附錄二matlab性代數(shù)中的應(yīng)用

1、：xueshenzlz附錄二性代數(shù)中的應(yīng)用1 向量組的線性相關(guān)性求列向量組 A 的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組可用命令 rref(A)將 A 化成階梯形的行最簡(jiǎn)形式，其中向量對(duì)應(yīng)的列向量即為最大線性無(wú)關(guān)組所含向量，其它列向量的坐標(biāo)即為其對(duì)應(yīng)向量用最大線性無(wú)關(guān)組線性表示的系數(shù)。例 1求下列矩陣列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 24131203106232 2 6A 3 234解 編寫(xiě)M 文件 ex1.m 如下：format rata=1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4;b=rref(a)求得b = 100001001/32/300001016/3-1/9-1

2、/3 0記矩陣 A 的五個(gè)列向量依次為1 、2 、3 、4 、5 ，則1 、2 、4 是列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。且有 1 2 16 1 1 .， 3125124333932 1 214例2 設(shè) A a , a , a 22 ， B b , b 03 ， 12 12 12312 42驗(yàn)證a , a , a 是 R3 的一個(gè)基，并把b , b 用這個(gè)基線性表示。123解編寫(xiě)M 文件 ex2.m 如下：format rat12a=2,2,-1;2,-1,2;-1,2,2;b=1,4;0,3;-4,2;c=rref(a,b)求得c= 1000100012/3-2/3-14/312/32線性方程組中解

3、線性方程組可以使用“”。雖然表面上只是一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的符號(hào)，而它卻包含許許多多的自適應(yīng)算法，如對(duì)超定方程用最小二乘法，對(duì)欠定方程它將給的出范數(shù)最小的一個(gè)解，解三對(duì)角陣方程組時(shí)用追趕法等。另外欠定方程組可以使用求矩陣 A 的階梯形行最簡(jiǎn)形式命令 rref(A)，求出所有的-310-基礎(chǔ)解系。例 3 求解下列方程組3 x4 82 9 54243 6x4 0解 編寫(xiě)M 文件 ex3.m 如下：format rata=2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6; b=8;9;-5;0;solution=ab求得 solution=3-4-11。例 4求超定方程組2x1 4x

4、2 113x 5x 312x 2x 6122x1 x2 7解 編寫(xiě)M 文件 ex4.m 如下：a=2,4;3,-5;1,2;2,1; b=11;3;6;7;solution=ab求得 solution= 3.0403例 5求解方程組1.2418。3 x4 0, 3x 1,3413 x4 .2解 編寫(xiě)M 文件 ex5.m 如下：format rata=1,-1,-1,1,0;1,-1,1,-3,1;1,-1,-2,3,-1/2;b=rref(a)求得：b= 100-100010-1-201/21/20故方程組有解，并有 14212x 2x34-311-3 相似矩陣及二次型有時(shí)在需要精確的特征值和

5、特征向量，就須利用的符號(hào)運(yùn)算功能。中創(chuàng)建符號(hào)矩陣和創(chuàng)建數(shù)值矩陣的形式很相似，只不過(guò)要用到符號(hào)定義函數(shù) sym。下面介紹使用此函數(shù)創(chuàng)建符號(hào)函數(shù)的幾種形式。3.1 使用sym 函數(shù)直接創(chuàng)建符號(hào)矩陣此方法和直接創(chuàng)建數(shù)值矩陣的方法幾乎完全相同。矩陣元素可以是符號(hào)表達(dá)式，各符號(hào)表達(dá)式的長(zhǎng)度可以不同，矩陣元例如：x=sym(a+sin(d),b;1/c,d); y=det(x)間可用空格或逗號(hào)分隔。求得 y=(d*c*a+in(d)-b)/c3.2 將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣在例如：中，數(shù)值矩陣不能直接參與符號(hào)運(yùn)算，必須先轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣。a=2/3,sqrt(2);3,1a= 0.66673.0000b=s

6、ym(a)1.41421.0000b= 2/3, sqrt(2)3,1符號(hào)矩陣的索引和修改的符號(hào)矩陣索引和修改同數(shù)值矩陣的索引和修改完全相同。例如：對(duì)上例中的矩陣 b 進(jìn)行修改b(2,2)=log(9)舉例例 6 求一個(gè)正交變換 x Py ，把二次型f 化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型的矩陣為1 1 0 110 111 101A 1 1 10 由A=0,1,1,-1;1,0,-1,1;1,-1,0,1;-1,1,1,0; P,D=eig(A)求得P= 0.78870.21130.57740D= 1.000000.21130.7887-0.5774001.00000.5000-0.5000-0.50000.500000-0.28870.28870.28870.866000-312-0000-3.0000001.0000T ，P 就是所求的正交矩陣，使得 PTAP=D，令 X PY ，其中4Y yLy T ，化簡(jiǎn)后的二次型為 g y 2 y 2 3y 2 y 2 。141234上面求得的正交矩陣 P 是數(shù)值解，下面由求正交矩陣的精確解。a=sym(0,1,1,-1;1,0,-1,1;1,-1,0,1;-1,1,1,0);v,d=eig(a)求得v=1,1,0,0,-1,0,0,1,1,0,1,0,1-1-11d=1,0,0,0,0,1,0,