14.2.2 完全平方公式-公開課-優(yōu)質課(人教版教學設計精品)

1、14.2乘法公式(第2課時)一、內容和內容解析1內容完全平方公式2內容解析完全平方公式是具有特殊形式的兩個多項式相乘得到的一種特殊形式，即兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍完全平方公式的符號表示和語言表述解釋了公式的結構特征.公式(a土b)2=a22ab+b2中的字母a,b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式完全平方公式在代數(shù)中具有廣泛的應用，它也是后續(xù)學習的必備基礎，不僅對學生提高運算速度、準確率有較大作用，更是以后學習因式分解、分式運算的重要基礎完全平方公式是以多項式乘法與合并同類項的知識為基礎，通過一組特例的計算、比較、分析、歸納，抽象

2、概括出一般結論，進而通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，其過程體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，具有培養(yǎng)學生逐漸養(yǎng)成嚴密的邏輯推理能力的功能為了進一步了解平方差公式，可以利用錯誤！未找到引用源。的幾何意義面積，運用表示面積的方法解釋完全平方公式，以便直觀地把握公式，體會數(shù)形結合思想基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：完全平方公式二、目標和目標解析1目標理解完全平方公式，能用公式進行計算經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進而感受特殊到一般、數(shù)形結合思想，發(fā)展學生的符號意識和幾何直觀觀念2目標解析達成目標(1)的標志：學生能夠根據(jù)多項式乘法法則推導出完全平方公式，把握完全平方公式的基本結構與特征，會用

3、符號表示，能用數(shù)學語言表述公式的內容，當字母表示具體的數(shù)、單項式、多項式時能正確使用公式進行計算達成目標(2)的標志：學生掌握完全平方公式的推導過程、幾何解釋，學生在公式的探索過程中，經(jīng)歷“特例一歸納一猜想一證明”的知識發(fā)生過程，從而提高自身的推理能力，數(shù)感和符號感，真正理解公式的來源、本質，最終達到靈活、準確應用公式的目的，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納和推理能力三、教學問題診斷分析學生剛接觸整式乘法公式，在對多項式乘多項式法則的理解和運用不很透徹，對完全平方公式的結構特點的理解和掌握會有一定的難度學生在應用公式過程中經(jīng)常會出現(xiàn)的困難有：(1)公式中三個單項式的符號經(jīng)常出錯，正、負號的位置易混淆；

4、(2)用于解釋完全平方公式的圖形的理解及用其推導完全平方公式正確性的時候，不會運用面積法建立等式，從而對完全平方公式的正確性進行驗證本節(jié)課的教學難點：完全平方公式的結構特點及公式的圖形驗證方法的掌握四、教學過程設計1探究完全平方公式問題1計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(p+l)2=;(m+2)2=;(p1)2=;(m2)2=.師生活動：教師提出問題，學生先獨立計算，然后互相交流，得到結果(1)(p1)2=(p1)(p1)=p22p1；(m2)2=(m2)(m2)=m24m4；(2)(p1)2=(p1)(p1)=p22p1；(m2)2=(m2)(m2)=m24m4設計意圖：承前啟后，復習舊知，

5、為本節(jié)內容的引入作鋪墊；讓學生在每個算式的計算過程中進一步鞏固多項式乘法法則，體會本節(jié)內容與多項式乘法的關系追問1：上述問題中原式有什么特點？追問2：結果的項數(shù)和系數(shù)(符號)有什么特點？師生活動：學生觀察并獨立思考，嘗試著進行概括發(fā)現(xiàn)原式是兩個數(shù)的完全平方，結果中有這兩個數(shù)的平方和，而2p=2p1,4m=2m2,恰好是這兩個數(shù)乘積的二倍，(1)(2)之間只差一個符號設計意圖：以“探索”的形式安排的這4個題目，按照多項式的乘法法則計算，從而得到4個題目結果的共同點問題2你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的式子表示出來嗎？師生活動：學生獨立思考后回答，相互補充得出：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)

6、2=a22abb2設計意圖：讓學生體會從特殊到一般的研究問題的方法追問：你能推導出上述式子對任意的a,b都成立嗎？師生活動：教師引導學生運用多項式乘法法則及合并同類項，可以推導出：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；(ab)2=(ab)(ab)=a2abab+b2=a22ab+b2.對于(ab)2=a2abab+b2，學生可能會利用已推導出的公式驗證：(a-b)2=a+(-b)2=a2+2a(一b)+b2=a22ab+b2，教師應當給予鼓勵.設計意圖：通過不同角度驗證完全平方公式的正確性，讓學生學會辯證的看待問題，從而加深對公式的理解和對公式結構的掌

7、握，今后遇到該形式的多項式乘法時，可以正確地寫出結果在推理論證猜想的過程中，體會“歸納演繹”的基本思想方法2.理解完全平方公式問題3我們將前面探究所得的式子(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2，稱之為乘法的完全平方公式，你能將完全平方公式用文字語言表述嗎？師生活動：教師提出問題，學生獨立思考，然后小組交流互相補充.若學生有困難，教師可以引導學生總結公式結構特征：(1)等式左邊：兩數(shù)和(或差)的平方；(2)等式右邊：兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍.學生用自己的語言敘述這兩個公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.設計意圖：讓

8、學生將符號語言轉化為文字語言，發(fā)展學生的數(shù)學語言表達能力；學生在用文字語言表述公式內容時，可以加深對公式結構特征的理解和掌握練習下面各式的計算是否正確？如果不正確，應當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2；(2)(xy)2=x2y2；(3)(xy)2=x2+2xy+y2；(4)(x+y)2=x2+xy+y2.師生活動：學生觀察、思考后回答問題，對錯誤的題目加以修改，如有答錯，其他同學給予及時的糾正，對于重點且易錯的環(huán)節(jié)教師在最后總結時進行強調.教師對學生可能會出現(xiàn)的錯誤作及時的預防，(1)漏了乘積項；(2)等號右邊變成平方差；(3)乘積項符號和前面一致；(4)乘積項漏了系數(shù)2.設計意圖：通

9、過觀察、對比，找出它們的異同，提高對公式的理解，增強對公式特點的掌握，消除知識的負遷移作用，杜絕錯誤的發(fā)生問題4你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎？1aA圖1師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，然后小組交流，學生代表展示求解過程若學生感到有困難，教師可以引導學生回憶用面積說明平方差公式時關鍵是用a,b表示出圖中相關正方形和長方形(矩形)的面積，再找到它們的等量關系通過圖1,可以看出大正方形的邊長是(a+b).還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和陰影部分的正方形邊長是a,所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b,所以它的面

10、積是b2；另外兩個矩形的長都是a,寬都是b,所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是(a+b)，其面積是(a+b)2.于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2.這正好符合完全平方公式.可以用相同的方法來研究圖2的幾何意義.如圖2,大正方形的邊長是a,它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a,寬都是b,所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長是b,其面積就是b2；正方形AFME的邊長是(a_b)，所以它的面積是(a_b)2.從圖中可以看出正方形AFME的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積.就是(ab)2

11、=a22ab+b2,這也正好符合完全平方公式.設計意圖：教師提供多種模式，由學生選擇一種去解決培養(yǎng)學生學習的主動性，開闊學生的思路同時對滲透數(shù)形結合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節(jié)的難點的第一個層次；正確引導學生學習時知識的正遷移，公式的幾何意義有利于學生對公式的直觀理解，在此過程中體會數(shù)形結合思想3.應用完全平方公式例1運用完全平方公式計算：(1)(4m+n)2；(2)fy-fI2丿師生活動：師生共同分析，引導學生分清題目中哪部分相當于公式中的a,哪部分相當于公式中的b就是讓學生明確“公式中的a,b可表示數(shù)，也可表示單項式、多項式或其他的式子”的變化規(guī)律在這個過程中教師要關注學生能否正

12、確的利用完全平方公式計算，可提醒學生：第一步先選擇公式；第二步準確代入公式；第三步化簡設計意圖：具體體會公式在解題中的應用，進一步熟悉公式例2運用完全平方公式計算：(1)1022；(2)992師生活動：師生共同分析解答，教師板書學生掌握了這種方法后，可讓同桌相互出題解答，再次體會公式的價值設計意圖：這是體會公式“優(yōu)勢”的實例讓學生經(jīng)歷了從特殊到一般后，再體會從一般運用到特殊，也就是當公式中的項換成具體數(shù)字時仍適用，開闊學生的思維，學生對公式的理解也獲得了升華問題5思考：(a+b)2與(一ab)2相等嗎？(ab)2與(ba)2相等嗎？(ab)2與a2_b2相等嗎？為什么？師生活動：教師出示題目后

13、，給學生一定的獨立思考的空間，然后小組之間進行討論和交流，確定做法和答案后，在班級進行展示，其他小組糾正、補充，全班達成一致后，教師做最后的歸納總結，讓學生在理論上得以提升前兩對都相等，(一ab)2轉化為(a+b)2的方法講評，力求人人過關.做了一些題目鞏固方法后，再嘗試讓學生歸納出用“同號得正，異號得負”的方法來驗證結論中乘積項符號的正確性，第三對可以用做差法得到2b22ab,只有a=b或b=0才相等，學生答對即可，無須嚴格推導.設計意圖：通過式子間的互相轉化，不僅可以加深學生對知識間聯(lián)系的認識，更可以提高學生靈活運用公式解決問題的能力練習1.計算：(1)(a+5)2；(2)(y7)2；(3

14、)(3+x)2；(4)(2y)2.設計意圖：給出一組簡單的習題，對照公式，如果學生掌握較好可以口答，讓學生結合具體問題牢記公式2.計算：(1)(2x+3y)2；(2)(2x+3y)2；+3y丿2.I2丿師生活動：選擇4名水平相當?shù)膶W生進行板演，其他學生自己練習，教師巡視檢查，及時給予點撥和糾正，學生檢查、修改完畢后，對板演同學題目的過程和結果進行核對，糾錯，教師對產(chǎn)生的共性問題進行解釋和強調設計意圖：進一步強化學生對法則的理解，由淺入深，循序漸進的原則，分數(shù)作為字母的系數(shù)，可以提高學生的識別能力和計算能力3在下列多項式中，哪些是由完全平方公式得來的？(1)x24x4；(2)116a2；(3)x21；(4)x2xyy2；9x23xyy2.4設計意圖：靈活運用所學知識，逆用完全平方公式，為因式分解和配方法打基礎預案：例3若a+b=5,ab=6，求a2+b2,a2ab+b2.設計意圖：提高學生運用公式的靈活性、增強學生的思維張力4小結教師與學生一起回顧本節(jié)課所學習的主要內容，并請學生回答以下問題：(1)本節(jié)課學習了哪些主要內容？(2)完全平方公式結構有