高代課件濰坊學(xué)院7章

1、第七章 線性變換 7 不變子空間一、 不變子空間的概念 二、 線性變換在不變子空間上的限制三、 不變子空間與線性變換的矩陣化簡(jiǎn)四、 線性空間的直和分解7 不變子空間第七章 線性變換 7 不變子空間設(shè) 是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的 的子空間，若 有則稱W是的不變子空間，簡(jiǎn)稱為 子空間. V的平凡子空間（V及零子空間）對(duì)于V的任意一個(gè)變換 來(lái)說(shuō)，都是 子空間. 一、不變子空間1、定義注：第七章 線性變換 7 不變子空間1）兩個(gè)子空間的交與和仍是子空間.2）設(shè) 則W是 子空間證： 顯然成立.任取 設(shè) 則 故W為 的不變子空間.2、不變子空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)由于 第七章 線性變換 7 不變子空間

2、1）線性變換 的值域 與核 都是 的不變子空間.證： 有 故 為 的不變子空間.又任取 有3、一些重要不變子空間也為 的不變子空間. 第七章 線性變換 7 不變子空間2)若 則 與 都是 子空間. 證： 對(duì)存在 使于是有， 為 的不變子空間. 其次，由 對(duì) 有 第七章 線性變換 7 不變子空間于是 故 為的不變子空間. 的多項(xiàng)式 的值域與核都是 的不變子空間.這里為 中任一多項(xiàng)式.注：第七章 線性變換 7 不變子空間4）線性變換 的特征子空間 是 的不變子空間. 有 5）由 的特征向量生成的子空間是 的不變子空間. 證：設(shè) 是的分別屬于特征值 的特征向量. 3）任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空

3、間. 任取設(shè)則 為 的不變子空間. 第七章 線性變換 7 不變子空間事實(shí)上，若 則 為 的一組基.因?yàn)閃為 子空間，即必存在 使是 的特征向量. 特別地，由的一個(gè)特征向量生成的子空間是一個(gè)一維 子空間. 反過(guò)來(lái)，一個(gè)一維 子空間必可看成是 的一個(gè)特征向量生成的子空間. 注：第七章 線性變換 7 不變子空間二、 在不變子空間W引起的線性變換定義：不變子空間W上的限制 . 記作 在不變子空間W上引起的線性變換，或稱作在 設(shè)是線性空間V的線性變換，W是V的一個(gè)的 不變子空間. 把 看作W上的一個(gè)線性變換，稱作第七章 線性變換 7 不變子空間 當(dāng) 時(shí)， 任一線性變換在它核上引起的線性變換是零 變換,

4、即即有 注：當(dāng) 時(shí)， 無(wú)意義. 在特征子空間 上引起的線性變換是數(shù)乘變換，第七章 線性變換 7 不變子空間1、設(shè)是維線性空間V的線性變換，W是V 的子空間， 為W的一組基，把它擴(kuò)允為V的一組基：若 在基 下的矩陣為 ，則 A 在基 下的矩陣具有下列形狀: 三、不變子空間與線性變換的矩陣化簡(jiǎn)第七章 線性變換 7 不變子空間反之，若 則由 生成的子空間必為 的不變子空間. 事實(shí)上，因?yàn)閃是V的不變子空間. 即， 均可被線性表出.第七章 線性變換 7 不變子空間從而設(shè)第七章 線性變換 7 不變子空間 在這組基下的矩陣為 若 ，則 為V的一組基，且在這組基下 的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角陣 2、設(shè) 是 維線性空間V

5、的線性變換， 都是 的不變子空間，而 是 的一組基，且 （1） 第七章 線性變換 7 不變子空間的子空間 為 的不變子空間，且V具有直和分解： 由此即得：下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角矩陣(1), 則由生成 V 的線性變換 在某組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形V可分解為一些 的不變子空間的直和.反之，若 在基第七章 線性變換 7 不變子空間定理12：設(shè) 為線性空間V 的線性變換， 是 四、線性空間的直和分解是 的特征多項(xiàng)式. 若 具有分解式： 并設(shè)則都是A 的不變 子空間；且V 具有直和分解：第七章 線性變換 7 不變子空間證：令則 是 的值域，是 的不變子空間. 又 （2）記第七章 線性變換 7 不變子空間下證分三步： 證明 存在多項(xiàng)式 使 則 對(duì) 有 第七章 線性變換 7 不變子空間這里 第七章 線性變換 7 不變子空間其中( 也即，)，則 存在 使 于是 (3) 即證，若證明是直和.第七章 線性變換 7 不變子空間用 作用（3）的兩端，得 又 第七章 線性變換 7 不變子空間從而 所以是直和. 有多項(xiàng)式 ，使第七章 線性變換 7 不變子空間證明:首先由