初中一次函數(shù)分段函數(shù)典例解決收費(fèi)問題家教用

1、分析：本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0DxD15時(shí)y是x識別分段函數(shù),解決收費(fèi)問題分析：本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0DxD15時(shí)y是x分析：本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0DxD15時(shí)y是x定義：一般地，如果有實(shí)數(shù)a，a，ak,k,kb,bb且aDaDa00Y與12312312,3123自變量X之間存在kx+b11xDa1y=kx+baDxDa的函數(shù)解析式，則稱該函數(shù)解析式為X的分2212段函數(shù)。Kx+baDxDa3323應(yīng)該指出:（一),函數(shù)解析式這個整體只是一個函數(shù),并非是Y=KX+bY=KX+b等幾個不同函數(shù)的簡單組合

2、，而kx+bkx+b是函數(shù)Y的幾種不同的表2211,22v-U達(dá)式.。所以上例中Y=這個整體只是一個函數(shù)，不能認(rèn)為它是兩個不同的函數(shù)，只能說110X0110Q80%X是同一函數(shù)中的自變量X在兩種不同取值范圍內(nèi)的不同表達(dá)式。（二），由于k,k,kb,b,b是實(shí)數(shù),0000Y在X的某個范圍內(nèi)的特殊函數(shù),如123123正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。（三）,由于問題的不同，當(dāng)然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而是其他形式的函數(shù)，在這里我們不予討論。（四）,一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應(yīng)用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩

3、種情況以上，解答時(shí)需分段討論。在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題，因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型。問題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費(fèi)方式函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，下面請看幾例一、話費(fèi)中的分段函數(shù)收費(fèi)問題與我們的生活息息相關(guān),如水費(fèi)問題、電費(fèi)問題、話費(fèi)問題等，這些收費(fèi).以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問題多以分段例1（四川廣元）某移動公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間期分鐘）與相應(yīng)話費(fèi)y（元）之間的函數(shù)圖象如圖1所示：（皿月通話為100分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)元；DDDOxD100時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）月通話為280分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)多少元？分析：本題是一

4、道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0DxD15時(shí)y是x分析：本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0DxD15時(shí)y是x分析：本題是一道和話費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題，通過圖象可觀察到，在圖10到100分鐘之間月話費(fèi)y（元）是月通話時(shí)間x（分鐘）000000，當(dāng)xD100時(shí)，月話費(fèi)y（元）是月通話時(shí)間x（分鐘）00000.解：（1）觀察圖象可知月通話為100分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)40元；（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b由圖上知：x=100時(shí),y=40；x=200時(shí),時(shí)，y=60則有k15時(shí),y是x的一次函數(shù).解：當(dāng)0WxW15時(shí)，設(shè)y=kx,把x=15,y=27代入，得2

5、7=15k,所以k=|=|，所以解得a=2.5,b=-10.5所以y=2.5x-10.5圖2(2)當(dāng)該用戶該月用21噸水時(shí),三、電費(fèi)中分段函數(shù)例3(廣東)今年以來，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y(元)與用電量x(度)的函數(shù)圖象是一條折線(如圖3所示)，根據(jù)圖象解下列問題：分別寫出當(dāng)0WxW100和x仝100時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；利用函數(shù)關(guān)系式，說明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；若該用戶某月用電62度，則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105元時(shí)，則該用戶該月用了多少度電？圖3分析:從函數(shù)圖象上看圖象分為兩段，當(dāng)0WxW100

6、時(shí)，電費(fèi)y是電量x的正比例函數(shù),當(dāng)x2100時(shí),y是x的一次函數(shù)，且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(100,65)和(130,89)，設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可解決問題.解:(1)設(shè)當(dāng)0WxW100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為y=kx,將x=100,y=65代入，得k=0.65,所以y=0.65x;設(shè)當(dāng)x2100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，將x=100,y=65和x=130,y=89代入，得100ab65,130ab89解得a=0.8，b=-15.所以y=0.8x-15綜上可得0.65x(0oxo100)0.8x15(xo100)（2）用戶月用電量在0度到100度之間時(shí),每

7、度電的收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是0.65元;超出100度時(shí),每度電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是0.80元.（3）用戶月用電62度時(shí),用戶應(yīng)繳費(fèi)40.3元,若用戶月繳費(fèi)105元時(shí),該戶該月用了150度電.談?wù)勚锌贾械姆侄魏瘮?shù)分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下，供學(xué)習(xí)時(shí)參考。1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問題的關(guān)鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。31所示的函數(shù)關(guān)例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作

8、完成，選由甲裝修公司單獨(dú)裝修天，剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成工程進(jìn)度滿足如圖系，該家庭共支付工資8000元（1）完成此房屋裝修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx，1111因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（3，”），所以，”=kD3,00k=,所以y=x,0DxD344111212設(shè)一次函數(shù)的解析式（合作部分）是y=kx+b,(k0,kb,是常數(shù)）11因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（3，),(5,）,所以,4222由待定系數(shù)法得：1x3+b41，解得：x5+b-28,bD一次函數(shù)的表達(dá)式為1，所以，當(dāng)8y1時(shí)，x9D完成此房屋裝修共需9天。方法2

9、解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是1，乙工作的效率:1211甲、乙合作的天數(shù)：1224D甲先工作了1224丿6（天）3天,D完成此房屋裝修共需9天（2）由正比例函數(shù)的解析式：1y=-2x,可知：甲的工作效率是12所以，甲9天完成的工作量是：D甲得到的工資是：3x80006000（元）4評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的14，估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時(shí)間關(guān)系如圖2所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場所花的時(shí)間比一直步行提前了（A20分鐘叮22分鐘DD24分鐘D26分鐘解析：步行前往考場，是滿足

10、正比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)(10，10,00,4kD10,所以11ki=40，所以1y=40 x，0Dx設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,D101由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是,401所以，步行前往考場需要的時(shí)間是：1D=40（分鐘）40乘出租車趕往考場，是滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,所以，設(shè)一次函數(shù)的解析式是因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)(10，4)，(y=kx+b，（k0，k112,，所以，2b，是常數(shù))，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,

11、設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,由待定系數(shù)法得：k1,b-1,28x10+b-41，解得：解得：x12+b-2設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,D一次函數(shù)的表達(dá)式為：y1x-1,所以，8乘出租車趕往考場用的時(shí)間是：3x=4D1-,00：8x=6分鐘，所以，先步行前往考場，后乘出租車趕往考場共用時(shí)間為：10+6=16分鐘，所以，他到達(dá)考場所花的時(shí)間比一直步行提前了：40-16=24(分鐘)，故選C。評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意

12、義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市A上市后的市場銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖表示的是市場日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖40天內(nèi)全部售完該公司對第一批產(chǎn)品(4)中的折線表示的是每件產(chǎn)品(3)中的折線A的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系(10試寫出第一批產(chǎn)品A的市場日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？解析：(1)由圖3可得,當(dāng)0D切30時(shí)，市場日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場的日銷售量：y=kt，D點(diǎn)(30,60)在圖象上,D60=30kD當(dāng)30Dk=2D0y=2

13、t,tD40時(shí)，市場日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，所以設(shè)市場的日銷售量：y=kt+b，因?yàn)辄c(diǎn)(30,60）和（40,0）在圖象上,6030k+b所以4i,040k+b1解得k=6,b=2401Dy=6t+240綜上可知，當(dāng)0DtD30時(shí),市場的日銷售量：y=2t,當(dāng)(2)由圖30DtD40時(shí)，市場的日銷售量：y=-6t+240。4可得,當(dāng)0DtD20時(shí)，市場銷售利潤w與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場的日銷售量：w=kt，D點(diǎn)(20,60)在圖象上,D60=20kDk=3D0w=3t,當(dāng)20DtD40時(shí)，市場銷售利潤w與上市時(shí)間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù)，所以，w=60，D當(dāng)0D

14、tD20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=3tD2t=6t2；Dk=6D0,所以，m隨t的增大而增大，D當(dāng)t=20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤m最大值為：2400萬元。當(dāng)20DtD30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=60D2t=120t，Dk=120D0,所以，m隨t的增大而增大，D當(dāng)t=30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤m最大值為：360000；當(dāng)30DtD40時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤：mD60D(-6t+240)=-360t+14400；Dk=-360D0,00,m隨t的增大而減小，D當(dāng)tD30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤mm最大值為：360000,綜上可知,當(dāng)tD30天時(shí),這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元評析：本題不僅考

15、查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解,而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對分類思想的掌握情況，和對一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。1.2一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例4、為了鼓勵小強(qiáng)做家務(wù)，小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動時(shí)間所得獎勵加上基本生活費(fèi)從父母那里獲取的若設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動時(shí)間為該月可得（即下月他可獲得）的總費(fèi)用為（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像如圖5所示（1）根據(jù)圖像，請你寫出小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)；父母是如何獎勵小強(qiáng)家務(wù)勞動的？（2）若小強(qiáng)5月份希望有250元費(fèi)用，則小強(qiáng)少時(shí)間？解：（1）從圖象上可知道，小強(qiáng)父母給小強(qiáng)的每月基本生活費(fèi)為150元；y元，則y元）和4月份需做家務(wù)多x小時(shí)，當(dāng)0DxD20時(shí)，y

16、元）是X小時(shí)）的一次函數(shù)，不妨設(shè)同時(shí)，圖象過點(diǎn)（20，200），所以，200=k20+150，叩解得：k=2.5,所以，y=2.5x+150,1當(dāng)20Dx時(shí)，y（元）是x（小時(shí)）的一次函數(shù)，不妨設(shè)同時(shí)，圖象過點(diǎn)（20，200），（30，240），y=kx+150，y=kx+b，所以，20kb二2002，30kb二2402解得：k=4,b=120,所以，2所以，如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動時(shí)間不超過如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動時(shí)間超過部分按每小時(shí)4元獎勵y=4x+120，20小時(shí)，每小時(shí)獲獎勵20小時(shí)，那么20小時(shí)按每小時(shí)2.5元；2.5元獎勵，超過（2）從圖象上可知道，小強(qiáng)工作20小時(shí)最多收入為200元，而5

17、月份得到的費(fèi)用為250元，大于200元，所以說明4月小強(qiáng)的工作時(shí)間一定超過20小時(shí)，所以應(yīng)選4x120=250,擇分段函數(shù)中當(dāng)20Dx時(shí)的一段，所以，由題意得，解得：x=32.5答：當(dāng)小強(qiáng)4月份家務(wù)勞動32.5小時(shí)，5月份得到的費(fèi)用為250元而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對分類6所示；乙公司每月評析：本題不僅考查同學(xué)們對分段函數(shù)意義的理解，思想的掌握情況，和對分段函數(shù)的選擇能力。1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖月租費(fèi)通話費(fèi)2.5元0.15元/分鐘表11（1）觀察圖6，甲公司用戶月通話時(shí)間不超過元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)

18、為100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是元；（2）李女士買了一部手機(jī)，如果她的月通話時(shí)間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅解析：1）從圖6,可以看出,這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù),當(dāng)0utu100時(shí),話費(fèi)金額y=20；當(dāng)tD100時(shí),話費(fèi)金額y是通話時(shí)間t的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=kt+b,且函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（100,20）和（200,40),公司更合算？如果她的月通話時(shí)間超過100分鐘，又將如何選擇？所以，100kb二20200kb二40解得:k=0.2,b=0,所以,y=0.21,所以,甲公司用戶月通話時(shí)間不超過通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是0.2元；20元；當(dāng)甲公司用戶2

19、）仔細(xì)觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費(fèi)y=0.15t+2.5,1當(dāng)outU100時(shí)，甲公司y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通話時(shí)間不超過的話費(fèi)金額y=20；乙100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算；因?yàn)椋?.151+2.5=0.21,所以，t=500,所以，當(dāng)通話時(shí)間t=500分鐘時(shí)，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因?yàn)椋?.15t+2.5U0.21,所以，tD500,所以，當(dāng)通話時(shí)間100DtD500分鐘時(shí)，選擇甲公司；因?yàn)椋?.15t+2.5D0.21,所以，tD500,所以,當(dāng)通話時(shí)間tD500分鐘時(shí),選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6如圖7,矩形ABC

20、D中，ABD1,ADD2,MOCD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形的邊上沿DBDCDM運(yùn)動，則APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過的路程X之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（）1）、當(dāng)0DxD1,y=2DxD2=x；如圖8所示；1112）、當(dāng)1DxD3,y=1D2DD2DDx1DD222解析：11i22兀3-x)51=4_4；如圖9所示;173)當(dāng)3DxD3.5,y=DD-xDD2227=x；如圖1000；211511所以CDD兩個選項(xiàng)是錯誤0,又因?yàn)?0y=-x中的44k=D0,0000004應(yīng)該是分布在二、一、四象限,所以選項(xiàng)B也是錯誤0,所以選A。x分別出圖形的面積。2小時(shí)到達(dá)目的地，游玩3小時(shí)后按原路以原速

21、返回，小強(qiáng)離家4小時(shí)40分鐘后，媽媽駕車沿相同評析：對于運(yùn)動型問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量在表示面積時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天，小強(qiáng)騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩，從家出發(fā)1解析：1）當(dāng)0DxD2,路程y（千米）是時(shí)間x（時(shí)）000000,）與時(shí)間x（時(shí)）000圖像。路線迎接小強(qiáng)，如圖11,是他們離家的路程y（千米已知小強(qiáng)騎車的速度為15千米/時(shí)，媽媽駕車的速度為（1）小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少？（2）媽媽出發(fā)多長時(shí)間與小強(qiáng)相遇？1且k=15,所以y=15x；30千米。所以，當(dāng)x=2時(shí)，y=2D15=30,所以，小強(qiáng)家與游玩地的距離是2）當(dāng)2DxD5,路