插值方法-樣條函數(shù)課件

1、一、樣條的產(chǎn)生和背景 第一章 插值方法 8 樣條函數(shù) 二、樣條函數(shù)的定義 三、三對角方程（三轉(zhuǎn)角方程） 四、舉例五、三彎矩方程 預(yù)備知識已知：4個條件xixkxk+1yi = f(xi)ykyk+1求:一個次數(shù)不超過3的多項式H3(x)Hermite三次插值：結(jié)論：其中實際中有許多計算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高的要求，例如飛機機翼外形、發(fā)動機進、排氣口都要求有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。一、 樣條的產(chǎn)生和背景1.問題的產(chǎn)生顯然我們前面介紹的方法已不能解決這個問題。在制造船體和汽車外形等工藝中傳統(tǒng)的設(shè)計方法是： 首先由設(shè)計人員按外形要求，給出外形曲線的一組離散點值(xi , yi) (i=0,1,2, ,

2、n)，施工人員準(zhǔn)備好有彈性的樣條（一般用竹條或有彈性的鋼條）和壓鐵，將壓鐵放在點(xi ,yi) 的位置上，調(diào)整竹條的形狀，使其自然光滑，這時竹條表示一條插值曲線，我們稱為樣條函數(shù)。從數(shù)學(xué)上看，這一條近似于分段的三次多項式，在節(jié)點處具有一階和二階連續(xù)微商。 2.樣條的概念(Spline)樣條是工程設(shè)計中使用的一種繪圖工具，它是富有彈性的細(xì)竹（木）條或細(xì)金屬條。繪圖員利用它把一些已知的點連接成一條光滑曲線稱為樣條曲線，樣條曲線在連接點處有連續(xù)的曲率（即連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)），它實際上是分段三次曲線拼接而成，在連接點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 一類分段（片）光滑、并且在各段交接處也有一定光滑性的函數(shù)。簡稱樣條

3、。樣條函數(shù)的概念(Spline function) 從數(shù)學(xué)上講，就是按一定光滑性要求“裝配”起來的分段多項式。具體地說，稱具有分劃 ：a =x0 x1xn= b 的分段k次式Sk(x)為k次樣條函數(shù)，如果它在每個內(nèi)節(jié)點xi(1i n-1)上具有直到k-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，點xi(1i n-1)則稱作樣條函數(shù)Sk(x)的節(jié)點。樣條函數(shù)的概念 (續(xù)) 分段低次多項式、在分段處具有一定光滑性的函數(shù)插值就是模擬以上原理發(fā)展起來的，它克服了高次多項式插值可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象，具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性，由這種插值過程產(chǎn)生的函數(shù)就是多項式樣條函數(shù)。 樣條函數(shù)的研究始于20世紀(jì)中葉，到了60年代它與計算機輔助設(shè)計

4、相結(jié)合，在外形設(shè)計方面得到成功的應(yīng)用。樣條理論已成為函數(shù)逼近的有力工具。它的應(yīng)用范圍也在不斷擴大，不僅在數(shù)據(jù)處理、數(shù)值微分、數(shù)值積分、微分方程和積分方程數(shù)值解等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，而且與最優(yōu)控制、變分問題、統(tǒng)計學(xué)、計算幾何與泛函分析等學(xué)科均有密切的聯(lián)系。樣條函數(shù)的發(fā)展及應(yīng)用計算機繪制的樣條函數(shù)二、 三次樣條函數(shù)的定義若函數(shù)S(x)C2a,b,且在每個小區(qū)間xj,xj+1上是三次多項式，其中a =x0 x1 xn=b是給定節(jié)點，則稱S(x)是節(jié)點x0，x1， ，xn上的三次樣條函數(shù)。1.三次樣條的定義a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多項式即：三次樣條函數(shù)2.三次樣條插

5、值函數(shù)的定義+ S(xi) = yi3.求解三次樣條插值函數(shù)的已知條件數(shù)和未知條件數(shù)未知參數(shù)個數(shù)4n已知條件個數(shù)S(x)C2a,b ：3(n-1)插值條件： n+1共 計： 4n-2缺少2個條件，通常在插值區(qū)間的端點給出，稱為邊界條件。4.常用的三種邊界條件1已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即：2已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即：3當(dāng)f(x)是以xn-x0為周期的周期函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù)，即周期樣條三、 求解方法之一：三對角方程設(shè)在a,b上給出插值條件：1.條件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次樣條插值函數(shù) S(x)設(shè)法求出2.求解S(x)的思路由埃爾米特插值，若設(shè)法求出內(nèi)部節(jié)

6、點上的一階導(dǎo)數(shù) mj(j = 1,n-1)。則3.求解 mj 的思路由內(nèi)部節(jié)點上的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)求出考慮S(x)在xj , xj+1上的表達式hj=xj+1-xj對S(x)求二階導(dǎo)數(shù)得：于是同理可得S(x)在區(qū)間xj-1 , xj上的二階導(dǎo)數(shù)：于是由條件可得進一步簡化為寫成矩陣形式為-1三對角方程特點每個方程都聯(lián)系三個mj ,mj 在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在xj截面處的轉(zhuǎn)角，因此又稱為三轉(zhuǎn)角方程。方程系數(shù)矩陣對角元素均為2，非對角元素 ，故此矩陣具有強對角優(yōu)勢。追趕法求解（第六章6.2）四、舉例已知插值條件為：x123yy21412-1求三次樣條插值函數(shù)。解：于是由得則由區(qū)間上的Hermite插值公式

7、，可得P36 例7圖形五、求解方法之二：三彎矩方程三次樣條函數(shù)S(x)可以有多種表達方法，有時用二階導(dǎo)數(shù)值 （j=0,1, ,n）表示更為方便。Mj在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在xj截面處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個彎矩有關(guān)，故稱為三彎矩方程。求解方法之二：三彎矩方程設(shè)在a,b上給出插值條件：1.條件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次樣條插值函數(shù) S(x)2.求解S(x)的思路及求解1)首先確定S(x)與二階導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系2）求出中間節(jié)點上的二階導(dǎo)數(shù)值1)首先確定S(x)與二階導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系由于S(x)在區(qū)間xj ,xj+1上是三次多項式，故S(x)在xj ,xj+1上是線性函數(shù)，可表示為對S(x)積分兩次并利用S(xj)=yj 及S(xj+1)=yj+1 ,可定出積分常數(shù)，于是得 下面我們的任務(wù)是求出內(nèi)部節(jié)點上的二階導(dǎo)