無窮限反常積分

1、關于無窮限反常積分25.08.20221第一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022210.1 無窮限的反常積分 (積分區(qū)間無限無窮積分)10.2無界函數(shù)的反常積分 (被積函數(shù)無界瑕積分)第十章 反 常 積 分(廣義積分)第二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20223 引 例一、無窮積分的概念二、無窮積分的性質 三、 無窮積分與數(shù)項級數(shù)的關系四、 無窮積分收斂性判別法第三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20224 引例：問題：0 xy1b即這是積分區(qū)間為1，+）的積分。解：由于這個圖形不是封閉的曲邊梯形,而在x軸的正方 向是開口

2、的，第四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20225顯然當b改變時，曲邊梯形的面積也隨之改變，則所求曲邊梯形的面積為1.第五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20226一、無窮積分的概念. 定義:設函數(shù) f (x)在區(qū)間a, +)上連續(xù), 任取b a,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù) f (x)在無窮區(qū)間a, +)上的廣義積分, 記作 (1)第六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20227這時記號 不再表示數(shù)值了。例如：oyxb1這時也稱廣義積分 收斂;若上述極限不存在, 就稱廣義積分 發(fā)散,第七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6

3、月25.08.20228 類似地, 設函數(shù) f (x)在區(qū)間(, b上連續(xù), 取a b,如果極限存在,(2) 這時也稱廣義積分 收斂; 若上述極限不存在, 就稱廣義積分 發(fā)散.即 f (x)在無窮區(qū)間(, b上廣義積分, 記作則稱此極限為函數(shù)第八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20229設函數(shù) f (x)在區(qū)間(, +)上連續(xù), 都收斂, 則稱上述兩個廣義積分之和為函數(shù) f (x)在區(qū)間(, +)上廣義積分.(3)如果廣義積分 記作即第九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202210 這時, 也稱廣義積分 收斂; 否則就稱廣義積分 發(fā)散. 上述三種廣義

4、積分統(tǒng)稱為: 無窮限的廣義積分（無窮積分）.第十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202211解：注: 為方便起見, 把aboxy第十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202212第十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202213解:加第十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202214證: 當 p = 1時 當 p 1時 第十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202215結論類似于p級數(shù)第十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202216練習1.確定下列無窮積分是否收

5、斂，若收斂算出它的值.解：第十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202217第十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202218第十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202219作業(yè)1：下列無窮積分是否收斂？ 若收斂，算出它們的值.作業(yè)2：求下列無窮積分：第十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202220二、無窮積分的性質 （1）、對于無窮限積分也有換元法則.（2）、（3）、（4）、第二十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202221Cauchy收斂原理(準則)： 和無窮級數(shù)類似，反常積分

6、也有絕對收斂和條件收斂的概念：第二十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202222定理：絕對收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對收斂. (見例題8)第二十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202223三、無窮積分與數(shù)項級數(shù)的關系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系知：并且有同一極限值.海涅定理第二十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202224分析:第二十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202225第二十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202226oyx12345第

7、二十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202227四. 無窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:第二十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022282.極限形式:則:第二十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202229.柯西判別法:第二十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022304.極限形式:第三十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202231例4：解：參考函數(shù)第三十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202232例5：解：第三十二張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2

8、022年6月25.08.202233解：加. 討論 的收斂性，根據比較判別法第三十三張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202234例6：解：故由柯西判別法極限形式第三十四張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202235第二中值定理（作用相當于級數(shù)中的阿貝爾變換）有阿貝爾判別法判別法與狄利克雷判別法兩種判別法證明需要用如下中值定理第三十五張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202236特別地利用第二中值定理可以證明A-判別法和D-判別法第三十六張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202237*.阿貝爾判別法了解內容第三十七張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202238例8：證明：由A-判別法知，所討論級數(shù)收斂.第三十八張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202239*.狄利克雷判別法了解內容第三十九張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202240例7：證明：先證明此積分收斂第四十張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202241再證明此積分收斂非絕對收斂第四十一張，PPT共四十四頁，創(chuàng)作于2022年6月