數(shù)字信號處理第12講例題

1、一例題例1、 直接計(jì)算下面兩個序列的卷積和 n0 n N 1其他nh(n) 0 n n 0 nnx ( n ) 0n n 0 0用公式表示。分析：1、卷積求和式中m是啞元(n看作參量)，結(jié)果中n是變量。2、分為四步：翻褶(m)，移位(n)，相乘，相加。求得一個n的y(n)值。3、在n的不同時間段上求和范圍不同，要分段求解。解：y ( n ) x ( n ) h ( n ) x ( m ) h ( n m）m （1）當(dāng) n n0時，y(n)=0。 n n0N 1 兩序列部分（2）當(dāng) n0。因而nnm n0m n0 n my ( n ) x ( m ) h ( n m ) m n0n0n 1nm

2、n n0 n n01 m n0 n 1 n0n 1 n0 y(n) nn0 (n 1 n ) 0當(dāng) n n0 N 1時，兩序列全，因而nx m h n m y ( n ) m n Nn 1nmm n 0 n mnn 0m n N 1m n N 1n 1n N 1 n n 01 NN n 1 n 0 Ny(n) N nn0 例2、判斷下列序列是否周期性的若是周期性的確定其周期。x(n) A cosn 37（1）85 n 8jx(n) e（2）x ( n ) A cos( 0 )分析：當(dāng)當(dāng)?shù)闹芷谛耘袛喾椒?，則x(n)的周期為N；220為整數(shù)時，如2 0 N0為有理數(shù)時，如 2 P Q，（P、Q為互

3、素的整數(shù)，則x(n)0的周期為P；2 0（3）當(dāng)為無理數(shù)時 ，則x(n)為非周期序列。x (n ) A cos( 3 n )解：（1）由7820 237143所以x(n)是周期性的，周期為14。（2）由x ( n ) e 5 n 8j ) co s( 5 n) j sin ( 5 n88 co s( 5 n ) j sin ( 5 n )8820 28 58是無理數(shù)，5所以x(n)是非周期序列。y(n) x(n)2例3、判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)、是否為移不變系統(tǒng)。分析：利用定義來判斷：（1）線性：滿足可加性和比例性：Ta1 x1 (n) a2 x2 (n) a1Tx1 (n) a2Tx2 (n)

4、（2）移不變性：輸入和輸出的移位相同：Tx(n m) y(n m)y(n) x(n)2解：由y (n) Tx (n) x (n)2，111a(n) b(n) ax (n)2 bx (n)21212而T ax (n) bx(n) ax (n) bx (n)21212ax (n)2 bx (n)2 2abx (n) x (n)1212即Tax1 (n) bx2 (n) ay1 (n) by2 (n)所以，系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。又因?yàn)門x(n m) x(n m)2 , y(n m) x(n m)2即Tx(n m) y(n m)所以系統(tǒng)是移不變系統(tǒng)。例4、對系統(tǒng)N 1y(n) k x n k , 其中0

5、,1 ,N 1為常數(shù).k 0抽樣響應(yīng)h(n),并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？穩(wěn)定的條件是什么？求其分析（1）當(dāng)線性移不變系統(tǒng)的輸入為(n)， 其輸出h(n)稱為抽樣響應(yīng)，h(n)=T(n)抽樣響應(yīng)，可用即（2）已知線性移不變系統(tǒng)的來判斷穩(wěn)定性。n p h(n)根據(jù)抽樣序列的性質(zhì)，0 n N 1其它h(n) n0N 1S n n0 0 ,1,N 1為常數(shù).h(n)由此得因?yàn)閚所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例5、以下序列是系統(tǒng)的抽樣響應(yīng)h(n)，判斷該系統(tǒng)是否因果的、穩(wěn)定的。 1 u(n)u(n) 1n!n3 u(n)（1）（2）（3）（4）3 u(n)nn2 n 3（5）n p h(n)分析：已知線性移不變系統(tǒng)的來判

6、斷穩(wěn)定性。抽樣響應(yīng)，可用h(n) 0, n 0，判斷因果性。用解：（1）當(dāng)n0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果的。因?yàn)?h(n)1n 2102112n 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。n 0（2）當(dāng)n0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果的。因?yàn)?1 1 1 11h(n) 1n!0!1!21321nn0所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（3）當(dāng)n0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果的。因?yàn)閚 n 0 30 31 32 3nh (n )所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）當(dāng)n0時，h(n) 0，所以系統(tǒng)是非因果的。因?yàn)閚0h(n) n 3 2 31 32 303n所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5）當(dāng)n0時，h(n) 0，所以系統(tǒng)是非因果的。因?yàn)閔(n) (

7、n 3) 1 nn所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例6、有一理想抽樣系統(tǒng)，抽樣角頻率為s 6 ，抽樣后經(jīng)理想低通濾波器還原，其中 31H ( j) 2a 30現(xiàn)有兩個輸入 x1(t) cos(2 t); x2 (t) cos(5 t) ，輸出信號y1(t), y2 (t)有無失真？為什么？分析： 要想時域抽樣后能不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大f s2f h于2倍信號譜的最高頻率 ，即滿足解：根據(jù)奈定理： 2 3h1x (t ) cos 2 ty1 (t)由，頻譜中最高角頻率，所以1無失真。 5 3h1y2 (t)x 2 (t ) co s 5 t由，頻譜中最高角頻率，所以有失真。二Z變換 例題重要概

8、念：連續(xù)系統(tǒng)：變換變換變換Z變換離散系統(tǒng)：重點(diǎn)：Z變換收斂域， 零極點(diǎn)的概念，Z變換的基本性質(zhì)取樣響應(yīng)h(n)的Z變換-系統(tǒng)函數(shù)和定理，H (z) h(n)Z nn與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。例1求以下序列的Z變換，并求出對應(yīng)的零極點(diǎn)和收斂域：x(n) a n , a 1（1）nx(n) 1u n（2）（3）2 nx(n) u n 112x(n) 1 , n 1n（4）分析： Zx(n) x(n)zn中，n的取值范圍是n的有值范圍，z變換的收斂域是滿足x(n)zn M 的z值范圍。n解：（1）由z變換的定義可知：X (z) a n zn1 an zn an znnnn0 n1 az 1an zna

9、n zn1 az1 an0z1 a2(a2 1)z(1 az)(1 az1)a(z 1 )(z a)aa 1且 1 即z 1 aaz a z收斂域?yàn)閦 a, z 1az 0, z 極點(diǎn)為零點(diǎn)為（2）由z變換的定義可知：X (z) 1 nnnznu nz1122z1112nn0 1,即 z收斂域?yàn)椋? 1122zz 12極點(diǎn)為z 0零點(diǎn)為：（3）由z變換的定義可知：X (z) n n11 u n 1 znnnz n1212n 2z 12n zn1 2z1z112 1即 z2z12收斂域?yàn)閦 0z 12極點(diǎn)為零點(diǎn)為Xz z n（4）由z變換的定義可知：1nn1 (zn1) 1, z dX z 1

10、(n)z n11dznz z2n1n1X (z) ln z ln(1z) ln()z z1 1z與 dX z X (z)X (z)的收斂域相同，所以的收斂域是dzzz 0, z 1極點(diǎn)零點(diǎn)例2 假如 x(n)的z變換表示式為下式，問X (z)可能有多少不同的收斂域，它們分別對應(yīng)什么序列？z211X (z) 41z2 1z2 z1154384分析：有限長序列的收斂域?yàn)? , n1 n n2z0 , n1 0特殊情況：z右邊序列的收斂域?yàn)?Rx-|z|Rx-|z|;因果序列左邊序列的收斂域?yàn)?0 Rxz特例0 R, n n 0zx2 RxRxz雙邊序列的收斂域?yàn)橛腥N收斂域：圓內(nèi)，圓外，環(huán)狀。z

11、0, z （需單獨(dú)。）解：對X(z)的分子和分母因式分解，得1z1 1z1 1122X (z) z1 zz21jz1 1jz1 1z1 1212 3 4從上式得出，X(z)的零點(diǎn)為 1/2, 極點(diǎn)為j/2, -j/2, -3/4。所以 X(z) 的收斂域?yàn)椋簔（1）為雙邊序列。1234z12（2）為左邊序列 。（3）z3 4為右邊序列 。例3用長除法，留數(shù)定理法，部分分式法求下列X z 的z反變換。z111X (z) 2 , z12z2114分析：長除法：對右邊序列，分子分母都按z的降冪排列。對左邊序列分子分母都按z的升冪排列。部分分式法：若X(z)用z的正冪表示，則按X(z)/z寫成部分分式

12、，然后求各極點(diǎn)的留數(shù)，最后利用已知變換關(guān)系求z反變換x(n)。 z z X (z)zn（3）留數(shù)定理法：Re s( X (z)zn1)z zkz zkk1( z zk( z zk )抵消。要化成的形式與)圍線內(nèi)極點(diǎn)留數(shù)時不取 “”，圍線外極點(diǎn)留數(shù)時要取 “”，解：（）長除法z1111X (z) 2,z2z1111412，故x(n)為因果序列 ，所以分子分z1可知極點(diǎn)z=1/2，而收斂域?yàn)?z1母按降冪排列。1z21214z11112z1112z112即nn0z1z2znX (z) 1x(n) 12121412nu(n)所以：1czn1dzx(n) 1 2 j（b）留數(shù)定理法：11z12設(shè)為z內(nèi)

13、的逆時針方向閉合曲線。12n 0 時當(dāng)11zn1zn1z 1z1122在內(nèi)有1/2一個單極點(diǎn)，則znnx(n) Re s , n 012 z 12z 12又因?yàn)閤(n)是因果序列，故n0z時x(n)=0，問相應(yīng)的定理是什么？一個序列x(n)，其Z變換為X (z) 12X(z)的收斂域包括圓，試求其x(0)值。分析：求如何由雙邊序列z變換X(z)求序列初值x(0)。把序列分成因果序列和反因果序列兩部分（它們求初值的表達(dá)式不同），分別求x(0)將兩部分的x(0)相加即得所求。解：當(dāng)序列滿足n0，x n =0時有0X (z) x(n)zn x(0) x(1)z x(2)z2nlim X (z) x(

14、0)所以有z0若序列x(n)的z變換為 7 zX (z) 12241z1 z2(z 2)(z 1 )522zz114 3 X(z) X(z)12z 2z 12所以X(z)的極點(diǎn)為z 1=2， z 2=1/2由題知，X z 的收斂域包括圓，則其收斂域?yàn)閦 212因而，x1 (n)為n 0時有值的左邊序列， x2 (n)為n 0 時有值的右邊序列。則z1x (0) lim X z lim 0411z2z 0z 0z1x (0) lim X(z) lim31322z 12zz得x2 (0) 13x1(n)和x2 (n)例5y(n)與另兩個信號一的關(guān)系是y(n) x1(n3) x2 (n1)x (n)

15、 ( 1 )n u(n), x (n) ( 1 )n u(n)其中已知12a231anu(n) , z1 az1利用Z變換的性質(zhì)求y(n)的z變換Y(z)。分析x(n) X (z),x(n) X (z1)（1）移位定理x(n m) zm X (z1)x(n m) zm X (z)（2）時域卷積定理y(n) x1(n) x2 (n)則Y (z) X1(z) X 2 (z)解：根據(jù)題目條件11x (n) x (n) 1z12z1111213又由移位定理得z3x1(n 3) ,z12z11121x (n) X(z1) z1,13221z13z1x2 (n 1) 1z , 3z13而y(n) x1 (

16、n 3) x2 (n 1)Y (z) x1(n 3)x2 (n 1)3z3所以z1z3 z 3 z z111z121122 3z12收斂域例6已知用下列差分方程描述一個線性移不變因果系統(tǒng)y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)（1）求這個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并其收斂域；（2）求此系統(tǒng)的抽樣響應(yīng)；（3）此系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)，請找出一滿足上述差分方程的穩(wěn)定的（非因果）系統(tǒng)的抽樣響應(yīng)。H (z) Y (z) / X (z) h(n)分析：系統(tǒng)函數(shù)求收斂域，要先求零極點(diǎn)。收斂域?yàn)閦平面某個圓外，則為因果系統(tǒng)（不一定穩(wěn)定）收斂域若包括圓，則為穩(wěn)定系統(tǒng)（不一因果）。解：（1）對題中的差分方程兩邊作z變換，得Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)1Y (z)zz所以H (z) X (z)1 z1(z a )(z a ) z212z 0,z 可求得零點(diǎn)為z1 a1 0.5(15) 1.62, a2 0.5(15) 0.62極點(diǎn)為z21.62是其收斂域。z又因?yàn)槭且蚬到y(tǒng)，所以因?yàn)閦1zzH (z) a a z a(z a )(z az a)2 2 12111 n0an z n 111an z n11a a1 a z1 a za a11 n02 112121所以h(n) a ann