《2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征》教學(xué)案2-公開課-優(yōu)質(zhì)課(人教A版必修三精品)

1、2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征教學(xué)案2一、教材分析教科書結(jié)合實(shí)例展示了頻率分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).對于眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，重點(diǎn)放在比較它們的特點(diǎn)，以及它們的適用場合上，使學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，在日常生活中某些人通過混用這些(描述平均位置的)統(tǒng)計(jì)術(shù)語進(jìn)行誤導(dǎo).另一方面，教科書通過思考欄目讓學(xué)生注意到，直接通過樣本計(jì)算所得到的中位數(shù)與通過頻率直方圖估計(jì)得到的中位數(shù)不同.在得到這個(gè)結(jié)論后，教師可以舉一反三，使學(xué)生思考對于眾數(shù)和平均數(shù)，是否也有類似的結(jié)論.進(jìn)一步，可以解釋對總體眾數(shù)、總體中位數(shù)和總體平均數(shù)的兩種不同估計(jì)方法的特點(diǎn).在知道樣本數(shù)據(jù)的具體數(shù)值時(shí)，通常通過樣本計(jì)算中位數(shù)、平

2、均值和眾數(shù)，并用它們估計(jì)總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù).但有時(shí)我們得到的數(shù)據(jù)是整理過的數(shù)據(jù)，比如在媒體中見到的頻數(shù)表或頻率表，用教科書中的方法也可以得到總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù)的估計(jì).教科書通過幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活的例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征.通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過程.教科書通過例題向?qū)W生展示如何用樣本數(shù)字特征解決實(shí)際問題，通過閱讀與思考欄目“生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖”，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分布的數(shù)字特征在實(shí)際中的應(yīng)用.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.能根據(jù)實(shí)際問題的需

3、要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價(jià)的意識.2、過程與方法在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法.3、情感態(tài)度與價(jià)值觀會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題對樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋，估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性.教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均

4、數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題.四、課時(shí)安排2課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)導(dǎo)入新課思路1在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動(dòng)員:7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙運(yùn)動(dòng)員:9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.(板書課題)思路2在日常生活中，我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài)，而是更關(guān)心總體的某一數(shù)字特征，例如：買燈泡時(shí)，我們希望知道燈泡的平均使用壽命，我

5、們怎樣了解燈泡的使用壽命呢？當(dāng)然不能把所有燈泡一一測試，因?yàn)闇y試后燈泡則報(bào)廢了.于是，需要通過隨機(jī)抽樣，把這批燈泡的壽命看作總體，從中隨機(jī)取出若干個(gè)個(gè)體作為樣本，算出樣本的數(shù)字特征，用樣本的數(shù)字特征來估計(jì)總體的數(shù)字特征.推進(jìn)新課、新知探究、提出問題什么是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？(1)如何繪制頻率分布直方圖？(3)如何從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？活動(dòng):那么學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計(jì)知識，思考后展開討論，教師提示引導(dǎo).討論結(jié)果：初中我們曾經(jīng)學(xué)過眾數(shù)(在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù))、中位數(shù)(在按大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中，居于中間的數(shù)稱為中位數(shù))、平均數(shù)(一般是一組數(shù)據(jù)和的算術(shù)

6、平均數(shù))等各種數(shù)字特征，應(yīng)當(dāng)說，這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息.畫頻率分布直方圖的一般步驟為：計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖.教材前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點(diǎn)），它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少.請大家翻回到課本看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會(huì)是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）分析：

7、這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差.提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為2.02.思考：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）來源:Z+xx+k.Com課本顯示，大部分居民的月均用水量在

8、中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但是它對極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)，你能舉例說明嗎？（讓學(xué)生討論，并舉例）對極端值不敏感有利的例子：考察課本中表21中的數(shù)據(jù)，如果把最后一個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)寫成22，并不會(huì)對樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響.也就是說對極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響，而在實(shí)際應(yīng)用中，人為操作的失誤經(jīng)常造成錯(cuò)誤數(shù)據(jù).對極端值不敏感有弊的例子:某人具有初級計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平，想找一份收入好的工作，這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作

9、為選擇工作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn):很可能所選擇公司的初級計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對極小的數(shù)據(jù)不敏感.這里更好的方法是同時(shí)用平均工資和中位數(shù)來作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè).對極端值不敏感的方法，不能反映數(shù)據(jù)中的極端情況.同樣的，可以從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù)，上圖就顯示了居民用水的平均數(shù)，它等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.由估計(jì)可知，居民的月均用水量的平均值為2.02t.顯示了居民月均用水量的平均數(shù)，它是頻率分布直方圖的“重心”.由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改

10、變.這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì).也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.從圖上可以看出，用水量最多的幾個(gè)居民對平均數(shù)影響較大，這是因?yàn)樗麄兊脑戮盟颗c平均數(shù)相差太多了.利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字.（最高矩形的中點(diǎn)）估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.總之，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對數(shù)據(jù)中心位置的描述，可以作為總體相應(yīng)特征的估計(jì).樣本眾數(shù)易計(jì)算，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信

11、息，不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息，與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)；平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，絕對值越大的數(shù)據(jù)，對平均數(shù)的影響也越大三者相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，描述了數(shù)據(jù)的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的“重心”.（三）應(yīng)用示例思路1例1若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X,N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（2）如果兩組數(shù)X,x2，x“和y1，y2，yn的樣本平均數(shù)分別是x和y，那么一組數(shù)x1+y1，x2+y2，xn+y”的平均數(shù)是.活動(dòng)：學(xué)生思考或交流，教師提示，根據(jù)平均數(shù)的定義得到結(jié)論.解：（1）MX+NYM+N例2某校高一年級的甲、乙兩個(gè)班級（均為50人）的語文測試成績?nèi)缦拢?/p>

12、總分：150分）試確定這次考試中，哪個(gè)班的語文成績更好一些甲班：1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114乙班：116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110

13、分析：我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平，因此，分別求出甲、乙兩個(gè)班的平均分即可解：用計(jì)算器分別求出甲班的平均分為101.1，乙班的平均分為105.4，故這次考試乙班成績要好于甲班思路2例1下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間抽樣頻率分布表(單位：h),試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間睡眠時(shí)間人數(shù)頻率6,6.5)50.056.5,7)170.177,7.5)330.337.5,8)370.378,8.5)60.068.5,9)20.02合計(jì)1001分析：要確定這100名學(xué)生的平均睡眠時(shí)間，就必須計(jì)算其總睡眠時(shí)間，由于每組中的個(gè)體睡眠時(shí)間只是一個(gè)范圍，可以用各組區(qū)間的組中值近似地表示解法一：總睡眠

14、時(shí)間約為6.25X5+6.75X17+7.25X33+7.75X37+8.25X6+8.75X2=739(h),故平均睡眠時(shí)間約為7.39h解法二：求組中值與對應(yīng)頻率之積的和6.25X0.05+6.75X0.17+7.25X0.33+7.75X0.37+8.25X0.06+8.75X0.02=7.39(h).答：估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7.39h例2某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10%，15%，20%，25%，1

15、5%，10%和5%，試估計(jì)該單位職工的平均年收入分析：上述百分比就是各組的頻率解：估計(jì)該單位職工的平均年收入為12500X10%+17500X15%+22500X20%+27500X25%+32500X15%+37500X10%+45000X5%=26125（元）.答：估計(jì)該單位人均年收入約為26125元（四）知能訓(xùn)練從甲、乙兩個(gè)公司各隨機(jī)抽取50名員工月工資：甲公司：800800800800800100010001000100010001000100010001000100012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120

16、012001200120012001200150015001500150015001500150020002000200020002000250025002500乙公司700700700700700700700700700700700700700700700100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010006000800010000試計(jì)算這兩個(gè)公司50名員工月工資平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，并估計(jì)

17、這兩個(gè)企業(yè)員工平均工資.答案：甲公司：員工月工資平均數(shù)1240，眾數(shù)1200，中位數(shù)1200；乙公司：員工月工資平均數(shù)1330，眾數(shù)1000，中位數(shù)1000；從總體上看乙公司員工月工資比甲公司少，原因是乙公司有幾個(gè)收入特高的員工影響了工資平均數(shù).（五）拓展提升“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓?但是，數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤導(dǎo).例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達(dá)到幾十萬元.這時(shí)，年收入的平均數(shù)會(huì)比中位數(shù)大得多.盡管這時(shí)中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時(shí)，也許更可能用平均數(shù)來回答有關(guān)

18、工資待遇方面的提問.你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎么解釋？這句話的目的是謹(jǐn)防利用人們對統(tǒng)計(jì)術(shù)語的模糊認(rèn)識進(jìn)行誤導(dǎo)（蒙騙）.使學(xué)生能夠正確理解在日常生活中像“我們單位的收入水平比別的單位高”這類話的模糊性，這里的“收入水平”是指員工收入數(shù)據(jù)的某個(gè)中心點(diǎn)，即可以是中位數(shù)、平均數(shù)或眾數(shù)，不同的解釋有不同的含義.在這里應(yīng)該注意以下幾點(diǎn):樣本眾數(shù)通常用來表示分類變量的中心值，容易計(jì)算，但是它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述分類變量的中心位置.中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或排序靠后的數(shù)據(jù)）的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一