其他重要不等式

1、自招競賽秋季數(shù)學(xué)講義其他重要不等式學(xué)問定位本章將介紹冪平均不等式,權(quán)方和不等式,琴生不等式,卡爾松不等式,楊氏不等式,赫爾的不等式,閔可夫斯基不等式,鐘開來不等式以及阿貝爾不等式的證明以及應(yīng)用；學(xué)問梳理、例題精講一、 冪平均不等式冪平均不等式：設(shè)x x2,x nR ,且,有x 1x 2nx n1x 1x 2nx n1,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x 1x 2x 時(shí)取到；注：調(diào)和平均值相當(dāng)于lim 01,算術(shù)平均值相當(dāng)于1 ,均方根平均值相當(dāng)于2 ,x 1x2nx n1,大小關(guān)系由冪平均不等式顯而易見；幾何平均值就就相當(dāng)于【例 1】【題目來源】【題目】設(shè)ixR i1,2,n, n ,求證：x nnx0 x 1x

2、nx 1x nn1nx 1nx 0 x 2xx 0 x 1x 2x 0【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 3 【例 2】【題目來源】【題目】對(duì)于p1,q0,a 1a 2a n0,0b 1b 2b 或0a 1a 2a ,b 1b 2b n0,證明ina ip1 np qina ip11b iqinb iq1【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 3 【例 3】【題目來源】第四屆,CMO n2,且in1x i1,求證：inx ix i11in1x i【題目】 設(shè)x x 2,x 都是正數(shù) 11n【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 【例

3、 4】【題目來源】 2022中國國家集訓(xùn)隊(duì)測驗(yàn)題【題目】給定整數(shù)n2和正實(shí)數(shù) a ,正實(shí)數(shù)x x 2,x 滿意x x 2x n1,求最小的實(shí)數(shù)MM n a ,使得ina1x iM1s【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 5 二、 權(quán)方和不等式權(quán)方和不等式：設(shè)x x2,x n,y 1,y 2,ynR ,如m0或m1n1m x i1nnm1xii1,就ym inmiy ii1如1m0,就nm x i11x im1ii1m y inyimi1【例 5】【題目來源】 28屆 IMO預(yù)選題【題目】設(shè)na b c 是一三角形的三條邊長,s1 2abc ,求證：anbaacnb2 3n2

4、, nZbcc【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 3 三、 琴生不等式琴生不等式：如連續(xù)函數(shù)f x 在區(qū)間 I 內(nèi)下凸（或上凸） ,就對(duì)任意x x 2,x nI 及任意1,2,n1R ,且ini1,就有1f x 122f x 2nnf x n1f1x 12x 2nx n或fx 12x 2nx n1f x 1f x 2f x n判定函數(shù)下凸（上凸）的方法：（1）2設(shè)連續(xù)函數(shù)f x 的定義域?yàn)?, a b ,假如對(duì)于 , a b 內(nèi)任意兩數(shù)x x 都有fx 1x2 f x 12fx 2,就稱f x 為 , a b 上的下（上）凸函數(shù)（2）當(dāng)函數(shù)f x 二階可導(dǎo)時(shí),其凸性可依據(jù)

5、二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來確定即f 0f x 在 D 上嚴(yán)格下凸f 0f x 在 D 上嚴(yán)格上凸注：下凸函數(shù)有時(shí)也被成為凸函數(shù),上凸函數(shù)有時(shí)也被成為凹函數(shù)；【例 6】【題目來源】【題目】設(shè)x y z 是正實(shí)數(shù),且xyz1,證明：13 zy3x33 y1y1z 1x 1z x 14【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 【例 7】【題目來源】 36屆 IMO 【題目】設(shè)a b c 為正實(shí)數(shù),且abc1,求證：a31cb31c3 c1b3baa2【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 【例 8】【題目來源】 21屆 CMO 【題目】實(shí)數(shù)列 a n滿意：a 11,a

6、k1naka n1,k11,2,n ；證明不等式：22a k2a 1a2na nn 1a 1a21111n 1 a 1a2a n【證明】【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 5 四、 卡爾松不等式卡爾松不等式： 設(shè)ija0imn1nm1,其中1,2, , n j1,2,m ,就a ijma ij mj1i1i1j1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a i,1a i,2a i m時(shí)取得；a i1,1a i1,2a i1, mn行每對(duì) n m矩陣, m列每列數(shù)之和的幾何平均值大于等于其這個(gè)不等式的直觀表述是：行數(shù)的幾何平均值之和；【例 9】【題目來源】 28屆 IMO預(yù)選題【題目】設(shè)a b c 是一

7、三角形的三條邊長,s21 2abc ,求證：anbncnn2, nZbccaab3【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 3 【例 10】【題目來源】【題目】設(shè)ix in1,2, n 為正數(shù),1n2, nN ,就xn1x nx0 x 1x 2nx nnnxnnx0 x 1x 1xx0 x 1x 2x nx 0【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4【例 11】【題目來源】第4屆 CMO in ,n2,inx i1,試證：inxxinx i1【題目】設(shè)ixR ,11111n【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 四、楊氏（ Young）

8、不等式,赫爾德（Holder ）不等式與閔可夫斯基不等式Y(jié)oung 不等式：設(shè)p q0,且1 p11,就對(duì)x y0有111x1y1,就p x yqqpq這個(gè)不等式的證明可以考察ln x 的凹凸性,用琴生不等式獲得,比較簡潔這里不再列出；Holder 不等式：設(shè)ia0,ib0, i1,2, n ,p0,q0,滿意1 p1qna b ina ip1nb iq1,等號(hào)成立的條件是p a iq b i pqi1i1i1證明：由 Young 不等式得11n1iaipn1q b i11n1ink b i1,等pqna ipq b ii1na ipnq b ini1pnapi1qnq b ipqii1i1i

9、1i1p a i1,2,q b i,即a ip等號(hào)成立的充要條件是q b ,inp a inq bkk a ii111n1閔可夫斯基不等式：對(duì)a bnR,1,就a ibk kkk1i1i1號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a 1a2a時(shí)成立b 1b 2bn證明：由赫爾德不等式,得na iinb ikina a i iib ik1nb a i i1b ik1nk a i1 n1 a ib ik k1nk b i1in1a ib ik k1k ki1i11i1ii1所以a ib i1nk a i1nk b i,當(dāng)且僅當(dāng)a 1a 2a nb n時(shí)等號(hào)成立；k kkkb 1b 211i1【例 12】【題目來源】【題目】 設(shè)i

10、a0,ib0,ii1,2,n,m0或m1,證明：in1m a i1ina im1,1mbmn等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a ib ,1,2,nib i1【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 3 【例 12】【題目來源】【題目】證明：對(duì)正實(shí)數(shù)a b c ,有a2a8 bcb2b8 acc2c8ab1【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 五、 鐘開來不等式與阿貝爾變換（阿貝爾不等式）鐘開來不等式：設(shè)a a 2,a 和b b 2,b 是正數(shù),且b 1b 2b ,如對(duì)全部的k1,2,n 有kbjjk1a ,就nb2jna2 jb kb k1,其中S 為 ka的前 n 項(xiàng)

11、和j1j1j1證明：由阿貝爾變換公式knS b nn1S ka b kk11我們有n2 b jb nnb jnjb k bjb j1jnb nn1ajn1kj1a kbjbj1jn1a bjj1j1j1k11jj1nn1b 2j又由柯西不等式有a b ja2 2jj1j11結(jié)合上述兩式即證明白n2 b jna2jj1j1在鐘開萊不等式的證明過程中,我們使用了阿貝爾變換,這在不等式證明中是一個(gè)處理部 分和條件的利器,在這里我們也將舉一些例子來說明它的用法；先來看一個(gè)由阿貝爾變換 簡潔證明的阿貝爾不等式；阿貝爾不等式：設(shè)b 1b 2b n0,mkt1akM,t1,2,n ,就有：n證明：設(shè)nakn

12、n1bmk1a b kb Mn1b k1mb 1證畢S nk1n就a b kS b nk1S kb kb k1mb nkm b kk11nn11k1a b kS b nk1S kb kb k1Mbnk1M b kb k1Mb1【例 13】【題目來源】【題目】設(shè)a a a 3,是正實(shí)數(shù)序列,對(duì)全部的n1滿意條件jn1ajn ,證明：對(duì)任111意的n1 有na21j42nj1【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 3下面的幾個(gè)例題是有關(guān)阿貝爾變換的使用的【例 14】【題目來源】1【題目】設(shè)a a 2,anR ,p qR ；記Sp a 1p a 2p a np,就對(duì)于 1,2, n

13、的任一排列i i2,naq kqa i kpa k0, n i ,有：1Spk【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4【例 15】【題目來源】【題目】試證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有n1kxnx ,其中 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)kk【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 【例 16】【題目來源】【題目】已知a k0,k1,2,n ,定義A k1ika i,證明：kn12 A i4n1a21kkk【證明】【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 【例 17】【題目來源】【題目】設(shè)a a 2,a n,且各不相同,求證：111a 1a 2a

14、n2n2 22 n【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】 4 習(xí)題演練【練 1】【題目來源】 1986年中國國家集訓(xùn)隊(duì)選拔試題【題目】設(shè)x x 2,2,x 都是實(shí)數(shù) n3,令ppnx,q1ijnx x；求證：i j（1）n1p2q0；（ 2）|x ip|n1i12 nq2nn1n【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】課后兩周習(xí)題【難度系數(shù)】 3 【練 2】【題目來源】【題目】設(shè)a b c 為正實(shí)數(shù),求證：a2b3b2c3c2a3ab1 9abc 8 bc8 ca8【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】課后兩周練習(xí)【難度系數(shù)】 3【練 3】【題目來源】【 題目】設(shè)iaR,0ix1i1,2,n nai1,求證：, 且na ix i11x n a n,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x 1x 2i1x 時(shí)成立；ni11a ax x 1 22【學(xué)問點(diǎn)】其他重要不等式【適用場合】課后兩周習(xí)題【難度系數(shù)】 3【練 4】【題目來源】【題目】設(shè)a b c0,求證：abca4b4c4abc【學(xué)問點(diǎn)】