備戰(zhàn)2017高考數(shù)學(xué)（精講 精練 精析）專題10.1 橢圓試題（江蘇版）（含解析）

1、專題1 橢圓【三年高考】1. 【2014江蘇，理17】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率的值.【答案】（1）；（2）【解析】試題解析：（1）由題意，又，解得橢圓方程為（2）直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，又，由得，即，化簡(jiǎn)得2【2013江蘇，理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a0，b0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若，則橢圓C的離心率為_(kāi)

2、【答案】【解析】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線BF的方程為，即bxcybc0.于是可知，.，即.a2(a2c2)6c4.6e4e210.e2.3【2008江蘇，理12】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若過(guò)作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 【答案】【解析】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以O(shè)AP 是等腰直角三角形，故，解得4【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)改編】直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的EQ F(1,4),則該橢圓的離心率為【答案】【解析】試題分析：如圖,由題意得在橢圓中,在中,且,代入解得,所

3、以橢圓得離心率得考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考?？紗?wèn)題,求解此類問(wèn)題的一般步驟是先列出等式,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程,方程兩邊同時(shí)除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程求e .5【2016高考新課標(biāo)文數(shù)改編】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為【答案】考點(diǎn)：橢圓方程與幾何性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】求解橢圓的離心率問(wèn)題主要有三種方法：（1）直接求得的值，進(jìn)而求得的值；（2）建立的齊次等式，求得或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式求解；(3)通過(guò)特殊值或特殊位置，求出6【2016高考北京文

4、數(shù)】（本小題14分）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn).（I）求橢圓C的方程及離心率；（）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.【答案】（）；（）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知a,b的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（）四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線的值求乘積為定值即可.試題解析：（I）由題意得，所以橢圓的方程為又，所以離心率（II）設(shè)（，），則又，所以，直線的方程為令，得，從而直線的方程為令，得，從而所以四邊形的面積從而四邊形的面積為定值考點(diǎn)：橢圓方

5、程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.7【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分)已知橢圓C:（ab0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2.（I）求橢圓C的方程；()過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B

6、.(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值.(ii)求直線AB的斜率的最小值.【答案】() .()(i)見(jiàn)解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 .【解析】試題分析：()分別計(jì)算即得.()(i)設(shè)，利用對(duì)稱點(diǎn)可得 得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得.(ii)設(shè)，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、及用表示的式子，進(jìn)一步應(yīng)用基本不等式即得.試題解析：()設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知，所以，所以橢圓C的方程為. (ii)設(shè)，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，

7、所以 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.此時(shí)，即，符號(hào)題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 .考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式.【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到參數(shù)的解析式或方程是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.8【2015高考新課標(biāo)1，理14】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)

8、方程為 .【答案】【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.9【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程.【解析】（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故.10.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率【解析】 (1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而

9、，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且，則，求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此，于是解得.解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此,從而由,知，因此11.【2015高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過(guò)處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫(huà)出的曲線記為以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（）求曲線C的方程；（）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

10、試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由 【解析】（）設(shè)點(diǎn)，依題意，且，所以，且，即且 由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為 （）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由 消去，可得.因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即. 又由 可得；同理可得.由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得. 將代入得，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.12.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為（I）求橢

11、圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程【解析】（I）過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得，設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.13. 【2014全國(guó)大綱理 6】已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為、，離心率為，過(guò)的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則C的方程為_(kāi).【答案】【解析】因?yàn)锳F1B的周長(zhǎng)為4eq r(3)，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4eq r(3)，所以

12、aeq r(3).又因?yàn)闄E圓的離心率eeq f(c,a)eq f(r(3),3)，所以c1，b2a2c2312，所以橢圓C的方程為eq f(x2,3)eq f(y2,2)1,故選A14. 【2014江西，理15】過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為 【答案】15. 【2014全國(guó)課標(biāo)，理 20】設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直直線與的另一交點(diǎn)為（）若直線的斜率為，求的離心率；（）若直線在軸上的截距為2，且，求，【解析】（）由題意得：，的斜率為， ，又，解之：或（舍）， 故：直線的斜率為時(shí)，的離心率為（）由題意知：點(diǎn)在第一象限，直線的斜率為：，則：；

13、在直線上，得，且，又在橢圓上，聯(lián)立、解得：，16. 【2014天津，理18】設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓相切. 求直線的斜率.（）由（）知，.故橢圓方程為.設(shè).由，有，.由已知，有，即.又，故有. 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故. 由和可得.而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，故，代入得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為，則，進(jìn)而圓的半徑.設(shè)直線的斜率為，依題意，直線的方程為.由與圓相切，可得，即，整理得，解得.所以，直線的斜率為或.【2017年高考命題預(yù)測(cè)】縱觀2016各地高考試題，對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)考查

14、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，為容易題或中檔題，以解答題的第二問(wèn)的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是難題，分值一般為5-12分. 展望2017年高考，對(duì)橢圓的考查，仍重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，以解答題的第二問(wèn)的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，難度仍難題，分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)2017年高考中，要熟記橢圓的定義，會(huì)利用定義解決橢圓上一點(diǎn)與橢圓

15、的焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題，會(huì)根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì)，會(huì)用舍而不求思想處理直線與橢圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)掌握與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、范圍問(wèn)題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用.【2017年高考考點(diǎn)定位】高考對(duì)橢圓的考查有三種主要形式：一是直接考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；二是考查橢圓的幾何性質(zhì)；三是考查直線與橢圓的位置關(guān)系，從涉及的知識(shí)上講，常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系，字母運(yùn)算能力和邏輯推理能力是考查是的重點(diǎn).【考點(diǎn)1】橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【備考知識(shí)梳理

16、】1.橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫焦距，符號(hào)表述為：(). 注意：（1）當(dāng)時(shí)，軌跡是線段.(2)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給定橢圓，要根據(jù)的大小判定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上，焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)坐標(biāo)軸上.(2)橢圓中關(guān)系為：.【規(guī)律方法技巧】1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)橢圓上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用橢圓的定義與正余弦定理去處理.2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法(1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一

17、點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于兩點(diǎn)之間的距離），符合橢圓的定義，該曲線是以這兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，從而求出橢圓方程中的參數(shù)，寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般分三步完成，定性-確定它是橢圓；定位判定中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，解出參數(shù)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.若若橢圓的焦點(diǎn)位置不定，應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，也可設(shè)橢圓方程為，可避免分類討論和繁瑣的計(jì)算.【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知橢圓 的焦距為2,過(guò)M（1,1）斜率為-直線交曲線C于且M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).【答案】【解析】由題知，

18、2c=2，c=1，即，設(shè)A，則=2，=2，-得=0，=-，由解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.2.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)F（2，0）.（）求直線的方程；（）如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【考點(diǎn)2】橢圓的幾何性質(zhì)【備考知識(shí)梳理】1.橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2b2)范圍|x|a；|y|b|x|b；|y|a頂點(diǎn)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)(a,0)，短軸頂點(diǎn)(0，b)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)(0，a)，短軸頂點(diǎn)(b,0)對(duì)稱性曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱離心率eeq

19、f(c,a)(0，1)，其中ceq r(a2b2)2.點(diǎn)與橢圓關(guān)系（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)；（2）點(diǎn)在橢圓上；（3）點(diǎn)在橢圓外.【規(guī)律方法技巧】1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，即使不畫(huà)圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖像.當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2.橢圓取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用.3.求離心率問(wèn)題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為：

20、=.4.橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為.4.橢圓的通徑（過(guò)焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長(zhǎng)度為，是過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得弦長(zhǎng)的最小值.【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2016屆高三上學(xué)期期中考試】橢圓上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)【答案】【解析】橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2. 【2015屆江西省高安中學(xué)高三命題中心模擬押題一】橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為_(kāi) 【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，將其代入橢圓方程可得，化簡(jiǎn)可得，解得【考點(diǎn)3】直線與橢圓的位置關(guān)系【備考知識(shí)梳理】 直線方程

21、與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若判別式0，則直線與橢圓交；若=0，則直線與橢圓相切；若0，則直線與橢圓相離.【規(guī)律方法技巧】1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標(biāo)之和與之積表示出來(lái)，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)2直線ykxb(k0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB| eq r(1k2)|x1x2| eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(1f(1,k2)|y1y2|eq r(1f(1,k2)eq r(y1y224y1y2).3對(duì)中點(diǎn)

22、弦問(wèn)題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法.【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為（）若為等邊三角形,求橢圓的方程;（）若橢圓的短軸長(zhǎng)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且,求直線的方程【解析】（）設(shè)橢圓的方程為根據(jù)題意知, 解得, 故橢圓的方程為（）容易求得橢圓的方程為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),其方程為,不符合題意; 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為由 得設(shè),則 對(duì)任意都成立， ，因?yàn)?所以,即 , 解得,即故直線的方程為或2.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否恒過(guò)一定點(diǎn)，并證明你的

23、結(jié)論【解析】（）由題意可得，所以，即，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（）設(shè)直線的方程為,，則由消整理得， 則，即 直線，即所以，直線恒過(guò)定點(diǎn)【兩年模擬詳解析】 1. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)20152016學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】已知是橢圓：與雙曲線的一個(gè)公共焦點(diǎn)，A，B分別是，在第二、四象限的公共點(diǎn)若，則的離心率是 【答案】【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，為橢圓：與雙曲線的另一個(gè)公共焦點(diǎn)，則由對(duì)稱性知,因此由得2【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測(cè)試】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率為為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)滿足（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的一條直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，直

24、線的斜率之積，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，而，所以代入橢圓方程，得， 又橢圓的離心率為，所以， 由，得，故橢圓的方程為（2）設(shè)，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，即于是，代入橢圓方程，得，即，因?yàn)樵跈E圓上，所以 因?yàn)橹本€的斜率之積為，即，結(jié)合知將代入，得，解得3【淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市2016屆高三第二次調(diào)研】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求橢圓的方程;（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由;（3）若過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1

25、）（2）（3）【解析】（1）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以，又，所以. 又因?yàn)?，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）直線的方程為，由消元得，.化簡(jiǎn)得，所以，. 當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，則. 直線的方程為，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為. （3）因?yàn)椋缘姆匠炭稍O(shè)為，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 由，得 ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為 4【江蘇省南京市2016屆高三年級(jí)第三次學(xué)情調(diào)研適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)】(本小題滿分16分)已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)，P到直線l1：x2的距離為d1，到點(diǎn)F(1，0)的距離為d2，且（1）求橢圓C的方程；（2）

26、如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B(A，B都在x軸上方)，且OFAOFB180（）當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；（）是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論OFA如何變化，直線l總過(guò)該定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y21（2）（）yx1（）(2，0)【解析】（1）設(shè)P(x，y)，則d1|x2|，d2， 化簡(jiǎn)得：y21， 橢圓C的方程為：y21 （2）（）由（1）知A(0，1)，又F(1，0)，kAF1，OFAOFB180，kBF1，直線BF方程為：y1(x1)x1 代入y21得：3x24x0，解得x0或x，B(，).，kAB直線AB的方程為：yx1

27、（）由于OFAOFB180，所以kAFkBF0 設(shè)直線AB方程為：ykxb，代入y21得：(k2)x22kbxb210，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，x1x2 所以，kAFkBF0所以，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)2kx1x2(kb)(x1x2)2b2k(kb)2b0b2k0， 所以直線AB方程為：yk(x2)所以直線l總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2，0)5【2015年高考模擬(南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題)(3)】已知橢圓的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)依次為直線與軸交于點(diǎn)，則取得最大值時(shí)的值為 .【答案】2【解析】由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，又，所以6【揚(yáng)州市20142015學(xué)年度

28、第四次調(diào)研測(cè)試試題高三數(shù)學(xué)】已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),若AFB的周長(zhǎng)為,則橢圓方程為 【答案】【解析】由離心率為可得,橢圓方程可化為：,將代入得,由橢圓對(duì)稱性,AFB的周長(zhǎng)=,可得故橢圓方程為.7【淮安市淮海中學(xué)2015屆高三沖刺四統(tǒng)測(cè)模擬測(cè)試】(本小題滿分16分) 如圖，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)且斜率均為的兩直線分別交橢圓于，又交軸于，交軸于，且與相交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是直角三角形.（1）求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：存在實(shí)數(shù)，使得；求|OP|的最小值. 【答案】(1) (2) =，【解析】(1) 當(dāng)時(shí)，是直角三角形，所以，即 ，而 ，所

29、以，所以橢圓方程為； （2）證明：由（1）可設(shè)直線的方程分別為和，其中0，則，由消去得以上方程必有一根，由韋達(dá)定理可得另一根為， 故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）， 由消去得，解得一根為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），由與平行得，然后，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，而， 存在實(shí)數(shù)=，使得 由 8【2015屆湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)高三第一學(xué)期11月質(zhì)檢】若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為_(kāi) 【答案】【解析】橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，故易得：.9.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且軸，則_.【答案】【解析】由題意，軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，代入橢圓方程可得，10.【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研測(cè)試】已知點(diǎn)是橢圓 上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的