北城中學中考數(shù)學第一輪復習講義：四邊形

1、北城中學2012年中考數(shù)學一輪復習精品講義第十九章四邊形本章小結(jié)小結(jié)1 本章概述本章通過學習平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定義、性質(zhì)及判定，了解 它們之間的關(guān)系，并能靈活運用它們的性質(zhì)和判定解決一些計算問題和實際問題.同時，本章探索并了解了有關(guān)三角形中位線、梯形中位線的相關(guān)知識.小結(jié)2本章學習重難點【本章重點】掌握并會靈活運用平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定；會靈活應用平行四邊形及特殊平行四邊形的相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題；掌握梯形及等腰梯形的定義、性質(zhì)及判定，并會靈活運用；理解并掌握三角形中位線、梯形中位線的定義及性質(zhì)，會應用它們解決一些計算及實際問題 . TOC o 1-5 h

2、 z 【本章難點】掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)及判定條件，以 及它們之間存在的聯(lián)系與區(qū)別，會應用三角形中位線、梯形中位線解決一些簡單問題.【學習本章應注意的問題】通過設(shè)立問題情境，主動探索和自覺總結(jié)四邊形的相關(guān)性質(zhì)， 掌握四邊形的性質(zhì)；同時要熟識幾種特殊四邊形的判定，掌握轉(zhuǎn)化思想在本章中的應用，如將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形問題來解決小結(jié)3 中考透視中考關(guān)于四邊形的考題大多結(jié)合三角形知識進行考查，而平行四邊形的性質(zhì)是證明兩條直線平行、線段相等及角相等的依據(jù).另外關(guān)于平行四邊形的面積及周長、對稱性也常出現(xiàn)在中考題中，這類題有填空題、選擇題、計算題和證明題，深刻理解和牢

3、記多邊形、平行四 邊形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵和前提.知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖四邊形菱形組對邊平行另一組對邊不平行直角梯形專題總結(jié)及應用一、知識性專題專題1平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性質(zhì)【專題解讀】 圍繞平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性質(zhì)進行命 題.例1下列說法錯誤的是（）A.平行四邊形的對角相等B.等腰梯形的對角線相等C.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D.對角線互相垂直的四邊形是菱形分析 由平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn) A,B,C都是正確的.D不正確,對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，還可能是正方形或等腰梯形答案：D【解題策略】對角線互相垂直的四邊形不

4、一定對角線互相平分例2 如圖19-125所示，在梯形 ABCD中，AB/CD, E為BC的中點，設(shè) DEA的面積為 ,梯形ABCD的面積為 8 ,則與S2的關(guān)系為.分析 由E為BC的中點，延長DE與AB的延長線交于點F,由 CD / AB,得 NCV EBF ,又因為 /CED =/BEF,CE = BE,所以 CEDA BEF,1 一所以DE = EF,所以S菱形abcd= Sadaf .由等底等圖的三角形面積相等，得S1 = Saafe= - S2 ,即八 1八S)= S2 或 2sl = S2.21答案：& = 一 S2 （或 2s = S2）2可以考慮由底的【解題策略】根據(jù)三角形面積公

5、式，當同底三角形的高相等式相同時, 關(guān)系確定三角形的面積之間的關(guān)系.I：例3如圖19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一點，DE LAG 于點 E, BF 1 AG 于點 F.（1）求證 ABFA DAE;（2）求證 DE =EF FB .和DE =AF,AE =BF ,則問題可證.li分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明全等的條件.（2）由全等證明：（1）在正方形ABCD中， AB = AD,/BAD=90二圖19,1就 - 1 - 2 =90 . DE _L AG, ./2+/3 = 90：, . /1 =/3.又.: BF -LAG, /AFB =/DEA =90,ABFA DAE

6、(AAS)(2)由(1)可知 ABFA DAE, DE = AF, BF = AE,DE = AF = AE + EF = BF + EF ,即 DE = EF + FB .專題2平行四邊形（含特殊的平行四邊形）的判定與性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系【專題解讀】 圍繞平行四邊形（含特殊的平行四邊形）的判定與性質(zhì)綜合應用命題例4如圖19-127所示，將一張矩形紙片 ABCD沿著GF折疊圖 19 - 127（F在BC邊上，不與B, C重合），使得C點落在矩形ABCD的內(nèi) 部點E處，F(xiàn)H平分/BFE ,則/GFH的度數(shù)a滿足 （）A.90 v av 180B.a=90C.0 va90D. a隨關(guān)折痕位置的變化

7、而變化分析 利用矩形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)解答本題.由GCFGEF得1/GFC =/EFG ,又有 /EFH =/BFH ,所以 NGFH =父180 =90 ,所以 a = 90 .2答案：B2例5如果菱形的一條對角線長是 12 cm,面積是30cm，那么這個菱形的另一條對角線長為 cm.分析由于菱形的對角線互相垂直，所以菱形的面積可以用兩條對角線乘積的一半表示，故另一條對角線的長為 30二2 =5 （cm）.12答案：5困E -牘例6 如圖19-128所示，ABCD的周長為16 cm, AC TOC o 1-5 h z BD相交于點Q OE _L AC ,交AD點E,則白g DCE周長

8、為（）A.4 cmB.6cmC.8 cmD.10cm分析 因為VA B C D周長為16 cm ,O為AC的中點，又因為1 DCEAD =BC, AB =CD,所以 AD +CD =父16 =8 （cm）,因為 2OE_LAC 于點 O, 所以 AE E, 所以DC +DE +CE =DC +DE +AE =DC +AD =8 （cm）.答案：C二、規(guī)律方法專題專題3構(gòu)造中位線解決線段的倍分關(guān)系【專題解讀】 題目中涉及,或2倍關(guān)系時，常?？紤]構(gòu)造中位線 .例7四邊形ABCD為平行四邊形， AD =a,BE /AC, DE交AC的延長線于F點，交BE于E點.(1)求證 DF = FE;（2）若

9、AC =2FC,/ADC =60：AC _LDC,求 BE 的長； TOC o 1-5 h z AD（3）在（2）的條件下，求四邊形 ABED的面積./I證明：（1）如圖19-129所示，延長 DC交BE于點M,b BE/ AC, AB / DC,，四邊形ABM遢平行四邊形.;|4|- |29CM =AB=DC,.C為 DM勺中點. BE/ AC, .。尸是 DME 的中位線， DF = FE .解：（2）由（1）得CF是4DME的中位線，故 ME = 2CF .又. AC =2CF , ME =AC .四邊形ABMCI平行四邊形，BM=AC.BE =2BM =2ME =2AC .又 AC _

10、L DC,NADC =60:在RtAADC中，利用勾股定理得 AC = a . . BE = J3a. 2（3）可將四邊形ABED勺面積分為梯形 ABM口口三角形DM的部分.一 a在Rt ADC中利用勾股定理得 DC =.2a 由CF為乙DME的中位線得 CM = DC =.2a a DM =OC CM = = a .2 2由四邊形ABM已平行四邊形得 AB = MC =-,BM = AC = a . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 22梯形 ABMDj面積為 a - a 3a - =3二3 a2.2228由AC

11、_LDC和BE/ AC,得三角形DME是直角三角形，3a3a2其面積為一父x a = HYPERLINK l bookmark172 o Current Document 24四邊形 ABED勺面積為 3-a2 -a- =5_Ja_.848專題4構(gòu)造平行四邊形解決線段相等、角相等的問題【專題解讀】 利用平行四邊形邊、角的性質(zhì)可以解決有關(guān)線段相等、角相等的問題例8 如圖19-130所示，在VABCD中，AB=2BC,M是圖 19 - 130DC的中點，BE _L AD,E是垂足，求證NEMC=3/DEM .分析 添加輔助線 MN,交BE于F.N為AB中點，由已知條件證得 NDEM=/EMN.由三

12、角形中位數(shù)性質(zhì)證得 BF =EF,MF _LBE,則/EMF =/1 ,又由四邊形 BCMN是菱形，證得N1 =/2 ,從而結(jié)論得證.證明：取AB的中點 N,連接 MN, MB.MN交EB于F. 因為四邊形 ABCD是平行四邊形， 所以ABDC.又M, N分別是DC, AB的中點， 所以 DM&AN, MCWNB,即四邊形ANMD和四邊形MNBC都是平行四邊形.所以.DEM = . EMF .因為N是AB中點，NF /AE, 所以F是BE的中點.又 BE _L AD ,所以 MF _L BE,/EMF =/1 ,因為MC=BC ,所以VBCMN是菱形，所以 Z1 =/2 ,即 /EMC =/1

13、 +/2+/EMF =3/DEM .【解題策略】證明角的和、差、倍、分關(guān)系時，應依據(jù)題目的背景經(jīng)觀察分析后適當添 TOC o 1-5 h z 加輔助線，把較大角分割成若干較小角，最終歸結(jié)到證明兩個角相等的途徑上以解決問題.本題添加輔助線 MN, MB后，利用菱形對角線性質(zhì)及等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明有關(guān) 角相等，從而解決問題.專題5有關(guān)四邊形的性質(zhì)與判定的開方探索題【專題解讀】 這類題分為條件開放、結(jié)論開放、條件和結(jié)論雙開放三種類型例9如圖19-131所示，在VABCD中，E, F分別是邊燈，八 K八AD, BC的中點，AC分別交BE, DF于點M, N.給出下列結(jié).晨記論：ABMA CDN

14、; AM =1 AC; DN =2NF； S31AAMB =- SABC.其中正確的結(jié)論是 .（只填序號）分析 二.四邊形 ABC比平行四邊形，AB CD,，/BAM =/DCN,又., F分別是AQ BC的中點，DEBF, 四邊表 BEDF是平行四邊形，N EBF =N EDF , 二/ABC =/ADC , /ABE =2CDF ,， ABM CDN . .正確.由BEDF 可得/BED =/BFD，/AEM =/NFC .又AD/ BC, . ./EAM =/NCF ,又 AE = CF ,. AME 9 CNF , AM =CN .由 FN / BM , FC=BF ,得 CN = M

15、N , 11 -1三CM =MN =AM ,AM =AC.，正確. AM =一 AC, . . $ amb = Sabc.不正333確.FN 為八 BMC 的中位線，BM =2NF, AABMA CDN ,則 BM = DN ,. DN =2NF .正確.答案：專題6動手操作題【專題解讀】 這類題的特點是根據(jù)給出的圖形，需要通過裁剪、平移、旋轉(zhuǎn)等方法才 能得到題中要求的圖形和結(jié)論 .例10某市要在一塊塊形狀為平行四邊形ABCD的空地上建造一個四邊形花園，要求花園所占面積是 VABCD面積的一半，并且四邊形花園的四個頂點作為出入口，要求其分 別在VABCD的四條邊上，請你設(shè)計兩種方案 .圖 19

16、 - 132方案（一）：如圖19-132 （1）所示，兩個出入口 巳F已確定，請在圖（1）上畫出符 合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法.方案（二）：如圖19-132 （2）所示，一個出入口 M已確定，請在圖（2）上畫出符合要 求的梯形花園，并簡要說明畫法.解：方案（一） 畫法1 :過F作FH / AB,交AD于點H.在DC上作取一點G,連接EF,FG,GH ,HE,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形，如圖19-133 （ 1）所示.畫法2:過F作FH / AB,交AD于點H.過E作EG/ AD,交DC于點G,連接EF , FG , GH , HE ,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形，如圖 1

17、9-133 （2）所示.畫法3:在AD上取一點H,使DH =CF .在CD上任取一點G,連接EF,FG,GH ,HE,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形，如圖19-133 （3）所示.方案（二） 畫法：過 M點作MP / AB,交AD于點P.在AB上取一點Q,連接PQ.過M作MN / PQ,交DC于點N,連接QM, PN,則四邊形QMNP就是所要畫 的梯形，如圖19-133 （4）所示.(1)三、思想方法專題專題7轉(zhuǎn)化思想【專題解讀】本章中轉(zhuǎn)化思想主要是將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形問題來處 理.例11 如圖19-134所示，在梯形 ABCD 中，AB/CD, /C =90： AB =25

18、,BC =24,將該梯形折疊，點 A恰好與點D圖 19 - 134重合，BE為折痕，那么 AD的長度為 .分析 .BD是AB沿BE折疊得到的， BD=AB=25，;CC =90： . CD = JbD2 BC2 =7.過點 D作 DF _L AB,垂足為 F. DC/ AB , DF = BC =24, FB = DC =7, AF = AB FB =18, AD = JDF2 + AF2 =30.答案：30【解題策略】在梯形中求線段的長，常作梯形的高為輔助線，使其轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，化整為零，化陌生為熟悉，這是處理梯形問題常見的轉(zhuǎn)化方法專題8方程思想【專題解讀】本章主要體現(xiàn)在通過方程（組

19、）、不等式（組）恒等變形等式代數(shù)方法解決有關(guān)圖形計算的問題.例12已知兩個多邊形的內(nèi)角和為1440。，且兩多邊形的邊數(shù)之比為1: 3,求它們的邊數(shù)分別是多少.分析 先設(shè)某一個多邊形的邊數(shù)為x,由多邊表的內(nèi)角和公式 （n-2）780列出關(guān)于x的一元一次方程，求解即可 .解：設(shè)其中邊數(shù)較少的多邊形邊數(shù)是x,則另一個多邊形邊數(shù)是 3x,由題意得(x2)*180 +(3x2) *180=1440 ,解得 x = 3,3x=9.答：它們的邊數(shù)分別為 3和9.2011中考真題精選.如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC ,過點D作DELBC,垂足為 E,并延長DE 至 F,使 EF=DE.

20、連接 BF、CD、AC.（1）求證：四邊形 ABFC是平行四邊形；（2）如果DE2=BE?CE,求證四邊形 ABFC是矩形.考點：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：（1）連接BD,利用等腰梯形的性質(zhì)得到 AC=BD ,再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到 DB=FB ,從而得到AC=BF ,然后證得AC / BF ,利用一組對邊平行且相等判定平行四 邊形；（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應角相 等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形.解答：證明：（1）連接BD,.梯

21、形 ABCD 中，AD / BC, AB=DC ,.AC=BD , / ACB= / DBC. DEXBC, EF=DE,.BD=BF , / DBC= / FBC,.AC=BF , / ACB= / CBF.AC / BF,四邊形ABFC是平行四邊形；(2)DE2=BE?CEDR _ CR / DEB= / DEC=90 , . BDEA DEC/ BDC= / BFC=90 ,四邊形ABFC是矩形.點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等及相似三角形的判定及性質(zhì)等，是一道集合了好幾個知識點的綜合題，但題目的難度不算大.2. （2011四川廣安，23, 8分）如圖5所示，在菱形 ABCD中，/

22、ABC= 60, DE/AC交BC的延長線于點 E.求證：DE= 1 BE.2考點：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段的倍分關(guān)系專題：四邊形分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則AD=CE=BC,從而可知BC= - BE,2要說明DE= - BE,只需說明DE=BC即可.2思路二：連接BD,先證/ BDE=90,再證/ DBE=30,根據(jù)30的角所對的直角邊等 于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論（自己完成證明過程）解答：.ABCD是菱形, .AD/BC, AB=BC=CD = DA. 又. / ABC= 60,，BC = AC = AD. . DE / AC A

23、CED為平行四邊形.，CE=AD = BC, de = ac. ,-.de = ce = bc,DE = BE,2點評：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，而平行四邊形的對邊相等，由此可以得出相等的線段，可實現(xiàn)線段的等量代換(轉(zhuǎn)移)，這就為證明線段相等或倍、分關(guān)系創(chuàng)造了條件.3. (2010 重慶，24, 10 分)如圖，梯形 ABCD 中，AD / BC, / DCB=45, CD=2,BDCD.過 點C作CE XAB于E,交對角線 BD于F ,點G為BC中點，連接 EG、AF .(1)求EG的長；(2)求證：CF=AB+AF.24題圖考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的

24、中線；勾股定理分析：(1)根據(jù) BDXCD, /DCB=45,得到/ DBC = /DCB,求出 BD=CD=2,根據(jù)勾股定理求出BC=2錯誤！未找到引用源。，根據(jù)CELBE,點G為BC的中點即可求出 EG;(2)在線段 CF上截取CH = BA,連接 DH,根據(jù)BDXCD, BE LCD,推出/ EBF=/DCF, 證 出 AABDA HCD , 得 至U AD=BD , /ADB = /HDC , 根 據(jù) AD / BC , 得 到 ZADB = Z DBC=45 ,推出/ ADB = /HDB,證出ADFHDF,即可得到答案.解答：(1)解：: BDXCD, Z DCB=45 , ./

25、DBC=45 = /DCB, .BD = CD=2,在 RtA BDC 中 BC=,BD2 +CD2 錯誤!未找至 U 引用源。=2錯誤！未找到引用源。，CELBE,點G為BC的中點，EG二錯誤！未找到引用 源。BC=錯誤！未找到引用源。.答：EG的長是錯誤！未找到引用源。.(2)證明：在線段 CF上截取CH=BA,連接DH ,24題答圖. BDXCD, BEXCE, ./ EBF + /EFB=90 , / DFC+/ DCF=90 ,. / EFB = /DFC , ./ EBF = /DCF , . DB = CD, BA=CH , ABDA HCD , .AD = DH , / ADB

26、 = Z HDC , . AD / BC, ./ ADB = Z DBC=45 ,/ HDC =45 , ./ HDB = / BDC - / HDC =45 , ./ ADB = Z HDB , . AD = HD, DF=DF, ADFA HDF , .AF =HF , .CF=CH+HF=AB+AF, .CF=AB+AF.點評：本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.4. (2011?泰外I, 24, 10分)如圖，四邊形 ABCD是矩形，直線l垂直平分線段 AC,垂足 為O,直線

27、l分別與線段AD、CB的延長線交于點 E、F.(1) AABC與4FOA相似嗎？為什么？(2)試判定四邊形 AFCE的形狀，并說明理由.B C考點：相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題；綜合題。分析：(1)根據(jù)角平分線的定義，同角的余角相等可知/AFO=/CAB,根據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知/ ABC=/FOA,由相似三角形的判定可證 4ABC與4FOA相 似；(2)先證明四邊形 AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形 是菱形作出判斷.解答：解：(1)二直線l垂直平分線段 AC,./ AFO= / CFO, / CFO+ / FCO

28、= / CAB+ / FCO=90 , / AFO= / CAB , / AOF= / CBA=90 , ABCAFOA .(2)二直線l垂直平分線段 AC,AF=CF ,可證AOFA AOE , AE=CF , FO=EO .四邊形ABCD是矩形，四邊形AFCE是平行四邊形, ，四邊形AFCE是菱形.點評：考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合 性較強，有一定的難度.5. (2010重慶，26, 12分)如圖，矩形 ABCD中，AB=6, BC=2錯誤！未找到引用源。， 點。是AB的中點，點P在AB的延長線上，且 BP=3. 一動點E從。點出發(fā)，以每秒1個

29、 單位長度的速度沿 OA勻速運動，到達 A點后，立即以原速度沿 AO返回；另一動點F從P 點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線 PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇 時停止運動，在點 E、F的運動過程中，以 EF為邊作等邊EFG,使 EFG和矩形ABCD 在射線PA的同側(cè).設(shè)運動的時間為 t秒(t0 .(1)當?shù)冗?EFG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；(2)在整個運動過程中，設(shè)等邊 4EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為 S,請直接寫出 S 與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應的自變量t的取值范圍；(3)設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H,是否存在這樣的t, AAOH是等腰三

30、 角形？若存大，求出對應的 t的值；若不存在，請說明理由.26題圖考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形分析：(1)當邊FG恰好經(jīng)過點 C時，/ CFB=60, BF=3-t,在RtA CBF中，解直角三角形可求t的值；(2)按照等邊4EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點， 分為041, 143, 344, 44 6四種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式；(3)存在.當4AOH是等腰三角形時，分為 AH=AO=3, HA=HO, OH = OA三種情況，分 別畫出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值.解答：解：(1

31、)當邊FG恰好經(jīng)過點 C時，/ CFB=60, BF=3- t,在RtA CBF中，BC=2錯誤！未找到引用源。，tan/CFB=錯誤！未找到引用源。BC ,即tan60=錯誤！未找到引BF用源。23 ,解得 BF=2,即 3-t=2BFt=1,當邊FG恰好經(jīng)過點C 時，t=1;G26題答圖(2)當0q1時，S=2錯誤！未找到引用源。t+4錯誤！未找到引用源。；當14V3時，S=-錯誤！未找到引用源。t2+3錯誤！未找到引用源。t+錯誤！未找到引用 源。；當34V4時，S=-4錯誤！未找到引用源。t+20錯誤！未找到引用源。；當44V6時，S=錯誤！未找到引用源。t2-12錯誤！未找到引用源。

32、t+36錯誤！未找到引 用源。；(3)存在.RC理由如下：在RtARC中，tan/CAR=EC錯誤！未找到引用源。 =錯誤！未找到引用源。AR./CAR=30,又. / HEO=60,/ HAE = / AHE=30 ,，AE=HE=3-t 或 t-3,1)當AH=AO=3時，(如圖)，過點E作EMXAH于M,則AM=錯誤！未找到引用源。AH=錯誤！未找到引用源。，3在RtAAME中，cos/ MAE T昔誤！未找到引用源。處-,即cos30 =2-錯誤！未找到引AEAE用源。，.AE=錯誤！未找到引用源。，即3-t=錯誤！未找到引用源?；騮-3=錯誤！未找到引用源。.t=3-錯誤！未找到引用

33、源。 或t=3+錯誤！未找到引用源。，2）當 HA = HO 時，（如圖）則/ HOA=/HAO=30, 又. / HEO=60,EHO=90, EO=2HE=2AE,又,. AE+EO=3,AE+2AE=3, AE=1,t=2 或 t=4;即 3 t=1 或 t 3=13）當 OH=OA 時，（如圖），則/ OHA=/OAH=30, HOB=60 = /HEB, 點 E 和點 O 重合，AE=3,即 3t=3 或 t 3=3, t=6 （舍去）或 t=0;26題答圖綜上所述，存在 5個這樣的t值，使4AOH是等腰三角形，即t=3 -錯誤！未找到引用源。或t=3+錯誤！未找到引用源。 或t=2

34、或t=2或t=0.點評：本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的有 關(guān)知識.關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論.6. (2011湖北咸寧，22, 10分)(1)如圖，在正方形 ABCD中，4AEF的頂點E, F分 別在BC, CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求/ EAF的度數(shù).(2)如圖，在 RtAABD中，/ BAD=90 , AB=AD,點M, N是BD邊上的任意兩點， 且/ MAN=45 ,將4ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至4ADH位置，連接NH ,試判斷MN , ND, DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)在圖中，連接 BD分別交AE, AF于點M

35、, N,若EG=4, GF=6, BM=3錯誤！考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：(1)根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形相等，進而證明角相等，從而 求出解.(2)用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論.(3)設(shè)出線段的長，結(jié)合方程思想，用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.解答：(1)在 RtABE 和 RtAGE 中，AB =AG , AE=AE, ABEA AGE ,/BAE =/GAE .同理，/GAF =/DAF .一/EAF =-/BAD =45 .(2) MN2 =ND2 DH 2 ZBAM =NDAH , /BAM 十/DAN =45, ./H

36、AN =/DAH +/DAN =45. /HAN =/MAN又 AM =AH , AN =AN , AMNA AHN.，MN =HN . /BAD =90 , AB=AD, . ZABD =ZADB =45*.NH 2 =ND2 +DH 2.(3)由(1)知，BE =EG ,.NHDN =ZHDA +ZADB =90. MN 2 =ND2 +DH 2 .DF =FG .(圖)2_ 2_2 MN 2 =ND2 BM 2設(shè) AG =x，則 CE =x _4 , CF=x_6.CE2 +CF2 =EF2 ,222 (x 4)2 +(x 6)2 =102 .解這個方程，得x1 =12, x2=-2 (

37、舍去負根). AG =12 .BD =JAB2 +AD2 =J2AG2 =12jE .在(2)中，mn2=nd2+dh2, BM=DH,設(shè) MN =a ,則 a2 =(12衣-3& -a)2 +(3&)2 .a =5d2 .即 MN =5,5 .點評：本題考查里正方形的性質(zhì)，四邊相等，對角線平分每一組對角，以及全等三角形的判 定和性質(zhì)，勾股定理的知識點等.(2011饋港)如圖所示，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB=AD , / BAD的平分線 AE交BC于點E,連接DE.(1)求證：四邊形 ABED是菱形；(2)若/ ABC=60 , CE=2BE,試判斷ACDE的形狀，并說明理由

38、.考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)。 專題：幾何綜合題。分析：(1)根據(jù)AB=AD及AE為/BAD的平分線可得出/ 1 = /2,從而證得BAEDAE, 這樣就得出四邊形 ABED為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得出結(jié)論；(2)過點 D作DF / AE交BC于點F,可得出 DF=AE , AD=EF=BE ,再由CE=2BE得出 DE=EF ,從而結(jié)合/ ABC=60 , AB / DE可判斷出結(jié)論.解答：(1)證明：如圖，: AE平分/ BAD ,1 = /2,. AB=AD , AE=AE , . BAE DAE , .BE=DE , . A

39、D / BC, 2=/3=/1,.AB=BE ,-，ab=be=de=ad四邊形ABED是菱形.(2)解：4CDE是直角三角形.如圖，過點 D作DF / AE交BC于點F, 則四邊形AEFD是平行四邊形，. DF=AE , AD=EF=BE ,. CE=2BE ,.BE=EF=FC ,.DE=EF ,又. / ABC=60 , AB / DE,/ DEF=60 ,. DEF是等邊三角形，.DF=EF=FC ,. CDE是直角三角形.花 TV點評：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)，難度較大，解答本題需要掌握有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，直角三角形中，斜邊的中線等于

40、斜邊的一半.8. (2011?安順)如圖，在 4ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分線 DE交BC于D,交 AB 于 E, F 在 DE 上，且 AF=CE=AE .(1)說明四邊形 ACEF是平行四邊形；(2)當/ B滿足什么條件時，四邊形 ACEF是菱形，并說明理由.AC考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)； 線段垂直平分線的性質(zhì)； 平行四邊形的判定。分析：(1)證明AECEAF,即可得到 EF=CA,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平 行四邊形即可判斷；(2)當/ B=30。時，四邊形ACEF是菱形.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC,根據(jù)菱形的定義即可判斷.解答：(1

41、)證明：由題意知/ FDC=/DCA=90 ,EF / CA ,/ AEF= / EAC ,. AF=CE=AE ,/ F= / AEF= / EAC= / ECA .又AE=EA ,AECA EAF , EF=CA ,四邊形ACEF是平行四邊形.(2)當/ B=30時，四邊形 ACEF是菱形.理由是：/ B=30 , / ACB=90 ,.AC=錯誤！未找到引用源。，DE垂直平分BC,.BE=CE ,又 AE=CE ,.CE=錯誤！未找到引用源。，.AC=CE ,，四邊形ACEF是菱形.點評：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.9. (2011陰目

42、西州)如圖，已知矩形 ABCD的兩條對角線相交于 O, / ACB=30 , AB=2 . (1)求AC的長.(2)求/ AOB的度數(shù).(3)以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形 OBEC,求菱形 OBEC的面積.Arr-nDE考點：矩形的性質(zhì)；含 30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)AB的長結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系可得出AC的長度.(2)根據(jù)矩形的對角線互相平分可得出OBC為等腰三角形，從而利用外角的知識可得出ZAOB的度數(shù).(3)分別求出OBC和4BCE的面積，從而可求出菱形 OBEC的面積.解答：解(1)在矩形 ABCD中，/ ABC=90 ,RtAABC 中，/ A

43、CB=30 ,.AC=2AB=4 .(2)在矩形 ABCD中，.AO=OA=2 ,又AB=2 ,. .AOB是等邊三角形， / AOB=60 .(3)由勾股定理，得 BC=錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。，所以菱形OBEC的面積是2錯誤！未找到引用源。.點評：本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合性較強，注意一些基本知識的掌握是關(guān)鍵.10.（2011年山東省東營市，19,8分）如圖，在四邊形 ABCD中，DB平分/ ADC , Z ABC=120 ,ZC=6CT , / BDC=30 ;延長 CD 到點 E,連接 AE ,使得/ E=1 ZC.2（

44、1）求證：四邊形 ABDE是平行四邊形；（2）若DC=12,求AD的長.AB DC考點：等腰梯形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì).專題：計算題；證明題.分析：（1）可證明AB /ED,AE/ BD ,即可證明四邊形 ABDE是平行四邊形；由/ ABC=120 , / C=60 ,得 AB / ED; / E= 1 / C= / BDC=30 ,得 AE / BD ;2（2）可證得四邊形 ABCD是等腰梯形，AD=BC ,易證 BDC是直角三角形，可得 BC=1一 DC=6.2解答：證明：（1）ABC=120 , / C=60 ,./ABC+ / BCD=180 ,.AB

45、/ DC,即 AB / ED;又/ C=60 , / E= 1/C, / BDC=30 ,2. E=/BDC=30 ,.AE / BD , 四邊形 ABDE是平行四邊形；解：（2） AB / DC,四邊形ABCD是梯形，. DB 平分/ ADC , / BDC=30 ,/ ADC= / BCD=60 ,四邊形ABCD是等腰梯形； BC=AD ,.在 BCD 中，/ C=60 , / BDC=30 , / DBC=90 ,又 DC=12 ,.AD=BC= 1 DC=6 .2點評：本題考查了知識點較多，有等腰梯形、直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性 質(zhì)，只有牢記這些知識才能熟練運用.11.

46、（2011浙江寧波，23, ?）如圖，在 CABCD中，E、F分別為邊 AB、CD的中點，BD 是對角線，過點 A作AG II DB交CB的延長線于點 G.（1）求證：DE / BF;(2)若/ G = 90,求證：四邊形 DEBF是菱形.考點：菱形的判定；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：(1)根據(jù)已知條件證明， ADEACBF,即/ 3=/CBF,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知BDE = Z FBD,根據(jù)內(nèi)錯角相等，即可證明DE/ BF,(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180。，可以得出/ 1 = 72,再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形, 從而得出結(jié)論.解答：

47、證明：(1)二.四邊形 ABCD是平行四邊形，/4=/C, AD=CB, AB = CD.點E、F分別是AB、CD的中點，.AE =工錯誤！未找到引用源。AB , CF= 1錯誤！未找到引用源。CD .AE = CF ,22ADEACBF,，/3=/CBF,/ ADB =/CBD , ，/2=/FBD, ，DE/BF,(2)G = 90, .四邊形 AGBD 是矩形，/ ADB = 90,.Z 2+73 = 90, . 2/2+2/3= 180./ 1 = /2, /3=/4.,-.DE = AE = BE, AB /CD, DE/BF, .四邊形 DEBF 是菱形. 點評：本題主要考查了平行

48、四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定， 比較綜合，難度適中.10.12. (2011浙江嘉興，23, 10分)以四邊形 ABCD的邊AB . BC. CD. DA為斜邊分別向外 側(cè)作等腰直角三角形， 直角頂點分別為 E. F. G. H,順次連接這四個點， 得四邊形EFGH.(1)如圖1,當四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2,當四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形 EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖3,當四邊形 ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)/ ADC = a (0?！?0。)，試用含a的代數(shù)式表示/ HAE ;求證：HE=HG;四邊形E

49、FGH是什么四邊形？并說明理由.G考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；菱形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：(1)根據(jù)等腰直角三角形得到角都是直角，且邊都相等即可判斷答案；(2)/ HAE=90+a,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，/BAD=180 - a,根據(jù)AHAD和 EAB是等腰直角三角形，得到/ HAD = Z EAB=45 ,求出/ HAE即可；根據(jù)4AEB和4DGC是等腰直角三角形，得出 AE= 錯誤！未找到引用源。AB, DC =2錯誤！未找到引用源。CD,平行四邊形的性質(zhì)得出 AB=CD,求出/ HDG=90+a=/HAE ,證HAEHDC,即可得出 HE=H

50、G;由同理可得：GH=GF , FG=FE ,推出 GH=GF = EF=HE ,得出菱形 EFGH ,證 HAEA HDG ,求出/ AHD=90 , Z EHG=90 ,即可推出結(jié)論.解答：(1)答：四邊形EFGH的形狀是正方形.(2)解：/ HAE=90 + a,在平行四邊形ABCD中AB / CD,./ BAD=180 - / ADC=180 - a,HAD和 EAB是等腰直角三角形，./ HAD = Z EAB=45 ,./ HAE=360 / HAD / EAB / BAD=360 45 45 ( 180 a) =90 +a,答：用含a的代數(shù)式表示/ HAE是90+a.證明：. A

51、EB和4DGC是等腰直角三角形，.AE=錯誤！未找到引用源。AB, DC=錯誤！未找到引用源。CD,在平行四邊形ABCD中，AB=CD ,.AE=DG ,HAD和4GDC是等腰直角三角形，./ HDA=Z CDG=45 ,./ HDG = Z HDA+Z ADC+Z CDG=90 +a=Z HAE,. HAD是等腰直角三角形，.HA = HD,. HAEA HDC , .HE = HG.答：四邊形 EFGH是正方形，理由是：由同理可得： GH=GF, FG = FE,.HE = HG,，GH=GF = EF=HE,四邊形EFGH是菱形， HAEA HDG ,./ DHG = /AHE,. /

52、AHD = Z AHG+Z DHG=90 , / EHG= / AHG+ / AHE=90 ,四邊形EFGH是正方形.H點評：本題主要考查對正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三 角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.(2011梧州，22, 8分)如圖，在？ABCD中，E為BC的中點，連接 DE .延長DE交考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先證明DECFEB,然后根據(jù) AB=CD ,運用等量代換即可得出結(jié)論.解答：解：由ABCD是平行四邊形得 AB / CD,./ C

53、DE= /F, / C=Z EBF.又E為BC的中點，. DECA FEB, .DC=FB .又 AB=CD , .AB=BF .點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，難度一般，對于此類題目關(guān)鍵是熟練掌握并運用平行四邊形的性質(zhì).(2011汴林，25, 10分)如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點， 以線段AG為邊作一個正方形 AEFG ,線段EB和GD相交于點H.(1)求證：EB=GD ;(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=2, AG=錯誤！未找到引用源。2 ,求EB的長.考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：(1)在

54、 AGAD 和 4EAB 中，/ GAD=90 + / EAD , / EAB=90 +/EAD ,得 到 ZGAD= / EAB 從而 GADA EAB ,即 EB=GD ;(2) EBXGD,由(1)得/ ADG= /ABE 則在BDH 中，/ DHB=90 所以 EBXGD;(3)設(shè)BD與AC交于點O,由AB=AD=2在RtAABD中求得DB ,所以得到結(jié)果.解答：(1)證明：在 4GAD 和 4EAB 中，/ GAD=9 0 +Z EAD , / EAB=90 +Z EAD ,/ GAD= / EAB ,又 AG=AE , AB=AD ,GADA EAB ,.EB=GD ;(2) EB

55、XGD,理由如下：連接 BD,由(1)得：/ ADG= Z ABE ,則在 4BDH 中，ZDHB=180 - (/ HDB+/HBD) =180 - 90 =90,EBXGD;(3)設(shè)BD與AC交于點O,. AB=AD=2 在 RtAABD DB=錯誤！未找到引用源。AB2 + AD2 =242 ,.eb=gd=錯誤！未找到引用源。Jog2+od2 = J8 + J2 =，T0.點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長.15. (2011汝順，25, 9分)如圖，在 4ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分線 DE交BC 于 D ,交 A

56、B 于 E, F 在 DE 上，且 AF=CE=AE .(1)說明四邊形 ACEF是平行四邊形；(2)當/ B滿足什么條件時，四邊形 ACEF是菱形，并說明理由.考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定。分析：（1）證明AECEAF,即可得到 EF=CA,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形 是平行四邊形即可判斷；（2）當/ B=30。時，四邊形ACEF是菱形.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC,根據(jù)菱形的定義即可判斷.解答：（1）證明：由題意知/ FDC=/DCA=90 ,EF / CA ,/ AEF= / EAC ,. AF=CE=AE ,/ F= /

57、 AEF= / EAC= / ECA .又AE=EA ,AECA EAF ,EF=CA ,四邊形ACEF是平行四邊形.（2）當/ B=30時，四邊形 ACEF是菱形.理由是：/ B=30 , / ACB=90 ,AC= - AB錯誤！未找到引用源。，2DE垂直平分BC,.BE=CE ,又 AE=CE ,.CE=錯誤！未找到引用源。，.AC=CE ,，四邊形ACEF是菱形.點評：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.16. （2011海南，23, 10分）如圖，在菱形 ABCD中，/ A=60,點P、Q分別在邊 AB、BC 上，且 AP=BQ.（1）求證

58、： BDQA ADP;（2）已知AD=3, AP = 2,求cos/ BPQ的值（結(jié)果保留根號）./C考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得 AD = AB, / ABD = / CBD =錯誤！未找到引用一 1 ,源。一/ ABC, AD / BC,又由/ A=60 ,易得 ABD是等邊二角形，然后由 SAS即可證2得 BDQA ADP ;(2)首先過點Q作QELAB,交AB的延長線于E,然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得 cos/ BPQ的值.解答：解：(1)二.四邊形ABCD是

59、菱形，.AD = AB, / ABD = / CBD =錯誤！未找到引用源。1 Z ABC, AD / BC,2. / A=60,.ABD是等邊三角形，/ ABC =120,.AD = BD, /CBD=/A= 60,.AP = BQ,BDQA ADP (SAS);(2)過點Q作QEAB,交AB的延長線于 巳 BDQA ADP ,-.BQ = AP= 2,. AD / BC,./ QBE = 60,.QE = QB?sin60 = 2X三3錯誤！未找到引用源。=J3錯誤！未找到引用源。，BE =2QB?cos60 = 2X1錯誤！未找到引用源。=1,2.AB=AD = 3,.PB=AB AP

60、= 3-2= 1,.PE = PB+BE = 2,在RtAPQE中，PQ= JPE2 +QE2錯誤!未找到引用源。=J7 ,.cos/ BPQ =上且錯誤！未找到引用源。=馬=竺錯誤！未找到引用源。.PQ77ZM4 PRE點評：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì). 此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用.17. （2011黑龍江省哈爾濱，23 , 6分）如圖，四邊形ABC皿平行四邊形，AC是對角線，BE ，AC,垂足為E, DFLAC,垂足為F.求證：DF=BE考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出BC=AD再由兩直線