偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)詳細(xì)解法

1、第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生了解偏導(dǎo)數(shù)的概念；熟練掌握一階及二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法；了解偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：一階及二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算教學(xué)過(guò)程：一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法對(duì)于二元函數(shù)z=fx,y),如果只有自變量x變化，而自變量y固定，這時(shí)它就是x的一元函數(shù)，這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，就稱(chēng)為二元函數(shù)zf(x,y)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù).定義設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Ax時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量fxo+心,y0)/o,y0)如果極限limf(x0+Ax，y0)f(X0，y0)AxT0AxQzdxx=xoyy0QfQxxx0yy0存在,則稱(chēng)此

2、極限為函數(shù)Zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作,或f(x,y),xx0 x0-Vyy0例如f(x+Ax,y)f(x,y)f(x,y)lim0000 x00goAxAy類(lèi)似地,函數(shù)z=fx,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為f(x,y+Ay)-f(x,y)lim000憶Ayt0QfQyxx0yy0如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作爭(zhēng),f,z,或f(x,y)，QQ偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：f(x,y)limf(x+Ax,y)f(x,y)xAxt0記作Qz,Qy

3、xx0yy0偏導(dǎo)函數(shù):,或fy(x0,y0)，Ax類(lèi)似地，可定義函數(shù)z=f（Xy）對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為f(x,y+Ay)f(x,y)Ay,，f，Zy，或卩y）-偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：f（x,y）=limyAy0求f時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)X求導(dǎo)數(shù)；求f時(shí)，只要把X暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù).討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？f（x0，y0）=f（xy）x=x。，f（x0，y0）=f（x，y）x=x。-y=y0y=y0fx（X0,yo）=dxf（x，y0）x=x，fy（xo,yo）=dyf（xo,y）y=y0-00偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)例如三元函數(shù)u=fx，y，z）在點(diǎn)（X，y，z）

4、處對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)定義為f（x,y,z）=limf（x+My，z）f（x，y，z），x20Ax其中（x，y，z）是函數(shù)ufx，y，z）的定義域的內(nèi)點(diǎn)它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題.例1求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)（1，2）處的偏導(dǎo)數(shù).解主=2x+3y，李=3x+2y.，z=21+32=8，z=31+20,xH1)，求證：李+-李=2zy,xlnx,y證李=yxy1，冬=xylnx.,x,y傘+-軍=yxy1+xylnx=xy+xy=2z.y,xlnx,yylnx例4求r=x2+y2+z2的偏導(dǎo)數(shù).解冬=x=蘭；冬=y=丄,xx2+y2+z2r力x2+y2+z2r例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為

5、pV=RT（R為常數(shù)）,求證Opav6T，dVOTOpRTOpRTV，OVV2V，RT,OVR；pOTp丿T-pVOT_V；ROpR所以亀務(wù)OTRTRVRTV2pRpV例5說(shuō)明的問(wèn)題偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)不能看作分子分母之商.二元函數(shù)z，f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：fx(x0,y0)，f(x,y0)xf是截線(xiàn)z，f(x,y0)在點(diǎn)M0處切線(xiàn)Tx對(duì)x軸的斜率.厶(x0,y0)，f(x0,y)yf是截線(xiàn)z，f(x0,y)在點(diǎn)M0處切線(xiàn)Ty對(duì)y軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性：對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)例如xyf(x,y)，x2+y20在點(diǎn)

6、(0,0)有,fx(0,0),0,fy(0,0)，0,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).提示：f(x,0)，0,f(0,y)，0；f(0,0)，dd-f(x,0)，0,fy(0,0)，df(0,y)，0.當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有l(wèi)imf(x,y),limf(x,0),lim0,0；(x,y)T(0,0)xT0 xT0當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線(xiàn)y，kx趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有l(wèi)imxy,lim空(x,y)T(0,0)x2+y2xT0 x2+k2x21+k2y,kx因此，limf(x,y)不存在,故函數(shù)f(x,y)在(0,0)處不連續(xù).(x,y)t(0,0)類(lèi)似地，可定義函數(shù)z，f(x,

7、y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為OzOfzOyOyy或fy(x,y).f(x,y+Ay)f(x,y)偏導(dǎo)函數(shù)的定義式fy(x,y)limyAy0二.高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)字f(x,y),字f(x，y),oxxdyy0Oxxxo2zOxOyo2zoyoxo2zo2z其中O2zo2zOxOyOxOyOxfyx(x，y)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù)o2zOxOy，O2zOyOx，Oy2O2z那么在D內(nèi)fx(x,y)_fy(x,y)都是x,y的函數(shù)如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱(chēng)它們是函數(shù)zf(x,y)的二偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的偏

8、導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù)，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)例6設(shè)zx3y23xy3-xy+l,求竽、竽、磐和黑.Ox2Ox3OyOxOxOy解3x2y2一3y3-y,2x3y-9xy2一x；O2zOx26xy2,O2zOxOy6x2y-9y2_1,O2zOyOx6x2y-9y2_1.由例6觀(guān)察到的問(wèn)題：畀獸OyOxOxOy定理如果函數(shù)zf(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)彝及賓在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那OyOxOxOy么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等類(lèi)似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)dx2dy2例7驗(yàn)證函數(shù)z，lnx2+y2滿(mǎn)足方程竽+-f2z，0dz,x空,ydxx2+y2dyx2+y2d2z_(x2+y2)-x-2x_y2-x2dx2(x2+y2)2(x2+y2)2d2z,(x2+y2)-y2yx2-y2dy2(x2+y2)2(x2+y2)2d2z,d2z,x2-y2+y2-x2dx2dy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8證明函數(shù)u=r滿(mǎn)足方呈豊+譽(yù)+磐=其中r