3.1 函數(shù)的概念及其表示

1、3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念先分析以下問(wèn)題.問(wèn)題1某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程S（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系可以表示為S=350t.這里，t和S是兩個(gè)變量，而且對(duì)于t的每一個(gè)確定的值，S都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以S是t的函數(shù).思考根據(jù)問(wèn)題1的條件，我們不能判斷列車以350km/h運(yùn)行半小時(shí)后的情況，所以上述說(shuō)法不正確.顯然,其原因是沒(méi)有關(guān)注到t的變化范圍.下面用更精確的語(yǔ)言表示問(wèn)題1中S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列車行進(jìn)的路程S與運(yùn)行時(shí)間t的對(duì)應(yīng)關(guān)系是S=350t.其中，t的變化范圍是數(shù)集A=t10WtW0.

2、5，S的變化范圍是數(shù)集B=S10WSW175對(duì)于數(shù)11集A中的任一時(shí)刻t,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的路程S和它對(duì)應(yīng).11顯然，工資w是一周工作天數(shù)d的函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系是w=350d其中，d的變化范圍是數(shù)集A=123,4,5,6，w的變化范圍是數(shù)集B=350,700,1050,1400,221750,2100，對(duì)于數(shù)集A中的任何一個(gè)工作天數(shù)d，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的工22資w與它對(duì)應(yīng).從圖3.1-1中的曲線可知，t的變化范圍是數(shù)集A3=t10WtW24，AQI的值I都在數(shù)集B=110I150中.對(duì)于數(shù)集A中的任一時(shí)刻t，按照?qǐng)D3.1-1中曲線所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B

3、333中都有唯一確定的AQI的值I與之對(duì)應(yīng).因此，這里的I是t的函數(shù).問(wèn)題4國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)r食物指出金額總支出金額丿反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.表3.1-1是我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來(lái)越高.表3.1-1我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57這里，y的取值范圍是數(shù)集A二2006,2007,2008,2009,2

4、010,2011,2012,2013,2014,2015；4根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義可知，r的取值范圍是數(shù)集B二r10rW1.對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)年份y,44根據(jù)表3.1-1所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對(duì)應(yīng).所以，r是y的函4數(shù).歸納上述問(wèn)題的共同特征有：都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B表示；都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng).事實(shí)上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.為了表示方便，我們引進(jìn)符號(hào)f統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系.一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，

5、如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:ATB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function)，記作y=f(x),xwA.函數(shù)符號(hào)y=f(x)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xeA叫做函數(shù)的值域(range).顯然，值域是集合B的子集在問(wèn)題1與問(wèn)題2中，值域就是B和B；在問(wèn)題3中，值域是數(shù)集B123的真子集；在問(wèn)題4中，值域C二03669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.

6、3353,0.3387.0.2989,40.2935,0.2857,是數(shù)集B二r|00時(shí)，B=yyM-4a1zyx-Z-jnIyyW4-一.對(duì)應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個(gè)數(shù)x，對(duì)應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)ax2+bx+c（a豐0）.思考例1函數(shù)的解析式是舍棄問(wèn)題的實(shí)際背景抽象出來(lái)的，它所反映的兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律.例如，正比例函數(shù)y=kx（k豐0）可以用來(lái)刻畫勻速運(yùn)動(dòng)中路程與時(shí)間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長(zhǎng)與半徑的關(guān)系等試構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（i0-x）來(lái)描述.解：把y=x（10-x）看成二次函數(shù)，那么它

7、的定義域是R，值域是B=yIyW5對(duì)應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個(gè)數(shù)兀，對(duì)應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)x（10-x）.如果對(duì)x的取值范圍作出限制，例如xex10 x10，那么可以構(gòu)建如下情境：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為20,設(shè)一邊長(zhǎng)為x,面積為y，那么y=x（10-x）.其中，x的取值范圍是A=x10 x10，y的取值范圍是B=y10yW25對(duì)應(yīng)關(guān)系f把每一個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)x,對(duì)應(yīng)到唯一確定的面積x（10-x）.探究構(gòu)建其他可用解析式y(tǒng)=x（10-x）描述其中變量關(guān)系的問(wèn)題情境.練習(xí)（第63頁(yè)）1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m,且炮彈據(jù)地面的高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系

8、為h=130t-5t2求所表示的函數(shù)的定義域與值域，并用函數(shù)定義描述（第1題）22016年11月2日8時(shí)至次日8時(shí)(次日的時(shí)間前加0表示)北京的溫度走勢(shì)如圖所示1)求對(duì)應(yīng)關(guān)系為圖中曲線的函數(shù)的定義域與值域2)根據(jù)圖象，求這一天12時(shí)所對(duì)應(yīng)的溫度2115代了1TJi.An*9*亠3-3-日時(shí)廿時(shí)14時(shí)17時(shí)20時(shí)23時(shí)02時(shí)05時(shí)08時(shí)第2題)3集合A,B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如下圖所示：4構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=丘來(lái)描述.研究函數(shù)時(shí)常用用到區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且ab.我們規(guī)定：滿足不等式aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b；滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫

9、做開區(qū)間，表示為(a,b)；滿足不等式aWxb或axWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為a,b),(a,b這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).這些區(qū)間的幾何表示如表3.1-2所示在數(shù)軸表示時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)(a，b|一g土實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(叫+Q，“g”讀作“無(wú)窮大”“g”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“+8”讀作“正無(wú)窮大”如表3.1-3,我們可以把滿足xMa,xa,xWb,x0，所以f(a),f(a-1)有意義.f(a)=a+3+-1-a+2f(a-1)=a-1+3+：a+2+a+1由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)

10、應(yīng)關(guān)系和值域.因?yàn)橹涤蚴怯啥x域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).兩個(gè)函數(shù)如果僅有對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，那么它們不是同一個(gè)函數(shù).例如，前面的問(wèn)題1和問(wèn)題2中，盡管兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系都是y350 x，但它們的定義域不相同，因此它們不是同一個(gè)函數(shù);同時(shí)，它們的定義域都不是R，而是R的真子集，因此它們與正比例函數(shù)y350 x(xeR)也不是同一個(gè)函數(shù).此外，函數(shù)u12,te(a,+如,xy2,ye(一叫+如與yx2,xe(a,+w)，雖然表示它們的字母不同，但因?yàn)樗鼈兊膶?duì)應(yīng)關(guān)系和定義域相同，所以

11、它們是同一個(gè)函數(shù).(1)y(Jx)2；(2)u3V3；(3)yx2；n2(4)m.n解：(1)y(斗x)2x(xexIxM0)，它與函數(shù)yx(xeR)雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但是定義域不相同，所以這個(gè)函數(shù)與函數(shù)yx(xeR)不是同一個(gè)函數(shù).u3v3v(veR)，它與函數(shù)yx(xeR)不僅對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同，所以這個(gè)函數(shù)與yx(xeR)是同一個(gè)函數(shù).y-：x2|x|-，它與函數(shù)yx(xeR)的定義域都是實(shí)數(shù)集R,但是當(dāng)x0時(shí)，x,x刁0它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)yx(xeR)不相同.所以這個(gè)函數(shù)與yx(xeR)不是同一個(gè)函數(shù).(4)mn(nenIn豐0)，它與函數(shù)yx(xeR)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同但定義

12、域不相同.所以n這個(gè)函數(shù)與函數(shù)yx(xeR)不是同一個(gè)函數(shù).思考練習(xí)(第67頁(yè))1.求下列函數(shù)的定義域：1)f(x)f(x)1x+：x+31.已知函數(shù)f(x)=3x3+2x,求f,f(2),f+f(2)的值；求f(a),f(a),f(a)+f(a)的值.3.判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，并說(shuō)明理由：表示炮彈飛行高度h與時(shí)間t關(guān)系的函數(shù)h=130t5t2和二次函數(shù)y二130 x-5x2；f(x)二1和g(x)二x0.3.1.2函數(shù)的表示法我們?cè)诔踔幸呀?jīng)接觸過(guò)函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法解析法，就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如3.1.1的問(wèn)題1、2列表法，就是列出

13、表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如3.1.1的問(wèn)題4圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如3.1.1的問(wèn)題3這三種方法是常用的函數(shù)表示法例4某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(xe1,2,3,4,5)個(gè)筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集1,2,3,4,5用解析法可將函數(shù)y二f(x)表示為y二5x,xe1,2,3,4,5.用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y=f(x)表示為圖3.1-2.二20*15-*10=*501234Tx圖3.1-2思考73圖3,1-323aIx,xV0像例5

14、中y=這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).生活中，有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問(wèn)Ix,x三0例5畫出函數(shù)y=|x|的圖象.解：由絕對(duì)值的概念，我們有y=x,xV0 x,xMO所以，函數(shù)y=x的圖象如圖3.1-3所示.題，如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅納稅額等.例6給定函數(shù)f(x)二x+1，g(x)二(x+1)2，xeR，1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；(2)VxeR,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者，記為M(x)二maxf(x),g(x).例如，當(dāng)x=2時(shí)，M二maxf(2),g=max3,9二9.請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x).22圖3234圖3.1-55解：(1

15、)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象(圖3.1-4).(2)由圖3.1-4中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖象(圖3.1-5).由(x+1)2=x+1，得x(x+1)=0.解得x=1，或x=0.(X+l)2,X1,結(jié)合圖3.1-5，得出函數(shù)M(x)的解析式為M(x)=x+1,10.練習(xí)(第69頁(yè))1.如圖，把直截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一邊長(zhǎng)為x(單位：cm),面積為y(單位：cm2)，把y表示成x的函數(shù).畫出函數(shù)y=|x2|的圖象.給定函數(shù)f(x)二一x+1,g(x)二(x1)2,xeR,畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；

16、VxeR，用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者，記為m(x)二minf(x),g(x)，請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù)m(x).對(duì)于一個(gè)具體的問(wèn)題，如果涉及函數(shù)，那么應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎締?wèn)題中的函數(shù)關(guān)系.例7表3.1-4是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表表3.1-4姓名測(cè)試序號(hào)第1次第2次第3次第4次第5次第6次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級(jí)平均分88.278.385.480.375.782.6請(qǐng)你對(duì)這三位同學(xué)在高一學(xué)年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析解：從表3.1-4可以知道每位同學(xué)在每次測(cè)試中

17、的成績(jī)，但不太容易分析每位同學(xué)的成績(jī)變化情況如果將每位同學(xué)額“成績(jī)”與“測(cè)試序號(hào)”之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象(均為6個(gè)離散的點(diǎn))表示出來(lái)，如圖3.1-6，那么就能直觀地看到每位同學(xué)成績(jī)變化的情況，這對(duì)我們的分析很有幫助從圖3.1-6可以看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績(jī)優(yōu)秀章程同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不穩(wěn)定，總是在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)幅度較大趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)低于班級(jí)平均視屏，但表示他成績(jī)變化的圖象呈上升趨勢(shì)，表明他的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高1仙90加-70601jJ*1!HLH1II.OI2j4567J圖3.1-6為了更容易看出一個(gè)同學(xué)的學(xué)習(xí)情況，我們

18、將表示每位同學(xué)成績(jī)的函數(shù)圖象（離散的點(diǎn)）用虛線連接例8依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照中華人民共和國(guó)所得稅法向國(guó)家繳納個(gè)人所得稅（簡(jiǎn)稱個(gè)稅）2019年1月1日起，個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額X稅率一速算扣除數(shù).應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額一基本減除費(fèi)用一專項(xiàng)扣除一專項(xiàng)附加扣除一依法確定的其他扣除.其中，“基本減除費(fèi)用”（免征額）為每年60000元稅率與速算扣除數(shù)見(jiàn)表3.1-5“綜合所得”包括工資、薪金，勞務(wù)報(bào)酬，稿酬，特許權(quán)使用費(fèi)；“專項(xiàng)扣除”包括居民個(gè)人按照國(guó)家規(guī)定的范圍和標(biāo)準(zhǔn)繳納的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基

19、本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金等；“專項(xiàng)附加扣除”包括子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本減除費(fèi)用、專項(xiàng)扣除、專項(xiàng)附加扣除之外，由國(guó)務(wù)院決定加以扣除方式減少納稅的優(yōu)惠政策規(guī)定的費(fèi)用表3.1-5級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率（）速算扣除數(shù)10，36000302(36000，1440001025203(144000，30000020169204(300000，42000025319205(420000，66000030529206(660000，96000035859207(960，+8)45181920（1）設(shè)全年應(yīng)納

20、稅所得額為t，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為y，求y=f（t），并畫出圖象;分析：根據(jù)個(gè)稅產(chǎn)生辦法，可按下列步驟計(jì)算應(yīng)繳納個(gè)稅稅額：第一步，根據(jù)計(jì)算應(yīng)納稅所得額t；第二步，由t的值并根據(jù)表3.1-5得出相應(yīng)的稅率與速算扣除數(shù)；第三步，根據(jù)計(jì)算出個(gè)稅稅額y的值.由于不同應(yīng)納稅所得額t對(duì)應(yīng)不同的稅率與速算扣除數(shù)，所以y是t的分段函數(shù).解：（1）根據(jù)表3.1-5,可得函數(shù)y=f（t）的解析式為0.03t,0WtW36000,0.1t-2520,36000tW144000,0.2t-16920,144000tW300000,y=0.25t-31920,300000tW420000,0.3t-52920,420000

21、tW660000,0.35t-85920,660000960000.函數(shù)圖象如圖3.1-7所示（2）根據(jù)，小王全年應(yīng)納稅所得額為t二189600-6000-189600(8%+2%+1%+9%)-528000-4560二0.8xl89600-117360二34320.將t的值代入，得y二0.03x34320二1029.6所以，小王應(yīng)繳納的綜合所得個(gè)稅稅額為1029.6元練習(xí)（第71頁(yè)）1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；2）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到了一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間3）我從家出發(fā)后，心情輕松，一路緩緩加速行進(jìn)時(shí)間(B)(

22、C)(D)l第l題)離開家的距離離開家的距離離開家的距離離開家的距離肘間2某市“招收即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5km以內(nèi)(含5km),票價(jià)2元;(2)5km以上，每增加5km,票價(jià)增加1元(不足5km的按5km計(jì)算).如果某條線路的總里程為20km,請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.習(xí)題3.1(第72頁(yè))復(fù)習(xí)鞏固1求下列函數(shù)的定義域：1)f(x)=3x14(2)f(x)x2；3)f(x)=f(x)xg(x)1；xf(x)二x2,g(x)二(Jx)4；f(x)=x2,g(x)=3x6.3畫出下列函數(shù)的圖象，并說(shuō)出函數(shù)的定義域、值域；(1)y=3x；(3)y=4x+5；8(2)y=；xy=x26x+7.4.已知函數(shù)f(x)=3x25x+2，求f(：2),f(a),f(a+3),f(a)+f的值.、x+25.已知函數(shù)f(x)=x6當(dāng)