熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理熱統(tǒng)

1、2022/8/26第十章 漲落理論1第十章 漲落理論2022/8/26第十章 漲落理論210.1 漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論1、按統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法求漲落熱力學(xué)平均量：偏差的平均值：偏差平方的均值：2022/8/26第十章 漲落理論32、漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論：由熱力學(xué)基本公式由已知量的漲落求未知量的漲落 因?yàn)閭鹘y(tǒng)熱力學(xué)理論不能處理漲落問題，因此 這一理論被稱為準(zhǔn)熱力學(xué)理論粒子數(shù)、內(nèi)能、體積等的漲落：存在對(duì)應(yīng)的微觀量溫度、熵等物理量的漲落：無對(duì)應(yīng)的微觀量，應(yīng)從熱力 學(xué)函數(shù)關(guān)系理解。2022/8/26第十章 漲落理論43、孤立系熱力學(xué)量漲落熱平衡狀態(tài)時(shí)：偏離熱平衡時(shí)：2022/8/26第十章 漲落理論5系統(tǒng)熱源因

2、此，理解為系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的概率4、應(yīng)用到粒子數(shù)不變的系統(tǒng)與熱源組成的孤立系2022/8/26第十章 漲落理論6由熵的廣延性：由熱力學(xué)基本方程T、p是平衡時(shí)熱源的，也是系統(tǒng)的溫度與壓強(qiáng)得：2022/8/26第十章 漲落理論7將E看作是S、V的函數(shù)，在平衡值附近作泰勒展開以上公式可以用于小漲落及大漲落的情況5、小漲落情況：2022/8/26第十章 漲落理論8注意到：得：2022/8/26第十章 漲落理論9此即系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的概率注意上式中只有兩個(gè)自變量，以p、V為自變量：因此也可寫成2022/8/26第十章 漲落理論10由此求熱力學(xué)量的漲落值：可以求得：2022/8/26第十章 漲落理論11對(duì)于磁

3、介質(zhì)：表示系統(tǒng)與平衡態(tài)具有偏差T、m的概率據(jù)此，2022/8/26第十章 漲落理論126、巨正則系綜的漲落表示溫度、體積及粒子數(shù)相對(duì)平衡值有偏差T、V及N時(shí)概率2022/8/26第十章 漲落理論13概率表示為：因此，可求得：2022/8/26第十章 漲落理論14與正則系綜相同，是由系統(tǒng)與源的能量交換引起粒子數(shù)交換引起的。2022/8/26第十章 漲落理論1510.5 布朗運(yùn)動(dòng)理論1、布朗運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及機(jī)理粒子的典型大小：受液體分子的碰撞瞬間不平衡2、朗之萬（Langevin）方程設(shè)粒子：牛頓方程介質(zhì)分子的靜作用力外場力2022/8/26第十章 漲落理論16將f(t)分解成兩部分：第一部分稱為粘滯阻

4、力，源于粒子與分子碰撞的平均效果，v為粒子速度；當(dāng)分子為球形時(shí)，系數(shù)與粘滯系數(shù)的關(guān)系：stokes關(guān)系第二部分為隨機(jī)力，理解為靜止粒子受到的凈作用力其值可正可負(fù)。2022/8/26第十章 漲落理論17因此朗之萬方程無外場時(shí)令為零以x乘上式，注意到得：作系綜平均，利用（因?yàn)镕與位置無關(guān)）2022/8/26第十章 漲落理論18及（能均分定理）得：方程的解為：第二部分在很短時(shí)間后變?yōu)榱阋虼耍捍藶槔手f方程的解，后為皮蘭的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。此為隨機(jī)過程的典型結(jié)果；機(jī)械動(dòng)動(dòng)的位移平方與t平方成正比2022/8/26第十章 漲落理論193、從擴(kuò)散的觀點(diǎn)研究布朗運(yùn)動(dòng)定義粒子密度n(x,t) 粒子流量J(x,t)菲

5、克定律：擴(kuò)散系數(shù) 連續(xù)方程：得擴(kuò)散方程：設(shè)初始條件為：2022/8/26第十章 漲落理論20擴(kuò)散方程的解為：表示x處的粒子數(shù)隨時(shí)間的推移按高斯率減少。由上式可以求得粒子位移平方的系綜平均值：與朗之萬結(jié)果比較，可得擴(kuò)散系數(shù)與粘滯阻力系數(shù)的關(guān)系愛因斯坦關(guān)系2022/8/26第十章 漲落理論2110.6 布朗顆粒動(dòng)量的擴(kuò)散與時(shí)間的關(guān)聯(lián)即描述粒子的動(dòng)量由初值趨于平均值的過程將朗之萬方程改寫為：將方程兩邊乘以其解為：1、動(dòng)量擴(kuò)散2022/8/26第十章 漲落理論22其中的p(0)為初始動(dòng)量，是布朗運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間表示粒子的初動(dòng)量經(jīng)過此時(shí)間后才發(fā)生顯著改變。上式作系綜平均：動(dòng)量的擴(kuò)散：定義動(dòng)量的散差因?yàn)椋?

6、022/8/26第十章 漲落理論23所以：稱為漲落力的時(shí)間關(guān)聯(lián)，其定義為：第i個(gè)粒子在時(shí)刻t受到的隨機(jī)力這個(gè)量表示相臨間隔內(nèi)，粒子所受隨機(jī)力的關(guān)系由隨機(jī)力的性質(zhì)可以知，經(jīng)過某一特征時(shí)間后，隨機(jī)力必相互無關(guān)2022/8/26第十章 漲落理論24如有：則可寫成：即不同時(shí)刻的漲落力不存在關(guān)聯(lián)。而D則描述了漲落力的幅度。因此，動(dòng)量的散差為：2022/8/26第十章 漲落理論25這是隨機(jī)過程的典型結(jié)果，動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)據(jù)能均分定理，達(dá)到熱平衡后2022/8/26第十章 漲落理論26因此，漲落耗散定理漲落力導(dǎo)致動(dòng)量的聚集與擴(kuò)散粘滯阻力導(dǎo)致動(dòng)量的耗散漲落耗散定理給出了漲落與耗散的關(guān)聯(lián)。通過漲落耗散定理，可以計(jì)算

7、近平衡下的非平衡態(tài)下的耗散 性質(zhì)（如各種輸運(yùn)性質(zhì)） 可從近平衡下耗散性質(zhì)去認(rèn)識(shí)平衡態(tài)的漲 落性質(zhì)（如近年興起的趨衡動(dòng)力學(xué)研究）2022/8/26第十章 漲落理論272、動(dòng)量的時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù)在t1/后，動(dòng)量的時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為：代入定義式，2022/8/26第十章 漲落理論283、由動(dòng)量時(shí)間關(guān)聯(lián)式求布朗運(yùn)動(dòng)的位移2022/8/26第十章 漲落理論292022/8/26第十章 漲落理論30可以看到同求解朗之萬方程的結(jié)果相同。2022/8/26第十章 漲落理論3110.7 布朗運(yùn)動(dòng)簡例熱噪聲隨機(jī)電壓電阻R與漲落電壓V(t)都來源于傳導(dǎo)電子受其周圍的聲子散射：R代表平均效果，而V(t)是扣除了平均以后剩余的漲落部分。因此，Ri稱為慢變部分，V(t)稱為漲落部分。2022/8/26第十章 漲落理論32將上式與朗之萬方程比較對(duì)應(yīng)關(guān)系：因此由對(duì)應(yīng)關(guān)系2022/8/26第十章 漲落理論33得到：Nyquist定理它指出漲落電壓的不同頻率分量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，其漲落的方均值與電阻R和溫度T成正比，與頻率無關(guān)。2022/8/26第十章 漲落理論34白噪聲的特點(diǎn)(1). 譜密度是delta函數(shù)，與頻率無關(guān)，類比于白光，因此稱為白噪