對數(shù)與對數(shù)函數(shù)專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)專題1.對數(shù)的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：alogaNN； logaabb(a0，且a1).(2)對數(shù)的運算法則如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN； logaeq f(M,N)logaMlogaN； logaMnnlogaM(nR)；loga mMneq f(n,m)logaM(m，nR

2、，且m0).(3)換底公式：logbNeq f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1時，y0；當(dāng)0 x1時，y1時，y0；當(dāng)0 x0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對稱.1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logabeq f(1,logba)；(2)logambneq f(n,m)logab.其中a0，且a1，

3、b0，且b1，m，nR.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.【疑誤辨析】1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)log2x22log2x.( )(2)函數(shù)ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù).( )(3)函數(shù)ylneq f(1x,1x)與yln(1x)ln(1x)的定義域相同.( )(4)當(dāng)x1時，若logaxlogbx，則abc B.acb C.cba D.cab 3.(必修1P74A7改編)函數(shù)

4、yeq r(logf(2,3)(2x1)的定義域是_. 4.計算log29log342log510log50.25( )A.0 B.2 C.4 D.6 5.(2019上海靜安區(qū)檢測)已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a0，且a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是( )A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1 D.0a1，0c0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化.【訓(xùn)練1】 (1)若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差數(shù)列，則x的值等于()A.1 B.0或eq f(1,8) C.eq f(1,8) D.log23(2)(2019成都七中檢測)

5、已知ab1，若logablogbaeq f(5,2)，abba，則a_，b_. 考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【例2】 (1)(2019濰坊一模)若函數(shù)f(x)axax(a0且a1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)yloga(|x|1)的圖象可以是( )(2)當(dāng)x(1，2)時，不等式(x1)20，a1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A.0a1b1 B.0ba11 C.0b1a1 D.0a1b11(2)(2019日照一中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(2x，xbc B.bac C.cba D.cab(2)若loga(a21)loga2ab0，0c1，則( )A.logacl

6、ogbc B.logcalogcb C.accb(2)若函數(shù)f(x)logaeq blc(rc)(avs4alco1(x2f(3,2)x)(a0，a1)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_. 【反思與感悟】1.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a1且b1或0a1且0b0；當(dāng)a1且0b1或0a1時，logab0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.3.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多

7、個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y1交點的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.【易錯防范】1.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為(0，).對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，要分0a1兩種情況討論.2.在運算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無M0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)).3.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4al

8、co1(2x，x4，,f(x1)，xbc B.bac C.cba D.cab 3.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的圖象大致為( ) 4.(2019寧波二模)已知f(x)lg(10 x)lg(10 x)，則( )A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù) B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù) D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù) 5.(2019臨汾三模)已知函數(shù)f(x)|ln x|，若f(m)f(n)(mn0)，則eq f(2,m1)eq f(2,n1)()A.eq f

9、(1,2) B.1 C.2 D.4 二、填空題6.lgeq f(5,2)2lg 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)_.7.(2019昆明診斷)設(shè)f(x)lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1x)a)是奇函數(shù)，則使f(x)0的x的取值范圍是_. 8.(2019濰坊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(log2（3x），x0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)上的最大值. 10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(

10、0)0，當(dāng)x0時，f(x)logeq f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2. 【能力提升題組】(建議用時：20分鐘)11.(2019天津和平區(qū)二模)已知a0且a1，函數(shù)f(x)loga(xeq r(x2b)在區(qū)間(，)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)loga|x|b|的圖象是() 12.設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2xlneq f(m,（x1）（7x）)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. 答 案1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函數(shù)

11、ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù).()(3)函數(shù)ylneq f(1x,1x)與yln(1x)ln(1x)的定義域相同.()(4)當(dāng)x1時，若logaxlogbx，則abc B.acbC.cba D.cab【答案】D【解析】0a1，b1.cab.3.(必修1P74A7改編)函數(shù)yeq r(logf(2,3)(2x1)的定義域是_.【答案】eq blc(rc(avs4alco1(f(1,2)，1)【解析】由logeq f(2,3)(2x1)0，得02x11.eq f(1,2)0，且a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a1，c1 B.a1，0c1C.0a1 D.0a1，0c1【答案】D【解析】由

12、題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0a0，即logac0，所以0c0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化.【訓(xùn)練1】 (1)若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差數(shù)列，則x的值等于()A.1 B.0或eq f(1,8) C.eq f(1,8) D.log23(2)(2019成都七中檢測)已知ab1，若logablogbaeq f(5,2)，abba，則a_，b_.【答案】(1)D(2)42【解析】(1)由題意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)，2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.(2)設(shè)logb at，則t1，因為te

13、q f(1,t)eq f(5,2)，所以t2，則ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】 (1)(2019濰坊一模)若函數(shù)f(x)axax(a0且a1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)yloga(|x|1)的圖象可以是()(2)當(dāng)x(1，2)時，不等式(x1)2logax恒成立，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2 D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)【答案】(1)D(2)C【解析】(1)由f(x)在R上是減函數(shù)，知0a1時，yloga(x1)的圖象由ylogax向右平移一個單位得到

14、.因此選項D正確.(2)由題意，易知a1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的圖象.若ylogax過點(2，1)，得loga21，所以a2.根據(jù)題意，函數(shù)ylogax，x(1，2)的圖象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.結(jié)合圖象，a的取值范圍是(1，2.【規(guī)律方法】1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【訓(xùn)練2】 (1)(2018湛江模擬)已知函數(shù)f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的圖象如圖所示，

15、則a，b滿足的關(guān)系是()A.0a1b1B.0ba11C.0b1a1D.0a1b11(2)(2019日照一中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(2x，x1.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知1logab0，即logaa1logabloga1，所以，a1b1.綜上有0a1bbc B.bacC.cba D.cab(2)若loga(a21)loga2a1，bln 2(0，1)，clogeq f(1,2)eq f(1,3)log23log2ea1，所以cab.法二logeq f(1,2)eq f(1,3)log23，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ylog2x，

16、yln x的圖象，由圖知cab.(2)由題意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，aeq f(1,2).綜上，aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1).角度3對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例33】 已知函數(shù)f(x)loga(3ax).(1)當(dāng)x0，2時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.【答案】見解析【解析】(1)a0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0，2時，t(x)的最小值

17、為32a，當(dāng)x0，2時，f(x)恒有意義，即x0，2時，3ax0恒成立.32a0.a0且a1，a的取值范圍是(0，1)eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2).(2)t(x)3ax，a0，函數(shù)t(x)為減函數(shù).f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，ylogat為增函數(shù)，a1，x1，2時，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，eq blc(avs4alco1(32a0，,loga（3a）1，)即eq blc(avs4alco1(ab0，0c1，則()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb(2)若函數(shù)f(x)logaeq blc(rc

18、)(avs4alco1(x2f(3,2)x)(a0，a1)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_.【答案】(1)B(2)(0，)【解析】(1)由yxc與ycx的單調(diào)性知，C，D不正確；ylogcx是減函數(shù)，得logca0，所以a1，所以函數(shù)ylogaM為增函數(shù)，又Meq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)eq sup12(2)eq f(9,16)，因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，).又x2eq f(3,2)x0，所以x0或x1且b1或0a1且0b0；當(dāng)a1且0b

19、1或0a1時，logab0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.3.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y1交點的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.【易錯防范】1.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為(0，).對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，要分0a1兩種情況討論.2.在運算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無M0的條件下應(yīng)為

20、logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)).3.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(2x，x4，,f(x1)，x4，)則f(2log23)的值為()A.24 B.16 C.12 D.8【答案】A【解析】因為32log23bc B.bacC.cba D.cab【答案】D【解析】logeq f(1,3) eq f(1,5)log3151log35，因為函數(shù)ylog3x在(0，)上為增函數(shù)，所以log35log3 eq f(7

21、,2)log331，因為函數(shù)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(x)在(，)上為減函數(shù)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup6(f(1,3)ab.3.(2019張家界三模)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的圖象大致為()【答案】A【解析】由題意，知函數(shù)f(x)2ax(a0，且a1)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)0a2，且函數(shù)g(x)loga(x2)在(2，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，C，D均不滿足；當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)2ax的零點xeq f(2,a)0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是

22、增函數(shù)，排除B，綜上只有A滿足.4.(2019寧波二模)已知f(x)lg(10 x)lg(10 x)，則()A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)【答案】D【解析】由eq blc(avs4alco1(10 x0，,10 x0，)得x(10，10)，且f(x)lg(100 x2).f(x)是偶函數(shù)，又t100 x2在(0，10)上單調(diào)遞減，ylg t在(0，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在(0，10)上單調(diào)遞減.5.(2019臨汾三模)已知函數(shù)f

23、(x)|ln x|，若f(m)f(n)(mn0)，則eq f(2,m1)eq f(2,n1)()A.eq f(1,2) B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】由f(m)f(n)，mn0，可知m1n0，ln mln n，則mn1.所以eq f(2,m1)eq f(2,n1)eq f(2（mn）4,mnmn1)eq f(2（mn2）,mn2)2.二、填空題6.lgeq f(5,2)2lg 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)_.【答案】1【解析】lgeq f(5,2)2lg 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)l

24、geq f(5,2)lg 222lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)4)2121.7.(2019昆明診斷)設(shè)f(x)lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1x)a)是奇函數(shù)，則使f(x)0的x的取值范圍是_.【答案】(1，0)【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a1，f(x)lgeq f(1x,1x)，定義域為(1，1).由f(x)0，可得0eq f(1x,1x)1，1x0.8.(2019濰坊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(log2（3x），x2，,2x21，x2，)若f(2a)1，則f(a)_.【答案】2【解析】當(dāng)2a0時，f(2a)l

25、og2(1a)1.解得aeq f(1,2)，不合題意.當(dāng)2a2，即a0時，f(2a)2a11，即2a2，解得a1，所以f(a)f(1)log242.三、解答題9.設(shè)f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)上的最大值.【答案】見解析【解析】(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由eq blc(avs4alco1(1x0，,3x0，)得1x3，函數(shù)f(x)的定義域為(1，3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)

26、log2(x1)24，當(dāng)x0，1時，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)xeq blc(rc(avs4alco1(1，f(3,2)時，f(x)是減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)上的最大值是f(1)log242.10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)0，當(dāng)x0時，f(x)logeq f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.【答案】見解析【解析】(1)當(dāng)x0，則f(x)logeq f(1,2)(x).因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)logeq f(1,2)(x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)eq blc(avs4alco1(logf(1,2)x，x0，,0，x0，,logf(1,2)（x），x2轉(zhuǎn)化為f(|x21|)f(4).又因為函數(shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以|x21|4，解得eq r(5)x0且a1，函數(shù)f(x)loga(xeq r(x2b)在區(qū)間(，)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)loga|x|b|的圖象是()【答案】A【解析】函數(shù)f(x)loga(xeq r(x2b)在區(qū)間(，)上是奇函數(shù)，f(0)0，b1，又函數(shù)f(x)loga(xeq r(x2b)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)，所以a1.所以g(x)loga|x|1|，當(dāng)x1時，g(x)log