數(shù)字信號處理-習(xí)題答案素材charpter6

1、2011/1北京大學(xué)出版社 違者必究1第6章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計與 MATLAB實現(xiàn)引言線性相位濾波器的特點窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器利用等紋波最佳逼近法設(shè)計FIR濾波器2【本章教學(xué)目的與要求】掌握線性相位濾波器的特點及其零點位置的分布特點；學(xué)會應(yīng)用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR濾波器；學(xué)會應(yīng)用頻率抽樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器；了解等波紋最佳逼近法設(shè)計線性相位FIR濾波器的方法；學(xué)會應(yīng)用MATLAB軟件設(shè)計線性相位FIR濾波器；了解IIR濾波器與FIR濾波器的不同特點及兩種濾波器的選用原則。3【本章知識結(jié)構(gòu)】46.1 引言【問題的引入】IIR數(shù)字濾波器優(yōu)點：能借助模

2、擬濾波器已有成果設(shè)計； 簡單方便缺點：相位非線性，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器優(yōu)點：嚴(yán)格線性相位；系統(tǒng)十分穩(wěn)定（傳輸函數(shù)為全零點型）；進(jìn)行濾波時可采用FFT缺點：幅度特性較差；設(shè)計繁瑣5案例 濾波器在濾除圖像高頻噪聲，增強(qiáng)圖像中的應(yīng)用。含有噪聲的圖像 濾波器濾波后圖像 66.2線性相位濾波器的特點線性相位條件設(shè)FIR系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為實序列 （長度為N），則其Z變換為：顯然為關(guān)于 的 N-1階多項式，它在Z平面上有N-1個零點、在原點有 N-1個重極點。若 滿足下面的 “ 偶對稱 ” 或 “ 奇對稱 ” 條件：則FIR濾波器將具有嚴(yán)格的線性相位特性。7對于長度為N的單位采樣響應(yīng)h(n)，其頻率響應(yīng)為當(dāng)h

3、(n)為實數(shù)序列時，可將頻率響應(yīng)表示為式中，H（w）稱為幅度函數(shù)， 稱為相位特性， 稱為幅頻特性， 稱為相頻特性。對于長度為N的單位采樣響應(yīng)h(n)，其頻率響應(yīng)為當(dāng)h(n)為實數(shù)序列時，可將頻率響應(yīng)表示為式中，H（w）稱為幅度函數(shù)， 稱為相位特性， 稱為幅頻特性， 稱為相頻特性。 線性相位是指系統(tǒng)的相位特性是頻率的線性函數(shù)，即84類線性相位濾波器9知識拓展（FIR濾波器具有線性相位的充要條件）把系統(tǒng)相位特性與頻率的關(guān)系式代入頻率響應(yīng)表達(dá)式，得等式左右兩側(cè)實部、虛部分別相等兩式相除，可得10整理，得即：要使上式成立，必須滿足得到第一類線性相位濾波器的條件。11第二類線性相位濾波器，可作與第一類線

4、性相位同樣的推導(dǎo)，得到第二類FIR濾波器是線性相位的充要條件 126.2.2線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點1第I種類型，h(n)偶對稱，N為奇數(shù)13其求和項全為實數(shù)則：顯然：幅度函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，可正可負(fù)；相位函數(shù)是 的線性函數(shù)，且通過原點，即具有嚴(yán)格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點14線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點的各項相對于 對稱的項相等。15線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點將相等項合并，因N為奇數(shù)，余中間項令 ，則：改換記法其中16線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點 該類濾波器適合于設(shè)計任何關(guān)于 為偶對稱特性頻率的濾波器。 對 皆為偶對稱，所以幅度函數(shù) 對 也是偶對稱。2

5、第II種類型：h(n)偶對稱，N取偶數(shù)與情形1推導(dǎo)相同N為偶數(shù)，余項令 ，得：17FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點改換記法其中因此這種情況不適合做在 處不等于零的濾波器，如高通濾波器、帶阻濾波器 。特點：當(dāng) 時， ，故 ，即 在 z = -1 為零點，且由于 對 呈奇對稱，因而 對 也呈奇對稱。18FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點3第III種類型，h(n)奇對稱，N為奇數(shù)19FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點顯然：相位特性同樣為一嚴(yán)格的直線，但在零點處有 的截距。則：幅度特性相位特性20FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點上式表明，當(dāng) 時， ，相當(dāng)于 在 z =1和z = -1有兩個零點，并且由于 對 呈奇

6、對稱，因而 對 也呈奇對稱。這種情況不適合做在 處為偶對稱的濾波器，如低通和高通濾波器。推導(dǎo)方法與前面類似，可得： 對 為奇對稱，21FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點4第III種類型，h(n)奇對稱，N為偶數(shù)這種情況不適合做在 處為偶對稱的濾波器，如低通濾波器。上式表明：當(dāng) 時， ，相當(dāng)于 在z=1處有一個零點；并且由于 對 呈奇對稱、對 呈偶對稱，因而 也對 呈奇對稱、對 呈偶對稱。22FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點下表給出了上述4種類型的線性相位濾波器的相位響應(yīng)、時域幅度響應(yīng)和頻域幅度響應(yīng)的示意圖。23知識拓展I型濾波器適合于設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻濾波器；II型適合于設(shè)計低通、帶通濾波器

7、;III型適合于設(shè)計帶通濾波器；IV型適合于設(shè)計高通、帶通濾波器。但在實際應(yīng)用中，低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計一般選擇I,II兩種類型，III,IV兩種線性相位FIR濾波器常在微分器和希爾伯特變換器中使用。 24線性相位FIR濾波器的零點特性6.2.3線性FIR數(shù)字濾波器零點分布特點 偶對稱取“” 奇對稱取“”設(shè) 是 的零點，則 也是 的零點。當(dāng) 為實數(shù)時， 為實系數(shù)的多項式，此時 應(yīng)是共軛成對的，則 也是零點。對于一個實線性相位FIR濾波器，其零點相對于單位圓鏡像共軛成對。25線性相位FIR數(shù)字濾波器零點分布266.3窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器設(shè)濾波器要求的理想頻響特性為 , 則FIR濾

8、波器的設(shè)計問題就在于：尋求某一系統(tǒng)函數(shù) ，使該系統(tǒng)頻響特性 逼近 ；若要求FIR濾波器具有線性相位特性，則 必須滿足上節(jié)所述的奇對稱或偶對稱條件。線性相位FIR濾波器的常用設(shè)計方法窗函數(shù)法、頻率采樣法、等波紋最佳逼近法窗函數(shù)法設(shè)計的基本思想是設(shè)計一個有限長濾波器頻率響應(yīng)來逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)。 27設(shè)計方法以低通線性相位濾波器為例,一般選擇選擇 為線性理想低通濾波器理想低通濾波器單位采樣響應(yīng)為：一般先給定理想濾波器的頻率響應(yīng) ，設(shè)計一個FIR濾波器的頻率響應(yīng)來逼近28設(shè)計方法要得到有限長的 ，最簡單的方法是用一長為 的矩形窗 截斷 。按照線性相位濾波器的要求， 必須偶對稱，如下圖。對稱中心

9、必須等于濾波器的延時常數(shù) 是中心點在a的偶對稱無限長非因果序列。 所以有：29理想矩形幅頻特性和矩形窗函數(shù)序列幅度函數(shù) 30設(shè)計方法下面從頻域卷積的角度來分析由矩形窗所求得的濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)矩形窗的頻率響應(yīng)為 為矩形窗的幅度響應(yīng)。如下圖31設(shè)計方法主瓣旁瓣旁瓣32設(shè)計方法將理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 表示為：若用代表所設(shè)計的低通濾波器的幅度函數(shù)，則:可見：設(shè)計的濾波器的幅度響應(yīng)是矩形窗函數(shù)的幅度響應(yīng)與理想低通濾波器的幅度響應(yīng)的卷積（過程如下圖所示）33設(shè)計方法矩形窗對理想低通濾波幅度特性的影響 34設(shè)計方法加矩形窗處理后，對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了以下兩點影響： 使理想頻率特性不連續(xù)點=c 處，形成

10、了一個過渡帶，過渡帶的寬度等于矩形窗的頻率響應(yīng)WR()的主瓣寬度= 4/N 在截止頻率c的兩邊=c 2/N 處（即過渡帶 的兩邊），H()出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的快慢，則取決于WR()波動的快慢。若增加截取長度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為： 隨著x加大，函數(shù)曲線波動的頻率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對比例保持不變。 這個相對比例由sinx/x決定, 即由矩形窗函數(shù)的形狀決定。 35設(shè)計方法因而，當(dāng)長度N增加時，只會減小過渡帶寬(4/N )，而不會改變肩峰的相對值。 在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%

11、，N增加時，4/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是8.95%，這就是吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。 由于窗譜肩峰的存在，影響到H()通帶的平坦和阻帶的衰減，使阻帶最小衰減只有21dB左右，因此在實際中，矩形窗很少采用。 為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好頻率特性，一般采用其他類型的窗函數(shù) ，對 進(jìn)行加窗處理。 366.3.2窗函數(shù)矩形窗（Rectangle window） 其頻率響應(yīng)為37三角形窗(Bartlett Window)其頻率響應(yīng)為：主瓣寬度為：38其頻率響應(yīng) 和幅度響應(yīng) 分別為： 是三項矩形窗的幅度響應(yīng) 的移位加權(quán)和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍

12、，為漢寧(Hanning window)窗，又稱升余弦窗39其幅度響應(yīng)為：同漢寧窗的主瓣寬度 相同，但旁瓣幅度更小，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi) 。漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗40其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量，幅度響應(yīng)為：通過加入余弦的二次諧波分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變?yōu)椴既R克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗41下圖為N=31時，矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線窗函數(shù)42窗函數(shù)下圖為N=311時矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼5種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)43窗函數(shù)凱塞爾(Kaiser)窗I0()是第

13、一類修正零階貝塞爾函數(shù)一般取1525項就可滿足精度要求。是一個可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說來， 越大,過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。44窗函數(shù)零階貝塞爾曲線凱塞爾窗函數(shù)曲線 窗函數(shù)基本參數(shù)比較456.3.3窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟求理想濾波器的單位采樣響應(yīng) 由過渡帶帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗函數(shù)，估計窗口長度N；求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位采樣響應(yīng)h(n);求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù) 46例 題（2）求得：解:(1)設(shè)理想線性相位濾波器的頻率特性為 由阻帶截止頻率與通帶截止頻率近似求得 ，即一線性相位高通濾波器設(shè)計指標(biāo)為：通帶截止頻率 通帶衰減，阻帶截止頻率阻帶最小衰減。試應(yīng)用窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計該濾波器。47例 題（4）加窗處理得 （3）已知阻帶最小衰減 ，查表