必學(xué)四1.3.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(教（學(xué)）案)

1、 .DOC資料. 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教案 A教學(xué)目標(biāo) 一、知識與技能 1理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；2通過誘導(dǎo)公式的具體運(yùn)用，熟練正確地運(yùn)用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，體會數(shù)式變形在數(shù)學(xué)中的作用3進(jìn)一步領(lǐng)悟把未知問題化歸為已知問題的數(shù)學(xué)思想，通過一題多解，一題多變，多題歸一，提高分析問題和解決問題的能力 二、過程與方法 利用三角函數(shù)線，從單位圓關(guān)于軸、軸、直線的軸對稱性以及關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱性出發(fā)，通過學(xué)生的探究，明了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的來龍去脈，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算能力，滲透轉(zhuǎn)化及分類討論的思想 三、情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)使學(xué)生

2、認(rèn)識到了解任何新事物須從它較為熟悉的一面入手，利用轉(zhuǎn)化的方法將新事物轉(zhuǎn)化為我們熟知的事物，從而達(dá)到了解新事物的目的，并使學(xué)生養(yǎng)成積極探索、科學(xué)研究的好習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：五組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等教學(xué)難點(diǎn)：六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用教學(xué)關(guān)鍵：五組誘導(dǎo)公式的探究教學(xué)突破方法：問題引導(dǎo)，充分利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生主動探究教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：探究式，講練結(jié)合學(xué)習(xí)方法：切實(shí)貫徹學(xué)案導(dǎo)學(xué)，以學(xué)生的學(xué)為主，教師起引導(dǎo)的作用，具體表現(xiàn)在教學(xué)過程當(dāng)中1. 充分利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生完善從特殊到一般的認(rèn)知過程；2. 強(qiáng)調(diào)記憶規(guī)律，加強(qiáng)公式的記憶；3. 通過對例題

3、的學(xué)習(xí)，完成學(xué)習(xí)目標(biāo)教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體，投影儀、直尺、圓規(guī)學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、直尺、圓規(guī)教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課我們利用單位圓定義了三角函數(shù)，而圓具有很好的對稱性能否利用圓的這種對稱性來研究三角函數(shù)的性質(zhì)呢？例如，能否從單位圓關(guān)于x 軸、y 軸、直線y=x 的軸對稱性以及關(guān)于原點(diǎn)O 的中心對稱性等出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì)呢？二、主題探究，合作交流提出問題銳角的終邊與+角的終邊位置關(guān)系如何？它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何？ 師生互動：引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，并和學(xué)生一起討論探究角的關(guān)系無論為銳角還是任意角，+的終邊都是的終邊的反向延長線，所以先選擇+為研究對象 利用圖形還可以直觀

4、地解決問題，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P1(x，y)和P2 (x，y)指導(dǎo)學(xué)生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導(dǎo)出公式二： sin(+)=-sin，cos(+)=-cos，tan(+)=tan 提出問題：角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何？師生互動：讓學(xué)生在單位圓中討論-與的位置關(guān)系，這時可通過復(fù)習(xí)正角和負(fù)角的定義，啟發(fā)學(xué)生思考角的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱，它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)從而完成公式三的推導(dǎo)，即：sin(-)=-sin，cos(-)=cos，tan(-)=-tan教師點(diǎn)撥學(xué)生注意：無論是銳角還是任意角，公

5、式均成立并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn)，得出公式三的用途：可將求負(fù)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值提出問題：-角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何？ 師生互動：討論-與的位置關(guān)系，這時可通過復(fù)習(xí)互補(bǔ)的定義，引導(dǎo)學(xué)生思考：任意角和-的終邊的位置關(guān)系；它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系及其坐標(biāo)：-角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱，它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)從而完成公式四的推導(dǎo)，即：sin(-)=sin，cos(-)=-cos，tan(-)=-tan 強(qiáng)調(diào)無論是銳角還是任意角，公式均成立引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn)，得出公式四的用途：可將求-角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角的三

6、角函數(shù)值讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，概括說明，加強(qiáng)記憶我們可以用下面一段話來概括公式一四：+k2(kZ)，-，的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號進(jìn)一步簡記為：“函數(shù)名不變，符號看象限”點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的是任意角提出問題 終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角有何數(shù)量關(guān)系？ 師生互動：我們借助單位圓探究終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角的數(shù)量關(guān)系教師充分讓學(xué)生探究，啟發(fā)學(xué)生借助單位圓，點(diǎn)撥學(xué)生從終邊關(guān)于直線y=x對稱的兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，關(guān)于直線y=x對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行引導(dǎo)討論結(jié)果：如圖，設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(

7、x，y)，由于角的終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線y=x對稱，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(y，x)，于是，我們有sin=y，cos=x，cos()=y，sin()=x從而得到公式五： cos()=sin， sin()=cos提出問題 能否用已有公式得出+的正弦、余弦與的正弦、余弦之間的關(guān)系式？師生互動：教師點(diǎn)撥學(xué)生將+轉(zhuǎn)化為 ()，從而利用公式四和公式五達(dá)到我們的目的因?yàn)?可以轉(zhuǎn)化為 ()，所以求+角的正余弦問題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五，這時可以讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)出公式六：sin (+)=cos，cos(+)=-sin提出問題 你能概括一下公式五、

8、六嗎？ 師生互動：結(jié)合上一堂課研究公式一四的共同特征引導(dǎo)學(xué)生尋求公式五、六的共同特征，指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法即可將公式五和公式六進(jìn)行概括討論結(jié)果：的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號進(jìn)一步可以簡記為：函數(shù)名改變，符號看象限利用公式五或公式六，可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化公式一六都叫做誘導(dǎo)公式三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例1 利用公式求下列三角函數(shù)值：（1）cos225；（2）sin；（3）sin()；（4）cos(-2 040)解：（1）cos225=cos(180+45)=-cos45=；（2）sin=sin(4)=-sin=；（3）si

9、n()=-sin=-sin(5+)=-(-sin)=；（4）cos(-2 040)=cos2 040=cos(6360-120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=點(diǎn)評：利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下列步驟進(jìn)行：上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸的思想方法例2 化簡 解： 所以，原式例3 證明：（1）sin(-)=-cos；（2）cos(-)=-sin證明：（1）sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=-cos； （2）cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-sin點(diǎn)評：由公式五及六推得的三角函數(shù)值與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，從而

10、進(jìn)一步可以推廣到(kZ)的情形本例的結(jié)果可以直接作為誘導(dǎo)公式直接使用例4 化簡 解：原式=-tana四、小結(jié)熟記誘導(dǎo)公式；公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負(fù)看象限；并進(jìn)行簡單的求值；運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角化簡課堂作業(yè)1在ABC中，下列等式一定成立的是( )Asin=-cos Bsin(2A+2B)=-cos2CCsin(A+B)=-sinC Dsin(A+B)=sinC2如果f(sinx)=cosx，那么f(-cosx)等于( )Asinx Bcosx C-sinx D-cosx3計(jì)算下列各式的值：（1）sin(-1 200)cos(1 290)+cos(-1 020)sin(-1 05

11、0)+tan945；（2）tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)4化簡：參考答案：1D 2A3（1）2；（2）-14-tana教案 B教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1牢記誘導(dǎo)公式.2理解和掌握公式的內(nèi)涵及結(jié)構(gòu)特征，會初步運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值，并進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡和證明.二、過程與方法1通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、分析歸納能力，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的歸納轉(zhuǎn)化思想方法.2通過誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、分析公式的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生體驗(yàn)和理解從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納推理思維方式.3通過基礎(chǔ)訓(xùn)練題和能力訓(xùn)練題的練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的實(shí)踐能力.三、情感、態(tài)度與價值觀1通過誘導(dǎo)公

12、式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.2通過歸納思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生踏實(shí)細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，滲透從特殊到一般、把未知轉(zhuǎn)化為已知的辨證唯物主義思想.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用聯(lián)系的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)并證明誘導(dǎo)公式，進(jìn)而運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決問題教學(xué)難點(diǎn)：如何引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對稱性和任意角終邊的對稱性中，發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：在教師的組織和引導(dǎo)下學(xué)生以自主探索、動手實(shí)踐、合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)中了解和體驗(yàn)公式的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生領(lǐng)會到誘導(dǎo)公式是前面三角函數(shù)定義、單位圓對稱性等知識的延續(xù)和拓展，應(yīng)用遷移規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、歸納推導(dǎo)

13、公式教學(xué)用具：電腦、投影機(jī)、三角板教學(xué)設(shè)想：一、創(chuàng)設(shè)情境在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一，并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到360(0到2)內(nèi)的角的三角函數(shù)值，求銳角三角函數(shù)值，我們可以通過查表求得，對于90到360(到2)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)怎樣求解，能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)來求解，這一節(jié)就來探討這個問題二、探究新知1. 誘導(dǎo)公式二：思考：（1）銳角的終邊與的終邊位置關(guān)系如何？（2）寫出的終邊與的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)（3）任意角與呢？結(jié)論：任意與的終邊都是關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的則有，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可知：，

14、 ；， 從而，我們得到誘導(dǎo)公式二：；說明：公式中的指任意角；若是弧度制，即有，；公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限；可以導(dǎo)出正切：用弧度制可表示如下：；2. 誘導(dǎo)公式三：思考：（1）的終邊與的終邊位置關(guān)系如何？從而得出應(yīng)先研究；（2）任意角與的終邊位置關(guān)系如何？結(jié)論：同誘導(dǎo)公式二推導(dǎo)可得：誘導(dǎo)公式三：；說明：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限；可以導(dǎo)出正切：3. 誘導(dǎo)公式四：；說明：公式四中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號看象限；可以導(dǎo)出正切：用弧度制可表示如下： ；4. 終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角有

15、何數(shù)量關(guān)系 結(jié)論：如圖所示，設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（x，y），由于角的終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線y=x對稱，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（y，x），于是我們有sin=y，cos=x；sin() = x， cos() = y從而得到誘導(dǎo)公式五：sin() = cos，cos() = sin由于+ =-()，由公式四及五可得公式六sin(+) = cos，cos(+) = sin公式五和公式六可以概括如下：的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.利用公式五或公式六，可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一六都叫做誘導(dǎo)公式.三、例題講解例1 求下列三角函數(shù)值：（1）； （2）解：（1）（2）例2