哈爾濱中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu))

1、一.圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O0,對角線&C為O0的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB,DF.求證：DF是O0的切線；若D3平分Z.ADC,AB=血AD:DE=4:1,求DE的長.【答案】見解析;(2)巧【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用ADC&CE,得出AC2=AD*AE,進而得出答案.詳解：(1)連接0D.OD=CDZODC=ZOCD.AC為OO的直徑,AZADC=ZEDC=90點

2、F為CE的中點，DF二CF二EF,ZFDC=ZFCD9:.ZFDO=AFCO又TAC丄CE,ZFDO二ZFCO二90,DF是OO的切線(2)/AC為OO的直徑,/.ZADC=ZABC=90DB平分ZADC.ZADB二ZCDB,.AB二BC，二BC=AB=52在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=100又TAC丄CE,ZACE=904CAEADCfACE,-=,AC2=ADAEADAC設(shè)DE為x,由AD：DE=4：1,AD二4x,AE=5x,100=4x*5x,.e.x=yfs9-DE=yfs點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=adae是解題的關(guān)鍵.2.

3、如圖，在OO中，直徑AB丄弦CD于點E,連接AC,BC,點F是弘延長線上的一點，且ZFCA=AB.40【答案】見解析;AB=20,CF=y【解析】分析：（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理證明OC丄CF即可；（2）通過正切值和圓周角定理，以及ZFCA=ZB求出CE、BE的長，即可得到AB長，然后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出OE的長，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似（或射影定理）證明OCE-CFE,即可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例求解.詳解：證明：連結(jié)OCAB是O0的直徑ZACB=90ZB+ZBAC=90OA=OCZBAC=ZOCAZB=ZFCAZFCA+ZOCA=90即ZOCF=90c在O0CF是OO

4、的切線AE（2）TAE=4,tanZACD=一EC2CE=8直徑AB丄弓玄CD于點EAD=ACZFCA=ZBZB=ZACD=ZFCAZEOC=ZECACE1tanZB=tanZACD=BE2BE=16AB=20OE=AB2-AE=6CEABZCEO=ZFCE=90OCE-CFEOCOECFCE“106即=CF8CF$3點睛：此題主要考查了圓的綜合知識，關(guān)鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識求解，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的突破點，有一定的難度，是一道綜合性的題目3.如圖AB是ZkABC的外接圓OO的直徑，過點C作O0的切線CM,延長BC到點D,

5、使CD二BC,連接AD交CM于點E,若OOD半徑為3,AE=5,求證：CM丄AD；求線段CE的長.【答案】（1）見解析；（2）y/5【解析】分析：（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可.詳解：證明：（1）連接0CCM切30于點C,ZOCE=90,AB是O0的直徑，ZACB=90,CD二BC,AC垂直平分BD,AB二AD,ZB=ZDZB=ZOCBZD=ZOCBOCIIADZCED=ZOCE=90CM丄AD(2)/OA=OB,BC=CD10C=-AD2AD=6DE=AD-AE=1易證CDEAA

6、CECEDEfteAECECE2=AExDECE=V5點睛：此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，靈活判斷邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵，是中檔題.4.已知，如圖：0為x軸上一點，以6為圓心作OOi交x軸于C、D兩點，交y軸于M、N兩點,ZCMD的外角平分線交OOi于點E,AB是弦，且ABIICD,直線DM的解析式為y=3x+3.（1）如圖1，求30】半徑及點E的坐標.（2）如圖2,過E作EF丄BC于F,若A、B為弧CND兩動點且弦ABIICD,試問：BF+CF與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明.（3）在（2）的條件下，EF交OOi于點G,問弦BG的長度是否變化

7、？若不變直接寫出BG的長（不寫過程），若變化自畫圖說明理由.【答案】（1）r=5E（4,5）（2）BF+CRAC（3）弦BG的長度不變，等于5忑【解析】分析：（1）連接ED、EC、EOi、MOi,如圖1,可以證到乙ECD=ZSMENEMC=ZEDC,從而可以證到ZEOiC=90。.由直線DA4的解析式為y=3x+3可得0M=3.設(shè)OOi的半徑為r.在RtAA4001中利用勾股定理就可解決問題.（2）過點6作0屮丄EG于P,過點0作0Q丄BC于Q,連接E0】、DB,如圖2.由ABWDC可證到BD=AC,易證四邊形OiPFQ是矩形，從而有0iP=FQ,ZPOiQ=90,進而有ZF0P=ZC0iQ,

8、從而可以證到EP0岸CQOl,則有P0尸Q0根據(jù)三角形中位線定理可得FQ=-BD.從而可以得到BF+CF=2FQ=AC.2（3）連接EOi,ED,EB,BG,如圖3.易證EFWBD,則有ZGEB=ZEBD,從而有BG=ED也就有BG=DE.在RtAE01D中運用勾股定理求出ED,就可解決問題詳解：（1）連接ED、EC、EOi、MOi,如圖1.ME平分ZSMC,ZSME=AEMC.ZSME=AECD,ZEA4C=ZEDC,:.ZECD=ZEDC,:.ZEOCZEOiD+ZEOiC=180%/.ZE0iD=ZEOiC=90.直線DM的解析式為尸3x+3,點M的坐標為（0,3）,點D的坐標為（-1,

9、0）,00=1,0M=3.設(shè)O0的半徑為r,則M0訐D01W.在RtAMOOr中，(廠-1)2+32二r2.解得：r=5,/.00i=4,E0i=5,/.OOi半徑為5,點F的坐標為(4,5).BF+CF=AC.理由如下:過點6作6P丄EG于P,過點6作6Q丄BC于Q,連接EOi、DB,如圖2.：ABWDC,/.ZDCAABAC.AD=BC,：.BD=AC*BD二ACOlP丄EG,OiQ丄BC,EF丄BF9/.ZOiPF=ZPFQ=ZOiQF=90,四邊形6PFQ是矩形,OiP二FQ,ZPOiQ=90,/.ZEOiP=90-ZPOiC=ZCOiQZEOlP=ZCOlQ在厶EP01和厶CQ01中

10、，ZEPOl=Z-CQOy,O.E=O.CEPO岸CQOnPO訐Q0FQ二QOi.QOl丄BC,BQ二CQ11C0i=D0i9OiQ=BDf.FQ二BD.2BF+CF二FQ+BQ+CF二FQ+CQ+CF=2FQ,BF+CF二BD二AC.連接EOi,ED,EB9BG,如圖3/DC是OOi的直徑，/.ZDBC=90/.ZDBC+ZF8=180,/.EFWBD,ZGEB=ZEBD,BG二ED，-BG二DE.TDOl=EOi=59EOi丄DODE=5BG=5,.弦BG的長度不變，等于5近.圖2圖3點睛：本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定

11、與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性比較強，有一定的難度.而由ABWDC證到AC=BD是解決第(2)小題的關(guān)鍵，由EGWDB證到BG=DE是解決第(3)小題的關(guān)鍵.已知A(2,0),B(6,0),CB丄x軸于點B,連接AC畫圖操作：(1)在y正半軸上求作點P,使得ZAPB=ZACB(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)理解應(yīng)用：在(1)的條件下，若tanZAPB=丄，求點P的坐標2當點p的坐標為時，zAPB最人拓展延伸：4若在直線y=jX+4上存在點P,使得ZAPB最人，求點P的坐標【答案】圖形見解析(0,2),(0,4)(0,23)4CB=tanZAPB=-=TA(2,0

12、),B2BC(6,0),:.AB=4,BC=8,C(6,8),:.AC的中點K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于p和p，易知p(0,2),P(0,6).當OK與y軸相切時，乙APB的值最人，此時AK=PK=4,AC=8,ylAC2-AB2/3，C(6,4*),K(4,2近),AP(0,23)故答案為：(0,2*)4(3)如圖3中，當經(jīng)過AB的園與直線相切時，ZAPB最大.直線y=-x+4交x軸于M(-3,0),交y軸于N(0,4)JMP是切線MP?二MP=3書,作PK丄04于K.O/VIIPK,=PKMKNM4_3丄12的9/-rixMPPKMK3V55嚨琴,5琴3,點睛：本題考查

13、了一次函數(shù)綜合題、直線與圓的位置關(guān)系、平行線的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線解決問題，學(xué)會構(gòu)造輔助圓解決最人角問題，屬于中考壓軸題如圖，ZkABC是OO的內(nèi)接三角形，點D,E在O0上，連接AE,DE,CD,BE,CE,ZEAC+ZBAE=180%AB=CD判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；求證：ABE雯DCE；(3)若ZEAC=60,BC=8,求OO的半徑.【答案】(1)BE=CE,理由見解析；(2)證明見解析；(3)土.3【解析】分析：(1)FhA、B、C、E四點共圓的性質(zhì)得：ZBCE+ZBAE=180,貝ijzBCE=ZEAC,

14、所以BE=CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明AABE雯DCE；(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明RtAGBORtAHBO(HL),則ZOBH=30，設(shè)OH=x,則0B=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：解：BE=CE,理由：ZEAC+ZBAE=180,ZBCE+ZBAE=180,ZBCE=ZEAC,-BE=CE，:.BE=CE：證明：J=AB=CD,BE=CE，AEED*AE=ED,由(1)得：BE=CE,在厶ABE和厶DCE中,AE=DEvAB=CD,BE=CEABE竺DCE(SSS)；解：如圖，過O作OG丄BE于G,OH丄BC于H,11BH=-BC=-x8=4

15、,BG=-BE,22BE二CE,ZEBC=ZEAC=60,BEC是等邊三角形，BE=BC,BH=BG,OB=OBRtAGBO仝RtAHBO(HL),1ZOBH=ZGBO=-ZEBC=3O%2設(shè)OH二x,則0B=2x,由勾股定理得:。的半徑為半E/.0B=2x=/I,3點睛：本題是圓的綜合題，考查了四點共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30。的性質(zhì)，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應(yīng)邊相等的結(jié)論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵.7.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADIIBC.點E為CD邊上一點，AE與BE分別為ZDAB和ZCBA的平分線.（1）請你添加

16、一個適當?shù)臈l件,使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點0,并以AB為直徑作O0（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，O0交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,4sinZAGF=t,求OO的半徑.D弓C【答案】（1）當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（2）作出相應(yīng)的圖形見解析；（3）圓0的半徑為2.5.【解析】分析：（1）添加條件AD=BC,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗證即可；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內(nèi)角

17、互補，再由AE與BE為角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到ZAGF=ZAEB,根據(jù)sinZAGF的值，確定出sinZAEB的值，求出AB的長，即可確定出圓的半徑.詳解：（1）當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由為：證明：TADIIBC,AD=BC,四邊形ABCD為平行四邊形；故答案為：AD=BC：（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示;ZDAB+ZCBA=180%AE與BE分別為ZDAB與ZCBA的平分線,ZEAB+ZEBA=90,ZAEB=90,TAB為圓0的直徑，點F在圓0上，ZAFB=90ZF

18、AG+ZFGA=90,AE平分ZDAB,ZFAG=ZEAB,ZAGF=ZABE,AEsinZABE=sinZAGF=,ABAE=4,AB=5,則圓O的半徑為2.5.點睛：此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.&在直角坐標系中，0為坐標原點，點A坐標為（2,0）,以O(shè)A為邊在第一彖限內(nèi)作等邊AOAB,C為x軸正半軸上的一個動點（002）,連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊ABCD,直線DA交y軸于E點.（1）求證：OBC雯ABD（2）隨著C點的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理

19、由；若不變，請求出直線AE的解析式.（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點F,當C點運動到何處時，直線EFII直線BO；這時OF和直線BO的位置關(guān)系如何？請給予說明.(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y=V3x-2：(3)C點運動到(0)處時，直線EFII直線BO；此時直線BO與OF相切，理由見解析.【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB,BC=BD,ZOBA=ZDBC,等號兩邊都加上ZABC,得到ZOBC=ZABD,根據(jù)SAS得到OBQABD.(2)先由三角形全等，得到ZBAD=ZBOC=60由等邊BCD,得到ZBAO=60%根據(jù)平角定義及對頂角相等得到ZOAE=60

20、在直角三角形OAE中，由OA的長，根據(jù)tan60。的定義求出OE的長，確定出點E的坐標，設(shè)出直線AE的方程，把點A和E的坐標代入即可確定出解析式.(3)由EAIIOB,EFIIOB,根據(jù)過直線外一點作已知直線的平行線有且只有一條,得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點，又F為BC的中點，得到A為OC中點，由A的坐標即可求出C的坐標；相切理由是由F為等邊三角形BC邊的中點，根據(jù)三線合一得到DF與BC垂直，由EF與OB平行得到BF與0B垂直，得證.【詳解】(1)證明OAB和厶BCD都為等邊三角形，OB=AB,BUBD,ZOBA=ZDBC=60,ZOBA+ZABC=ZDBC+ZABC,即ZOB

21、C=ZABD,在厶08（2和厶ABD中，OB=AB/T直線AE的解析式為：)，=/衣-2石.(3)C點運動到(4,0)處時，直線EFII直線BO：此時直線BO與OF相切，理由如下:ZBOA=ZDAC=60,EAII0B,又EFIIOB,則EF與EA所在的直線重合，點F為DE與BC的交點，又F為BC中點，A為OC中點，又AO=2,則004,當C的坐標為(4,0)時，EFII0B,這時直線B0與OF相切，理由如卞：BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點，DF丄BC,又EFII0B,FB丄OB,A直線B0與OF相切,【點睛】本題考查了一次函數(shù)：三角形全等的判定與性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.9.對于平面直角坐標系xoy中的圖形P,Q,給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果A4,N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P,Q間的非常距離，記作d(P,Q).已知點A(4,0),B(0,4),連接AB.d(點0,AB)=_；OO半徑為r,若d(OO,AB)=0,求r的取值范圍；點C(-3,-2),連接AC,BC,07的圓心為T(t,0),半徑為2,d(07,ABC),且0d2,求r的取值范圍.片654321