|丨2與3的函數(shù)關(guān)系。即：-7=A(Ki)|2i-rri-|r|2|r|2=i-|a(亦有了反射系數(shù)r和丨a(3)丨之間關(guān)系，我們還可以推出兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的輸入端的輸入阻抗Zin和r(j3)之間的關(guān)系。=i+r(s)虻1鞏引另外根

37、據(jù)Zin(1)求網(wǎng)絡(luò)元件又有下列關(guān)系_A+B-述)一C+D式中A、B、C、D是通用矩陣中的參數(shù)。到此，我們已經(jīng)把近似函數(shù)的要求和網(wǎng)絡(luò)元件聯(lián)系起來，下面就通過舉例來說明這些過程。數(shù)有下列關(guān)系：求一節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值。已知，它的幅度平方函A（o）2二1+亦11對(duì)于節(jié)濾波器，n=1,貝V：A(w)2=1+od2利用S=js,則有：Wr(-s)=i-根據(jù)零極點(diǎn)分布的位置，r（s）是包括了s平面的左半平面上的點(diǎn)，r（-s）包括了s平面右半平面上的點(diǎn)。所以：r（s）=r（-s）=s+is-i再根揺-i+r（s）_s+i+s_這根據(jù)電阻分析Zin（i=2S+l表示著一個(gè)2亨利的電感和一個(gè)1

38、歐姆的電阻串聯(lián)，去掉這1歐姆電阻（歸一化負(fù)載電阻），該兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)中只剩下一個(gè)2亨利的電感，這和直接用類比法求的結(jié)果是一樣的。見圖22所示。下面我們來看一下二節(jié)濾波器的情況：二節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值的求解過程:對(duì)于二節(jié)濾波器n=2來說，最大平滑函數(shù)應(yīng)該是開拓到S平面，則有:r(s)r(-s)=s2(-s3)_s4(s-S!)(s-s2)(s-s3)(s-s4)-1+s4根據(jù)上式可知其左半S平面上的兩個(gè)根為:取其左半s平面上的零，極點(diǎn)構(gòu)成r（S），則:s2S2+2S+1求其兩端對(duì)輸入端的輸入阻抗，則有：_S2+2S+1+S2_2S2+2S十1_斥1血宙+jls+i護(hù)Jis+i+72s

39、+i二Z十一Y.+1其中Z是上亨利的電感，丫2是&法拉的電容，其具體結(jié)構(gòu)見圖23所示,圖22圖23這個(gè)結(jié)果又和以前類比法求出的相一致。但是求解的過程簡單明了。把這些n=2,n=3.m的結(jié)果算出來，列成表。不同的n值，網(wǎng)絡(luò)有兩種形式。一種是第一個(gè)元件為并聯(lián)電容，如圖24(a)所示。另一種是第一個(gè)元件為電感，如圖24(b)所示。不同n值網(wǎng)絡(luò)的元件值列于表2。表中所列的各元件值的單位，電容為法拉，電感為亨利。現(xiàn)在應(yīng)用綜合方法設(shè)計(jì)出來的濾波器大都具有最大平滑特性或切比雪夫特性。附圖1給出母型濾波器的最大平滑特性，它的特點(diǎn)是無論在通帶或止帶內(nèi)，插入損耗Li都隨著s的上升而單調(diào)增加。雖然在這兩個(gè)頻帶內(nèi)增加

40、的速度是很不相同的。附圖2表示切比雪夫?yàn)V波特性,它的特點(diǎn)是：在通帶內(nèi)，插入損耗Li在0db與Adb之間來回變化；在截止頻率上，L=Adb;時(shí)入止帶后，Li單調(diào)上升。從這兩個(gè)圖形可以看出，當(dāng)元件數(shù)目n增大時(shí)，Li從通帶至止帶的過濾較前陡峭。實(shí)際上，元件數(shù)目愈多，Li在過度區(qū)內(nèi)的上升愈快。所以，在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，首先是根據(jù)提出技術(shù)要求，確定所需的元件數(shù)目n。LaA(!)附圖3是最大平滑濾波特性和切比雪夫?yàn)V波特性的比較。它們所用的元件數(shù)目相同(n=2)。一種非常顯著的差別是在截止頻率3c以外，切比雪夫特性的Li的曲線上升得非常迅速，超過最大平滑濾波器甚多。這意味著切比雪夫?yàn)V波器能夠提供一個(gè)極其明顯的截

41、止區(qū)域，把通帶和止帶分開來。這是它的優(yōu)點(diǎn)。不過，也有它的缺點(diǎn)，就是在通帶內(nèi)也有一定的插入損耗。不但如此，當(dāng)構(gòu)成濾波器的電抗元件具有較大的損耗時(shí)，雖然任何一種濾波器的通帶響應(yīng)都會(huì)發(fā)生改變，但是這種影響對(duì)切比雪夫?yàn)V波器尤其厲害。下面我們列出這兩種母型濾波器的各種計(jì)算公式和表格，所用符號(hào)的含意在下面敘述。最大平滑濾波器：變換器損耗laLA(oy)=iolgs=anti-1一TO式中n二元件數(shù)，,A二在截止頻率3c上的器件損耗，當(dāng)A=3db時(shí)，=1。止帶內(nèi)的LA與3的關(guān)系見有關(guān)書籍。元件參數(shù)以下公式適用兩端加載，A=3db,g0=1,gn+i=l,3c=l的情況。(單位:歐姆；亨利或法拉)So=tSk

42、S111(2K-lhj2nK=1二.11gn+l二丄應(yīng)用這些公式計(jì)算出來的元件值見表2。表2最大平滑母型低通濾波器元件值VLCa)ow+1a)24更詳細(xì)的表格可參考有關(guān)書籍(II)切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器的變換損耗的表示工，在通帶和止帶內(nèi)是不一樣的。變換器損耗通OrcLA(ti)=101?.：l+E2cos2式中的符號(hào)如前。Ch是雙曲余弦函數(shù)，可從有關(guān)函數(shù)表查得。LA與3的關(guān)系曲線可以從有關(guān)書籍中查到，我們的曲線只適用于通帶內(nèi)器件損耗LA=O.ldb的情況。元件參數(shù)(g0=1,3c=1)輔助參數(shù)計(jì)算公式:卩二山C+h_1737；2n,bK2112-2=T+surK=1,211IC=L211

43、11元件計(jì)算公式Si斗叱-1叱bK-lK-lK2J、n為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)）sc=1的情況，其結(jié)構(gòu)同最大平滑式濾波器。表3是計(jì)算出來的元件值表。它適用于A=O.ldb,g0=1,表3切比雪夫0.1db波紋的元件值g1g2g3g4g5g6g70.1.305200000.0.1.8430622035541.1.1.1.03151474031500001.1.1.0.1.108830617703818035541.1.1.1.1.1.1468371297503712146800001.1.2.1.1.0.1.1681403905625170902986183554更詳細(xì)的表格可參考有關(guān)書籍:“微波濾波器

44、阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)與耦合結(jié)構(gòu)”上?？萍记閳?bào)通訊編譯室,1972年“濾波器綜合法設(shè)計(jì)原理”黃席椿、高鵬泉編著,人民郵電出版社,1978年“微波網(wǎng)絡(luò)”林為干著,國防工業(yè)出版社出版,1978年為了能更加自由地運(yùn)用這些圖表，對(duì)這些圖表作一個(gè)詳細(xì)說明。圖24的(a)和山)中，1-1和2-2之間的電路是母型濾波器的本體;左方代表電源的“內(nèi)阻”(圖上把電源略去了);右方代表負(fù)載電阻。母型濾波器共有n個(gè)元件構(gòu)成，n的數(shù)值取決于對(duì)插入損耗的具體要求。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，電路的終端如圖24(a)左方的電路所示。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，電路的終端便接成圖24(a)右方的局部電路所給出的情況。在網(wǎng)絡(luò)理論上，圖24(b)的電路是(a)的“對(duì)

45、偶”電路。這兩個(gè)電路的特性是完全相同的。所以母型濾波器可以采用(a)的結(jié)構(gòu)，也可以采用(b)的結(jié)構(gòu)。為了擴(kuò)大母型濾波器的數(shù)據(jù)的適用范圍，圖24的電路是歸一化了的，圖上標(biāo)出的符號(hào)也具有靈活的含義。下面是母型濾波器所用的符號(hào)。3c母型濾波器的截止頻率，它是通帶和止帶的分界;通常令3c=l。3母型濾波器的頻率變量。0W3W3c這個(gè)范圍代表通帶；3c3代表止帶；gK=in母型濾波器所用元件的參數(shù)，根據(jù)具體情況，它有著不同的含義(參看圖24);在一些場合下，它表示串接線圈的電感量，而在另一些場合下，則表示跨接電容的電容量。g反映電源內(nèi)阻的參數(shù)，它也有靈活的含義：當(dāng)g=G(即圖24(a)的情況)時(shí)，g就是

46、電源內(nèi)阻Ro：但當(dāng)g=L(即圖24(b)的情況)時(shí)，g切代表電源的內(nèi)部電導(dǎo)Go；在這種情況下，電源用等效電10流源來表示。gn+1反映負(fù)載的參數(shù)，亦有靈活含義：當(dāng)g=Gn時(shí)，g表示負(fù)載電阻Rn+1;但當(dāng)g=Ln時(shí),g切代表負(fù)載的電導(dǎo)Cn+1。nn+1所以采用這樣靈活的含義，是使算出的數(shù)據(jù)表既適用于圖24(a)，也適用于(b)的電路。通常表2所列的數(shù)據(jù)大都是在3c=1和g=1的條件下計(jì)算出來的，當(dāng)實(shí)際情況不符合以上條件時(shí)，必須對(duì)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，才能符合實(shí)際情況0。實(shí)際上就是把母型濾波器僅歸一化成別的阻抗電平和頻率標(biāo)度，只要用下列變換式就行。對(duì)千電阻或電導(dǎo)有：R=對(duì)于電感有:對(duì)于電容有:應(yīng)丿.R

47、J八耳電電、兔A碼Lr=7cp=k玩珂Cf這些方程中帶撇的量是歸一化母型中的量，不帶撇的量對(duì)應(yīng)于有標(biāo)度電路的量。如前面討論所指出的，本章的原型有g(shù)=R=1或G二G二1。這和以前討論的結(jié)論是一致的。A對(duì)應(yīng)R/R以及B=wd。00010011我舉一個(gè)實(shí)例來說明這個(gè)過程，假定有一個(gè)低通母型最大平滑濾波器，節(jié)數(shù)n=3,則查出其低通母型的元件值為R=1.000歐姆，L=1.000亨利，C=2.000法拉，L=1.000亨利?，F(xiàn)在希望在電源內(nèi)阻R=00123o円/1-50-4-列1、A的丿0X1OS=0.159X10-3歐姆，3db下降點(diǎn)在100MHZ的情況下，來實(shí)現(xiàn)這個(gè)濾波特性。于。利用上列各式就得：R

48、=50歐姆;_.、一0,.是：L=L=50 x(0.159xl0-2)xl=0.795mh;C=l/50 x(0.159x10-2)x2=63.6pfo畫成最后的電路圖如圖25所示。212圖25作為本小節(jié)的結(jié)束，讓我們結(jié)合下列的濾波器進(jìn)行計(jì)算，作為實(shí)例。設(shè)要求一個(gè)通帶濾波器，其性能為：在中心頻率f=6680MHz的駐波比1.1;0在f的變換器損耗l.ldb;03db帶寬大于f19MHz,同時(shí)小于f24MHz;00在f10MHz內(nèi)平坦度在0.3db以內(nèi)；0止帶衰減：在f70MHz上,LM50db。0A第(1)和第項(xiàng)指標(biāo)涉及到元件的損耗，我們暫時(shí)將它撇開，這里我們以最大平滑濾波為例，它的中心頻率f

49、=6680MHz。0(I)設(shè)計(jì)截止頻率f、f和相對(duì)帶寬W等：1219+24根據(jù)要求，設(shè)截止頻率等于f4，得:截波f=6680+21.5=6701.5MHz1f=6680-21.5=6658.5MHz2中心頻率f二磁血=6680MHz0W=九-相對(duì)帶寬為：=0.644%fo這是一個(gè)頻率比較窄的濾波器。(II)選擇元件數(shù)n元件數(shù)n取決于要求的第(5)項(xiàng)和第(4)項(xiàng)。要求(5)提出在f70MHz的頻率上,LM50db。這兩個(gè)頻率實(shí)際是Af=6680+70=6750MHz4f=6680-70=6610MHz5首先我們得把這兩個(gè)頻率轉(zhuǎn)換為它們所對(duì)應(yīng)的母型濾波器頻率3和3。因?yàn)閾Q算后，3更靠近零，我們只需

50、要考慮f。440.0064.66806750根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù)，我們可以在附圖的曲線上查找。查到n=5的曲線給出L=51.4db,已可以滿足需要。故A母型濾波器應(yīng)由5個(gè)元件組成。這個(gè)步驟當(dāng)然也可以用公式推算，不過麻煩一些而已。取n=5時(shí)，驗(yàn)算要求(3),完全可以滿足而有余。(III)母型低通濾波器在決定取n=5以后，我們便可以應(yīng)用公式直接得到母型低通濾波器如圖26所示。(IV)換算成帶通濾波器如果所要設(shè)計(jì)的濾波器系由集總參數(shù)的元件組成，到了這里人們便可以根據(jù)上一步所得的母型低通濾波器，應(yīng)用式4和式5,把它換算成圖27所示的帶通濾波器，這就是設(shè)計(jì)結(jié)果。可是對(duì)于微波濾波器來說，工作似乎只進(jìn)行了一半，還有

51、一個(gè)怎樣把圖27的電路具體化的問題，即采用什么結(jié)構(gòu)才以獲得與圖27的電路大致等同的效果。這個(gè)問題就是第二部分的內(nèi)容。= = LI品=g=1.6180gf=f10.03336f(GHzy-曽)幾C以上關(guān)系式是通用公式，式中f用GHz即GHz表示，入c用厘米表示，所以算得的入g的單位亦為厘米。上一節(jié)的要求(3)規(guī)定，濾波器的3db帶寬必須大于f19MHz,同時(shí)又必須小于f24MHz。這里有信信四個(gè)頻率。現(xiàn)在f=6.680GHz,故這四個(gè)頻率為：信=6.680+0.019=6.69SGHs11ft,=6.680+0.024=6.704GHzfc=6.6800.019=6.661GHzf=6.6800

52、.024=6.656GHz應(yīng)用式可得這四個(gè)頻率所對(duì)應(yīng)的波導(dǎo)波長分別為：仏二5-8369cm=5.8294cm1=5.8939cmZgd=5.9015cm根據(jù)這四個(gè)波導(dǎo)波長，可以算出濾波器的截止導(dǎo)內(nèi)波長為：%+7扎二宙，魁二殳8977M米TOC o 1-5 h z弧2顯二適=：5.咅6石瘦米匕2與信道頻率的波導(dǎo)波長相差極小。上一節(jié)要求(5)規(guī)定：在f70MHz上，L=50db。這里還有兩個(gè)頻率:信A仁二6.680+0.070=6.750GHzfn=6.680-0.070=6.610GFIz它們所對(duì)應(yīng)的波導(dǎo)波長為:(2)計(jì)算波導(dǎo)波長帶寬W入以具體數(shù)字代入得:=5.7625cm1=5.9725cm5

53、.8977-5.8332=aQ1105.8655=1.10%波導(dǎo)濾波器需用波導(dǎo)波長計(jì)算帶寬。與以前用頻率計(jì)算來比較，帶寬幾乎增大一倍(原來W=0.644%)。由導(dǎo)內(nèi)波長推算母型低通濾波器的對(duì)應(yīng)頻率：甸2f%-入J對(duì)應(yīng):2/5.S655-5.9725=-3.32o5.8655選擇元件數(shù)nn=5的曲線給出LA=50.05db。所以取n=5還勉強(qiáng)可以滿足要求。從上面計(jì)算結(jié)果可知，現(xiàn)在決定的因素是2.19時(shí),上一節(jié)的第四項(xiàng)要求在n=5時(shí)仍可滿足有余，這里便不詳細(xì)計(jì)算了。第二部分微波濾波器2-2傳輸線諧振器這一節(jié)所討論的傳輸線諧振器是廣義的，即為但包含雙線傳輸線諧振器，而且還包括微帶線諧振器、同軸線諧振

54、器和波導(dǎo)諧振器等。在討論傳輸線諧振器以前，讓我們先重復(fù)一下串聯(lián)和并聯(lián)諧振回路的一些基本概念。圖30(a)是一個(gè)L和C組成的串聯(lián)諧振回路，它的諧振頻率3是：1101叫花可假如現(xiàn)在還有另外一個(gè)串聯(lián)諧振回路，它由L2C2=，那么，這個(gè)串聯(lián)回路的諧振頻率和前一個(gè)回路完全一樣，但這兩L和C組成，LHL,但2221個(gè)回路之間究竟有什么差別呢？711ILL2圖31如果我們計(jì)算回路I的輸入阻抗Z,我們得到:二1=joil-=jXi當(dāng)3=3時(shí)，Z=0。但當(dāng)頻率偏離3,彳便是一個(gè)純電抗，根據(jù)頻率的不同，X的大小也不一樣。我們可以將上式改變一下：11變換到這一步，上式還是完全準(zhǔn)確的。當(dāng)頻率3偏離3很小時(shí)，我們可以認(rèn)

55、為:03+3=230-0=A將以上關(guān)系代入，我們得到：X=2LA于是，我們得到這樣一個(gè)結(jié)論:：對(duì)于一個(gè)串聯(lián)諧振回路來說，當(dāng)頻率3從3。偏離一點(diǎn)點(diǎn)，變成為3+A3時(shí)，輸入電抗X從零改變成一數(shù)值A(chǔ)x,Ax是與串聯(lián)回路的電感L成正比。所以，對(duì)于諧振于同一頻率的兩個(gè)串聯(lián)回路，如果它們所用的元件不同，則當(dāng)頻率偏離3時(shí)，這兩個(gè)回路的反應(yīng)是不一樣的；具體一點(diǎn)說，就是它們的輸入阻抗的變化是不相等的。對(duì)于同一頻率增量A3,串聯(lián)回路的電感L愈大，輸入電抗上升愈快。事實(shí)上人們正是利用了這個(gè)關(guān)系，使從外表看來完全相同的電路結(jié)構(gòu)給出不同的濾波特性。根據(jù)以上的討論，我們可以利用微分學(xué)上取極限的概念，把一個(gè)串聯(lián)諧振的電感L

56、表示為：1dxdx在微波技術(shù)中，電感L已失去了它的具體含義，但在一個(gè)諧振腔的入口，仍具有確切的意義。我們之所以要進(jìn)行以上的數(shù)學(xué)變換，原因就在此。人們把一個(gè)呈現(xiàn)串聯(lián)諧振的傳輸線諧振器的氓L二學(xué)竺I稱為它的電抗斜率參數(shù)，這里用X來表示：立_gdx2dco叫決定了一個(gè)具體串聯(lián)諧振器在諧振頻率3附近的特性。應(yīng)用完全相同的方法，對(duì)于圖31的并聯(lián)諧振回路，我們可以得到它的輸入導(dǎo)納Y為：0Y=jB這個(gè)并聯(lián)回路的參數(shù)C等于：C二丄些2cto%O=與呈現(xiàn)串聯(lián)諧振的諧振器的電抗斜率工相對(duì)應(yīng)，人們?yōu)椴⒋?lián)諧振器提出電納斜率參數(shù)計(jì)：2do決定一個(gè)具體并且諧振器在諧振頻率3附近的特性。通過以上的討論，我們把普通串聯(lián)諧振

57、回路的參數(shù)L或并聯(lián)諧振回路的參數(shù)C與傳輸線諧振器的一些參數(shù)聯(lián)系起來了。前面已學(xué)過，任何一段短路或開路傳輸線都具有諧振特性。對(duì)于終端短路的一段傳輸線來說，當(dāng)它的長度l二入/4時(shí),它的輸入端呈現(xiàn)并聯(lián)諧振性質(zhì)；當(dāng)1=入/2時(shí)，輸入端呈現(xiàn)串聯(lián)諧振性質(zhì)。對(duì)于終端開路的一段傳輸線來說，當(dāng)它的長度1=入/4時(shí)，輸入端呈現(xiàn)串聯(lián)諧振；而1=入/2時(shí)，輸入端呈現(xiàn)并聯(lián)諧振。不論是微帶線、波導(dǎo)或同軸線都具有這種特性。這是在微波濾波器中，人們能夠非常便利地采用的諧振器。這里讓我們比較深入地看一段=入g/2的終端開路的波導(dǎo)的情況。圖32(a)表示這樣一段矩形波導(dǎo)；(b)是它的等效線路。它的輸入阻抗Y是：Y=jYctgcd

58、=jYJgcc式中的Yc是波導(dǎo)的特性導(dǎo)納；入g是濾波器的中心導(dǎo)內(nèi)波長；a是電磁波在波導(dǎo)內(nèi)的相位常數(shù)：02兀u二一山（10）（b）圖32注意當(dāng)頻率改變時(shí)，入g是個(gè)變數(shù)，入g二入g,式中給出Y=jYctgn=0,輸入端呈現(xiàn)并聯(lián)諧振。當(dāng)頻率偏離了諧振頻率，導(dǎo)內(nèi)波長不再等于入g了。導(dǎo)內(nèi)波長的改變引起相位常數(shù)a的改變（式10）。這就決定0dB了一個(gè)。根據(jù)以上的討論如果單從傳輸線諧振器本身去考慮，只要通過改變Yc和入c才能改變電斜參數(shù)b。Yc和入c的調(diào)整意味著波導(dǎo)截面尺寸的改變。假如硬要從這方面去解決，一個(gè)濾波器的各部分的諧振器必然是一段段尺寸不同的波導(dǎo)，結(jié)果將帶來極難解決的結(jié)構(gòu)問題。那么，怎樣去改變波導(dǎo)

59、諧振器的電納斜率參數(shù)”呢？人們?cè)诓▽?dǎo)諧振器的兩端收入兩個(gè)相同的電抗元件，加模片或感性棒之類。圖33（a）表示一種具體結(jié)構(gòu)，（b）是它的等效電路。通過元件電納值b的選擇，人們可以在一定范圍內(nèi)改變。注意加入電抗元件后，諧振器的長度l應(yīng)隨之改變。關(guān)于諧振腔長度的計(jì)算下面還要專門討論。IV-圖33第二部分微波濾波器2-3倒置器(微波濾波器的特殊問題)從圖27中可以看出，帶通濾波器各組成部分都是諧振回路，這些諧振回路有些是串聯(lián)諧振回路，有些是并聯(lián)諧振回路，前者構(gòu)成濾波網(wǎng)絡(luò)的串接臂，后者跨接臂。在波導(dǎo)濾波器中，人們又怎樣使圖33(a)的導(dǎo)波諧振器在一定場合下呈現(xiàn)串聯(lián)諧振的特性，在另一場合下卻呈現(xiàn)并聯(lián)諧振特

60、性？而且當(dāng)具有串聯(lián)諧振回路的作用時(shí)，它好象是一個(gè)串接臂，而當(dāng)具有并聯(lián)諧振回路的作用時(shí)，卻好似一個(gè)跨接臂呢？這就是本節(jié)所要解決的問題。圖34是一個(gè)入/2開路傳輸線諧振器的等效電路。根據(jù)傳輸線理論，當(dāng)我們將負(fù)載Z接入諧振器的終端2-2時(shí)，在諧振器入口1-1處的輸入阻抗應(yīng)為：ZoIIZZinI12r圖34二牛itgoif一1+jzrfgcd，故上式可以寫成z+jtgql+jZrte如果我們只參考頻率3在諧振頻率3附近變化的情況（這在濾波器的設(shè)計(jì)中是可以允許的）ns3的數(shù)值只在n的附近變化。在這種情況下，0tg7TZillrrVT-(b)(b)(a)jXf=jz以上關(guān)系式所包含的意義等于是根據(jù)電路原理