人教版高數(shù)選修2-3第二章2.1隨機(jī)變量及其分布(教師版)

1、第 頁(yè)/共10頁(yè)隨機(jī)變量及其分布理解隨機(jī)變量的概念.熟練掌握隨機(jī)變量的概率分布及其性質(zhì).能熟練應(yīng)用兩點(diǎn)分布.能熟練運(yùn)用超幾何分布.隨機(jī)變量:一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，通常用大寫拉丁字母X,Y,Z(或小寫希臘字母:，H，:)等表示，而用小寫拉丁字母X,兒Z(加上適當(dāng)下標(biāo))等表示隨機(jī)變量取的可能值.注意：(1)一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：i)試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；ii)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；iii)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.這種試驗(yàn)就是個(gè)隨機(jī)試

2、驗(yàn),為了方便起見(jiàn),也簡(jiǎn)稱試驗(yàn).所謂隨機(jī)變量,即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來(lái)的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)在函數(shù)概念中，函數(shù)滄)的自變量是實(shí)數(shù),而在隨機(jī)變量的概念中,隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果.一般情況下,我們所說(shuō)的隨機(jī)變量有以下兩種：如果隨機(jī)變量所有可能的取值都能一一列舉出來(lái),這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量都用來(lái)刻畫隨機(jī)試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果,但二者之間又有著根本的區(qū)別：對(duì)于離散型隨機(jī)變量來(lái)

3、說(shuō),它所可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè),或者說(shuō)能將它的可能取值,按一定次序一一列出,而連續(xù)型隨機(jī)變量可取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,我們無(wú)法將其中的值一一列舉.隨機(jī)變量的概率分布一般地，假定隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是x,x,x,且P(X=x)=12niP，i=1,2,3,n，則稱為隨機(jī)變量X的概率分布列.i3隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)對(duì)于隨機(jī)變量的研究，我們不僅要知道隨機(jī)變量取哪些值，隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，而且需要進(jìn)一步了解隨機(jī)變量：取這些值的概率.隨機(jī)事件A的概率滿足OWP(A)W1,必然事件U的概率P(U)=1.若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x,x,x.X取每一個(gè)值x(

4、zl,2,，n)的概率為P(X=x)=p,QTOC o 1-5 h z12niiiP0,i=1,2,3,n;Qp+p+p+p=1.不滿足上述兩條性質(zhì)的分布列一定是錯(cuò)誤的，即i123n分布列滿足上述兩條性質(zhì)是該分布列正確的必要不充分條件.由離散型隨機(jī)變量分布列的概念可知，離散型隨機(jī)變量各個(gè)可能的取值表示的事件是互斥的.因此，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.4.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的概率分布為：X10Ppq其中0中1,q=1-p，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布.(1兩點(diǎn)分布又稱0-1分布.(2)兩點(diǎn)分布的應(yīng)用非常廣泛，如抽取的彩券是否中獎(jiǎng)、買回的一件

5、產(chǎn)品是否為正品、新生嬰兒的性別、投籃是否命中等等，都可用兩點(diǎn)分布來(lái)研究.超幾何分布：CkCnk在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X=k)=mjm,k=o,CnN1,2,，加，其中m=minM,n,且nN,MWN,n,M,NN*,稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01mpCMCnMCNCMCnmCNCMCnmCN類型一.隨機(jī)變量及其概率分布例1:下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：一高速公路上某收費(fèi)站在1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)g；一個(gè)沿直線尹=兀進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置耳：某無(wú)線尋呼臺(tái)1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)g:】天內(nèi)的溫度耳-其中是離散型隨機(jī)變量的是()A.B.CD.答案C解

6、析中的隨機(jī)變量可能取的值為有限個(gè)，而能取到一區(qū)間內(nèi)的一切值寫出下列各隨機(jī)變量的可能取值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：例2：(1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1到10的10個(gè)球的袋中,任取1球,被取出的球的編號(hào)為X；(2)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球,5個(gè)白球,從中任取4個(gè)球,其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X；解析(1)X的可能取值為1,2,3,-,10,X=k(k=1,10)表示取出第k號(hào)球.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,X=k表示取出k個(gè)紅球，4-k個(gè)白球，其中k=0,1,2,3,4.練習(xí)1：寫出下列隨機(jī)變量的可能取值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：拋擲甲、乙兩枚骰子，所得點(diǎn)

7、數(shù)之和為X.解析X的可能取值為2,3,4,-,12，若以(i,j表示拋擲甲、乙兩枚骰子后骰子甲得i點(diǎn)且骰子乙得j點(diǎn)，則X=2表示(1,1)；X=3表示(1,2),(2,1);X=4表示(1,3),(2,2),(3,1);；X=12表示(6,6).練習(xí)2:一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,從袋中同時(shí)取3個(gè)球，用g表示取出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量g的概率分布.解析根據(jù)題意可知隨機(jī)變量g的可能取值為3,4,5.當(dāng)g=3時(shí)，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼是3，則其他兩球的編號(hào)只能是1,2，故有C21P(g=3)=C3-10;當(dāng)g=4時(shí)，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼是4,則其他兩球只能在編

8、號(hào)為1,2,5C233的球中取，故有P(E4)=c3=jo,當(dāng)g=5時(shí)，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為5，則其他兩球5只能在編號(hào)為1，2,3,4的四個(gè)球中取，故有P&=5)C23C3-綜上可得g的概率分布如下表：5g345P13310105類型二.隨機(jī)概率分布的性質(zhì)例3：判斷下列表格是否是隨機(jī)變量的概率分布.X-3-2-1012P0.10.20.30.20.10.2解析不是隨機(jī)變量的概率分布，因?yàn)?.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.2=1.1工1.練習(xí)1：判斷下列表格是否是隨機(jī)變量的概率分布.g01234P-0.300.30.50.5解析不是隨機(jī)變量的概率分布，因?yàn)镻(g=0)=-0.35

9、)；17求P(10g5)二P(g=5)+m5)+m5)二15+15+15二32124或p(g5)=1-PX)=1-(15+15)=?17123因?yàn)?010,所以=5,5,517123123故P(10g1)=P(g=1)+P(g=2)+P(g=3)=10530+228228+2281372281拋擲2顆骰子，如果將所得點(diǎn)數(shù)之和記為g，那么g=4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（）A.2顆都是4點(diǎn)B.1顆是1點(diǎn)，另1顆是3點(diǎn)C2顆都是2點(diǎn)D.1顆是1點(diǎn)，另1顆是3點(diǎn)，或者2顆都是2點(diǎn)答案D2隨機(jī)變量g是1個(gè)無(wú)線尋呼臺(tái)lmin內(nèi)接到的尋呼次數(shù)；隨機(jī)變量g是某工廠加工的某種鋼12管的外徑與規(guī)定的外徑間的尺寸誤差；

10、隨機(jī)變量g是測(cè)量1名學(xué)生身高所得的數(shù)值（精確到lc）；3隨機(jī)變量g是1個(gè)沿?cái)?shù)軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這4個(gè)隨機(jī)變量中，離散型隨機(jī)變量的4個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4答案B3命題p離散型隨機(jī)變量只能取有限個(gè)值；命題g：只能取有限個(gè)值的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量；命題尸:連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值；命題s：可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量，這四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案B4已知隨機(jī)變量g的分布列為P(g=k)=,k=1,2,3,n,貝P(24)=()D.16答案A5下列變量中，不是隨機(jī)變量的是()A.某人投籃6次投中的次數(shù)C.標(biāo)

11、準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰時(shí)的溫度B.某日上證收盤指數(shù)D.某人早晨在車站等出租車的時(shí)間答案C6.有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從20個(gè)零件中任取3個(gè)，那么至少有一個(gè)是一等品的概率是()C1C2A.164C320C2C2B.f4C320C2C1+C3C.f4斑D.以上均不對(duì)C320答案D7在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不太方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用g表示這10個(gè)村莊C4C6中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是(C1015A.P(g=2)b.P(g2)c.P(g=4)d.P(g4)答案Ck158如果隨機(jī)變量g的分布列P(g=k)=-0,k=1,2,3,4,那么P(-7”，“3.5

12、WXW6”的概率.答案(1)標(biāo)號(hào)分別為0,1,2,，9的十根竹簽，每一根被取出的可能性相同，其概率均為召,于是X的概率分布為:X0123456789P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.125P（-7)=P(X=8)+P(X=9)=0.2;P(3.5X-6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=0.3.在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1000元,此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg)610概率0.40.6設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布

13、列.【答案】設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”,由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4,v利潤(rùn)=產(chǎn)量x市場(chǎng)價(jià)格一成本，.X所有可能的取值為500 x10-1000=4000,500 x6-1000=2019,300 x10-1000=2019,300 x6-1000=800.所以X的分布列為X40002019800P0.30.50.2為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其

14、余3個(gè)均為10元，求：(1)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；(2)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列答案(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X依題意，得P(X=60)二晉二士即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為2，(2)依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X=60)=2,P(X=20)=c2=|,即X的分布列為X2060P0.50.5某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.答案(1)P=4960C0C31C1C21(2)依據(jù)超幾何分布，P憶二0)二L二，PC1)二L二，C36C321010所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123P1131621030一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)求取