工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)課件5

1、工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)西安交通大學(xué)理學(xué)院hqlee第五章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用第一節(jié) n維Euclid空間點集的初步知識第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性第三節(jié) 多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第四節(jié) 多元函數(shù)的taylor公式與極值問題第五節(jié) 多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用第七節(jié) 空間曲線的曲率和撓率多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-182/21第三節(jié)第二講方向?qū)?shù)與梯度高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分習(xí)題5.318，20，21，22，26(2)多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-183/21一、方向?qū)?shù)與梯度1.方向?qū)?shù)n , l是R n中某一向量，與l方向一致的設(shè)0向量為

2、elx 0R nx0: UR元函數(shù)elx0 tel f ( x0 )flimt 0存在,若ttelx0方向?qū)?shù).則稱此極限值為 f在點0處沿 方向的記作f （l0）.，或lx0多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-184/21fltelxf(0 )方向?qū)?shù)與梯度0limtt 0 x0二元函數(shù)的方向?qū)?shù)2e (cos ,sin )( x ,若(y 為二元函數(shù)00lt cos , y0t sin ) f(, y ) lim0ltt 0)若 在(, y可微00( x , y )t cos )t sin (t ) lim f xf y ( x, yt, yt 0( x t cos , yt sin

3、)00, y )cos )sinyf x ( xf y( xel g el( xy記g (fxy ),fxy )ox00y00 x多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-185/21在(y在(y定理設(shè)函數(shù)處可微，則處l的方向?qū)?shù)存在, 且沿任意方向(f ) sgin e,f)xycosf(xy,x00y00ll00)其中elcossin是與l方向一致的 ,向量.g( (注：(1)定理給出了方向?qū)?shù)的計算公式；x y ),fx( y)x 00y 00el( xy2()當l與的方向一致時，方向?qū)?shù)最大即 的值在（ ，y )沿g的方向增大的最快.多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-186/21方

4、向?qū)?shù)的幾何意義z = f (x,y)z設(shè) ( xy 為二元函數(shù)MNQfl方向?qū)?shù))00( xy是曲面在點( xy0沿 的變化率0 xy(x0,y0)即半切線MNPtan 的斜率xl多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-187/210 n處可微推廣：f ( x ,設(shè)0 x1元函數(shù) 0g(),向量,l 是與 方向一致的xn0處沿任意方向 l的方向?qū)?shù)存在 , 且則 在ullx0多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-188/212.梯度( x f設(shè)在點x0處可微，則稱向量1n00()x1xn0的梯度向量，簡稱梯度，記為gradxf，即()為或在點00gradxf( ) (00)00 x1xn

5、(,稱為向量微分算子。1n例如f ( f ,1則 f f1 f2 fnnx1ex2xnu e gradu lll多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-189/21求函數(shù)z xe2 y 在點P(1,例 1處沿從點到點Q(2 P(1,)的方向的方向?qū)?shù). 11, 1 e,2 P解l2zzy e2 y;1 2 xe2 y,2x (1,(1,(1,(1,所求方向?qū)?shù)z112 .1 (2) l222(1,多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1810/212在(1,1)沿 0(cos ,sin )的方向?qū)?shù)例2 求z x2 xy ,方向?qū)?shù)最大 ;在怎樣的方向上并求在怎樣的方向上向上,方向?qū)?shù)最小

6、;在怎樣的方,方向?qū)?shù)為零z z (解gradz,1,1)x y(1,(1,z z cos z sin cos，）sin xly（，）當 grad當 grad在 grad（1，1）時,方向?qū)?shù)最大 （1，1）時, 方向?qū)?shù)最小；的方向上,方向?qū)?shù)為零.多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1811/21求函數(shù)u xyz 2y y 6z在例3點,(0 0,)梯度的模和方向余弦 , 在哪些點處的梯度為.0grad u x y y x ,z ,解 3 gradu(,0,00)gradu9 4 6 ,(0 0,)cos 2 ,cos 6 .cos 3 ,7gradu 077令z 0 0 0 x 2

7、y 1在點(,21,1)處梯度為.0z 1即多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1812/21梯度的運算法則設(shè),為任意常數(shù)，函數(shù)，f均可微，則1)grad(C u C v) C1gradu C2gradv2)grad(uv ) vgradu gradgrad3)grad u vgradu v v 2)grad4)gradf (u) f ( x, yz) 則證2）以三元函數(shù)為例。設(shè)uvuvuv uuu vvv v, u, xyzxyz xyz 多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1813/21例4 在（，0）處的點電荷所產(chǎn)生的 電場中，任一點M處q的電位u rr求u的梯度gradu4 r

8、qrq1電場強度E 解gradu grad ( ) 4r4r 3q1q41xryz(r ) (grad(,)224rrrrq4( 1q4( 1 )r, z) ( E3r 3r即gradu的方向與E的方向相反，從而與 r的方向相反即沿 r方向，u的增長最快。多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1814/21二、高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分1、高階偏導(dǎo)數(shù)x的偏導(dǎo)數(shù) fx元函數(shù) f ( x ,在點x 處如果1n0 xi對變量xj的偏導(dǎo)數(shù)存在， 則稱這個偏導(dǎo)數(shù)為在點0先對i再對j的 二階偏導(dǎo)數(shù)。 記為 2)(0 )或0()或xxxjiij0ji0類似的，可以定義n階偏導(dǎo)數(shù)。多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分20

9、11-3-1815/21高階偏導(dǎo)數(shù)z f ( x ,)在(y的二階特別的，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)有個 z 2z z 2z x x zxx zxyx2y x z 2z z 2z x y zyx zyyy y y2 2 z 2 z 2 z設(shè)z xsin( x例532), 求 ,2x多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1816/21 xy,0y 設(shè) (0,(0,求和例6xyyxy 0 x4 42 y y 解 (0,0)時,)(x (222) ,ff (0,0) lim f ( x0,(0 0 xxx0 lim y 1, y) f(0,0) lim fxfx,0)yxyy0yy0f(0,0) lim f

10、y ( x,f y (0,.1同理yxxx0 2z 2zzz ,(,若都在點連續(xù) 則定理多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1817/212、高階全微分x 在區(qū)域 R n內(nèi)每一點均可微時，當函數(shù)則在內(nèi)u的全微分為ffnndu xdx是x的函數(shù)iixxi 1i 1ii2u 再對u的 二階全微分，記作求全微分，就稱為.類似的，可以定義n1d nu dn階全微分( xy為簡明起見，導(dǎo)出二階全微分僅以二元函數(shù)為例2的表達式 .多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1818/21高階全微分連續(xù)，則由du fxdx f ydy設(shè)f的各階偏導(dǎo)數(shù)都存在且再求全微分d2u 2dxdy 22dfdxffdy

11、二階全微分xxxyyy引進運算符號2 2 2 2dy2 dy dx2 2dxdy dx x2y2 xy2 則 y dx 2 xy一般地，不難驗證n nn i 0n y Cidyndx dxf xn ny多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1819/21小結(jié)1.方向?qū)?shù)fltelxf(0 )0lim定義tt 00f計算公式可微,則若 在0ll)00的值在 0沿g的方向增大的最快.) 0 ) (00grad ()2.梯度0 x1xn3.高階偏導(dǎo)數(shù)4.高階全微分多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1820/212 yz 在點 P (1, 1, 1) 沿方向0練求函數(shù)l : (2, -1, 3 ) 的方向?qū)?shù) .向量 l 的方向余弦為解2 1 ,3cos , cos cos ,14x142 z,142yzyyxuy (,1,11) ,1uz (,1,11) 1,ux (,1,11) 2, u36 l14P0多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2011-3-1821/21其中r y r2 為點xf rxy, z)練習(xí)2.(