北京郵電大學(xué)概率論期末考試試卷及答案

1、北京郵電大學(xué)概率論期末考試 試卷及答案第1章 概率論的基本概念 1 .1隨機(jī)試驗及隨機(jī)事件1. (1) 一枚硬幣連丟3次，觀察正面H、反面T 出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S= ;(2) 一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) 樣本空間是：S=；2.(1)丟一顆骰子.A:出現(xiàn)奇數(shù)點，則A=; B:數(shù)點大于2,則B= (2) 一枚硬幣連丟2次，A :第一次出現(xiàn)正 面，則A= ;B:兩次出現(xiàn)同一面，則=; C: 至少有一次出現(xiàn)正面，則C= . 1 .2隨機(jī)事件的運(yùn)算.設(shè)A、B、C為三事件，用A B、C的運(yùn)算關(guān) 系表示下列各事件： TOC o 1-5 h z (1)A、B、C都不發(fā)生表示為：.(2)A與B都

2、發(fā)生，而C不發(fā)生表示為：.A與B都不發(fā)生，而C發(fā)生表示為：.A、B、C中最多二個發(fā)生表示為:.A、 B、C中至少二個發(fā)生表示 為：3、B、C中不多于一個發(fā)生表示為：. S = x:0 x5,J = x:lx3,5 = x:24：貝!)(1 ) qb=, ( 2 ) AB = 9(3)AB = ,(4 ) AB = , ( 5 ) 荔二 o1.3概率的定義和性質(zhì).已知 P(AuB) = 0.8, P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 9 貝P(AB)= ,(2)( P(A B) )=,(3)P(AuB)=.已 知產(chǎn)(力)=0.7,尸(48) = 03,貝!P( AB) 古典概型.某班有3

3、0個同學(xué),其中8個女同學(xué)，隨機(jī)地 選10個，求：(1)正好有2個女同學(xué)的概率，最多有2個女同學(xué)的概率，(3)至少有2個女同學(xué)的概率.將3個不同的球隨機(jī)地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率.條件概率與乘法公式.丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)之和為7,則其中一顆為1的概率是。.已知P(4)=1 / 4, P 4) = 1 / 3, P(m 4) = 1 / 2,則P（A B） 。 1 .6全概率公式.有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機(jī)地抽 一個簽，不放回，第二人再隨機(jī)地抽一個簽， 說明兩人抽“中的概率相同。.第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有 5個紅球5個白球，隨機(jī)地取一盒，從中

4、隨 機(jī)地取一個球，求取到紅球的概率。 1 .7貝葉斯公式.某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另 30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求（1） 該廠產(chǎn)品能出廠的概率，（2）任取一出廠產(chǎn)品, 求未經(jīng)調(diào)試的概率。.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收 站收到時，A被誤收作B的概率為0.02 ,B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息 B傳遞的頻繁程度為3 : 2 ,若接收站收到 的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多 少？.8隨機(jī)事件的獨立性.電路如圖，其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān) 閉合與否相互獨立，且每一開關(guān)閉合的概率均 為p,求L與R為通路（用T表示）的概率。A BLRC D.甲，

5、乙，丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，命中 率分別為0.4,0.5和0.6,是否命中，相互獨 立，求下列概率：(1)恰好命中一次,(2)至 少命中一次。第1章作業(yè)答案 1 .1 1： (1) S HHH , HHT ,HTH ,THH , HTT,THT ,TTH ,TTT；(2) s 0, 1, 2, 32： (1) A 1, 3, 5 B 3, 4, 5, 6；(2) A 正正)正反, B 正正)反反, C 正 正)正反)反正。 1 .2 1 :(1) ABC ; (2) ABC ; (3) ABC ;(4) A B C ； (5) AB AC BC ；(6)A B AC B CABC ABC

6、ABCABC ；2：( 1)A B x:1 x 4 ； (2) AB x: 2 x 3；AB x:3 x 4；A B x:0 x1 或 2x5； (5)AB x :1 x 4 oP(A.3 1 : (1)B) = 0.7. 21p(ab)=0.3, (2) :p(aB) )=0.4.4p(AB)= 0.2, (3)10 C22C；C82/C；0,(2)(c2 c8c22c：c82)/c30,(3)1-(c8 c92)/c；0.2:P3/43.1 .5 1: . 2/6;: 1/4。則 P(A) = 2/10,則 P(B)= 1 .61:設(shè)A表示第一人“中”設(shè)B表示第二人“中”P(A)P(B|A

7、) + P( A)P(B| A)_2 j 2 _210 910 910兩人抽“中的概率相同，與先后次序 無關(guān)。2: 隨機(jī)地取一盒，則每一盒取到的概 率都是0.5 ,所求概率為：p = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.45 1 .7 1:(1)94% (2)70/94;2:0.993; 1 .8. 1 : 用A,B,C,D表示開關(guān)閉合，于是T =ABUCD,從而，由概率的性質(zhì)及 A,B,C,D的相 互獨立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D)- P(A)P(B)P(C)P(D) 224 c 24P P P 2

8、Pp2:(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0. 4)(1-0.5)0.6=0.38;1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的概念，離散型隨機(jī)變量1 一盒中有編號為1, 2, 3, 4, 5的五個球，從 中隨機(jī)地取3個，用X表示取出的3個球中的最大號碼.,試寫出X的分布律.2某射手有5發(fā)子彈，每次命中率是0.4, 一次 接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為 止，用X表示射擊的次數(shù)，試寫出X的分布 律。2.20 1分布和泊松分布1某程控交換機(jī)在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從入=4的泊松分布，求

9、(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘 只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設(shè)隨機(jī)變量X有分布律：X 23 ,Y兀(X),試求：p 0.40.6(1) P(X=2,Y 02); (2)P(Y02); (3)已知 Y2,求X=2的概率。貝努里分布一辦公室內(nèi)有5臺計算機(jī)，調(diào)查表明在任一 時刻每臺計算機(jī)被使用的概率為 0.6,計算機(jī) 是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1)恰有2臺計算機(jī)被使用的概率是多少？(2)至少有3臺計算機(jī)被使用的概率是多 少？(3)至多有3臺計算機(jī)被使用的概率是多少？(4)至少有1臺計算機(jī)被使用的概率是多 少？2設(shè)每次射擊命中率為0.2,問至少必須進(jìn)

10、行多 少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的概率 不小于0.9 ?隨機(jī)變量的分布函數(shù)0 x 11設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x) = 0.5 1 x 11 x 1(1)求 P(X1), (2) 寫出X的分布律。 Ax一2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x) = F x 0,0 x 0求(1)常數(shù) A, (2) P1 x 2. 2.5 連續(xù)型隨機(jī)變量1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：kx 0 x 1f(x)0其他(1)求常數(shù)k的值；(2)求X的分布函數(shù)F(x),畫出F(x)的圖形，(3)用二種方法計算P(- 0.5X0.5). 2.6 均勻分布和指數(shù)分布1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間(0, 5)上服從均勻分布

11、 求方程 4x2+ 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率。2假設(shè)打一次電話所用時間(單位：分)X服從0.2的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進(jìn)電 話亭，試求你等待：(1)超過10分鐘的概率；10分鐘 到20分鐘的概率。正態(tài)分布隨機(jī)變量 XN (3, 4), (1)求 P(2X 5), P(- 4X 2),P(X3);(2)確定 c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，以=160, 若要求P(120X1) -P(X2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,(2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X2) = 1 - 0

12、.908422 = 0.0915782： (1)由乘法公式：P(X=2,Y 2) = P(X=2) P(Y2 |X=2)= 0.4 82 2e2 2e2)= 2e2(2)由全概率公式：P(Y2) = P(X=2)P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3)=0.4 5 e2+0.6 e3= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458(3 )由貝葉斯公式：P(X=2|Y 3 )=C53 0.630.42C54 0.640.4 0.65P(X 3 ) = 1 - A 1 ) = 1 - 0.452:至少必須進(jìn)行 2.4 1： (1) P(X1) = 0.5,C；0

13、.640.40.65(4)P(X11次獨立射擊.P 0 X 1 = 0.5; P(XX的分布律為:-10.50.5 2.52: (1) A = 1, P 1 X 2 =1/61 : (1)(2)F(x)P(-0.5X0y0第3章多維隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球, 從中隨機(jī)地取3個，用X表示取到的紅球個數(shù),用Y表示取到的白球個數(shù)，寫出 (X, Y)的聯(lián) 合分布律及邊緣分布律。 TOC o 1-5 h z .設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合分布律為：X Y012試根據(jù)下列條件分別求a和b的值；00.10.2 aP(X 1) 0.6 ；0.1 b0.2P(X 1

14、|Y 2) 0.5；數(shù))F(1.5) 0.5。 3.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量1. (X、Y)的聯(lián)合密1設(shè)F(x)是Y的分布函度函數(shù)為：f(x, y)k(x y) 0 x 1,0 y 10 其他求(1 )常數(shù)kxy 0 x 1,0 y x0 其他f(x, y)222(1 x )(1 y )k; (2) P(X1/2,Y1/2) ; (3)P(X+Y1) ; (4) P(X1/2)O2. (X、Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：f(x,y)求(1)常數(shù) k;(2) P(X+Y1) ;(3) P(X1/2)O邊緣密度函數(shù).設(shè)(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X與Y 的邊緣密度函數(shù)。.設(shè)(X, Y)的聯(lián)合密度函

15、數(shù)如下，分別求x與y 的邊緣密度函數(shù)。e 0 y x f (x,y)0 其他隨機(jī)變量的獨立性.(X, Y)的聯(lián)合分布律如試根據(jù)下列條件分別求a和b的值;1/61/91/18P(Y1) 1/3 ；1/9P(X1 |Y 2) 0.5；(3)已知X與Y相互獨立。2.(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下,求常數(shù) c,并討論X與Y是否相互獨立？2cxy 0 x 1,0 y 1f(x,y) 0 其他 3.5多個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 3.6幾種特殊隨機(jī)變量函數(shù)的分布 第3章作業(yè)答案12: a=0.1b=0.30.40.30.7 a=0.2b=0.220.3003 a=0.3b=0.10.70.31: (1) k =

16、 1; (2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8; P(X+Y1) = 1/32: (1) k P(X1/2) = 1/16;(4) P(X1/2) = 3/8 8; (2) P(X+Y1)=1/6; (3) 3.3 1:fx(x)1dv 2222 dy2(1 x )(1 y )(1 x )fY(y)2:fx (x)1222(1 x )(1 y )xe xx0.0 x0dx 二fY(y)y 0.y 0,b=1/9; (3)2:(2) a=4/91;(D) 2.1.2 ;1.5 ;(1) a=1/6 b=7/18;a = 1/3, b = 2/9。c = 6, X與Y相互獨立第4章隨機(jī)變量

17、的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望.盒中有5個球，其中2個紅球，隨機(jī)地取3 個，用X表示取到的紅球的個數(shù)，則 EX是：.、3x2.設(shè)X有密度函數(shù)：f(x)方 ：)4,求 具 他0E(X), E(2X 1), E(1)，并求X大于數(shù)學(xué)期望E(X)的 TOC o 1-5 h z IXI概率。.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合E布律為：X Y012已知 E(XY) 0.65)00.10.2 a則 a 和 b 的值是：0.1 b 0.2(A) a=0.1, b=0.3;(B) a=0.3, b=0.1;(C)a=0.2, b=0.2;(D) a=0.15, b=0.25。4 .設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：

18、求EX,EY,E(XY 1)。xy 0 x 1,0 y 2f(x,y) 0 其他 4.2 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1,設(shè)X有分布律：X 0123_ 則 E(X2 2X 3)是：0.10.20.3(A)1;2;3;(D)4.52,2.設(shè)(X,Y)有 f(x,y) 4yxy試驗證0 其 他E(XY) E(X)E(Y), 但 X 與 Y不相互獨立。方差.丟一顆均勻的骰子，用X表示點數(shù)，求EX, DX. x有密度函數(shù)：f(x) (x 1)/4 2,求口(不.0分 世常見的幾種隨機(jī)變量的期望與方差. 設(shè)X(2) , YB(3, 0.6)，相互獨立)則E(X 2Y), D(X 2Y)的值分別是：(A) -1.6 和

19、 4.88 ;(B) -1 和 4;(C)1.6 和 4.88 ;(D) 1.6 和-4.88.設(shè)XU(a, b), YN(4, 3)X與Y有相同的期望和方差，求a, b的值。(A) 0 和 8;(B) 1 和 7;(C) 2和 6;(D) 3 和 5.方差與相關(guān)系數(shù).隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：試求協(xié)方差C0V(X,Y)和相關(guān)系數(shù)XY ,0.20.10.10.30.32 ,設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試求協(xié)方差Cov(X,Y)和相關(guān)系數(shù)f (x, y)4.6獨立性與不相關(guān)性XY,1,0 y 1他1.下列結(jié)論不正確的是(.若(A)(C). ( X,YX與丫相互獨立，則)X

20、與Y不相關(guān);X與Y相關(guān))則X與Y不相互獨立;E(XY) E(X)E(Y),f (x,y)fx(x)fY(y)則X與Y相互獨立;則X與Y不相關(guān)；COV(X,Y) 0,則不正確的是(E(XY) E(X)E(Y) ； (B) E(X Y) E(X) E(Y)；D(XY) D(X)D(Y) ； (D) D(X Y) D(X) D(Y)；)有聯(lián)合分布律如下)試分析X與Y的相關(guān)性和獨立性。、X1/81/81/81/81/81/8E(XY) E(X)E(Y)是X與Y不相關(guān)的(C)充(A)必要條件；(B)充分條件: 要條件；(D)既不必要，也不充分。E(XY) E(X)E(Y)是X與Y相互獨立的(A)必要條件

21、；(B)充分條件：(C)充要條 件；(D)既不必要，也不充分。設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗證X與Y不相關(guān)，但不獨立f (x, y)2.21x y/4 x第4章作業(yè)答案D;4:B;2/3 ):D;:7/2,2 : 3/2, 2,4/3 ) 17/9;3/4, 37/64 ; 3 :111A; 0.2 C；35/12; 2 :0.355;2: C;2: 11/36;B ；1/144, 1/11;x與y不相關(guān))但X與Y不相互獨立；4: C; 5: A;第5章極限定理* 5.1 大數(shù)定理中心極限定理. 一批元件的壽命（以小時計）服從參數(shù)為 0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在

22、 用，其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時， 立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時）的近 似概率。.某一隨機(jī)試驗，“成功”的概率為0.04,獨 立重復(fù)100次，由泊松定理和中心極限定理 分別求最多“成功” 6次的概率的近似值。第5章作業(yè)答案5.2 2: 0.1788;3: 0.889, 0.841;第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念.有 n=10 的樣本；1.2, 14 19 2.0, 1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,樣本均方差1.4,則樣本均值 ,樣本方差s22.設(shè)總體方差為b2有樣本Xi,x,Xn,樣本均值為2.i(5) =2.設(shè) Xi,X2,

23、1 .設(shè)總體XN(, 樣本方差S2 )則2),樣本Xi,X2, ,Xn,樣本均值X,貝(!cov(Xi,X)數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布.查有關(guān)的附表，下列分位點的值：Z0.9)t0.9(10) =,Xn是總體2(m)的樣本,求E(X), D(X)。一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布XS / 、n TOC o 1-5 h z 1 n 2-(Xi X) i 11 nc1 (Xi)2i 1* 6.4 二個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布第6章作業(yè)答案 6.11x 1.57, s 0.254, s2 0.0646 ；2 E（X）=也 D（X） = 2ml n ； 6. 3 1. n（o, i）,z2（w-i）,

24、72（）；第7章參數(shù)估計7.1矩估計法和順序統(tǒng)計量法L設(shè)總體x的密度函數(shù)為：“加卜砥E尸片，有 0 其他 樣本心心，求未知參數(shù)。的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)xw),為估計入 的值，在實地隨機(jī)地調(diào)查了 20次，每次1分 鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：23456試求 的一階矩估計和二階矩估計。極大似然估計.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：f(x) (11戶：X 1 0其 他有樣本Xi,X2, ,Xn,求未知參數(shù) 的極大似然估 計。估計量的評價標(biāo)準(zhǔn).設(shè)總體X服從區(qū)間(a, 1)上的均勻分布，有樣本 Xi,X2, ,Xn,證明? 2X 1是a的無偏估計。.設(shè)總體X()，有樣本X1,X2, ,Xn ,證明aX (1 a)S2 是參數(shù)的無偏估計(0 a 1)。參數(shù)的區(qū)間估計.纖度是衡量纖維粗細(xì)程度的一個量，某廠化纖纖度XN( , 2)，抽取9根纖維，測量其纖度為： 1.