中考數(shù)學(xué)綜合題專題訓(xùn)練【以三角形為基礎(chǔ)的綜合題六】專題解析

1、例1如圖，在eqoac(,)ABC中，D是BC上一點，E是AD上一點，且ABAD，BAD數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析中考數(shù)學(xué)綜合題專題訓(xùn)練【以三角形為基礎(chǔ)的綜合題六】專題解析ACCEACE（1）求證：AC2BCCD；（2）若E是ABC的重心，求AC2A的值A(chǔ)D2EBDCSCAE2SCAE3SADC3SABD，即3ABAD（1）證明：ACCE，BADACEABDCAE，BEACBACBADEAC，ADCBADBBACADC，ABCDACACDCBCAC，即AC2BCCD（2）解：E是ABC的重心，BDCD，AE2DESABDSADC，SCAE2eqoac(,S)CDE22SABDSCAE

2、AE2SABDBD2ABDCAE，23AE23BD23CD2，即(3AD)3CD2，AD22CD2222223AC2BCCD，BDCD，AC22CD2AC2AD2432如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，D是BC中點，E是BA延長線上一動點，連接ED、EC，ED交AC于點F（1）當EDEC時，求AE的長；（2）如果以A為圓心、AE為半徑的圓與以C為圓心、CF為半徑的圓相切，求tanAEC的值；（3）以A、E、F為頂點的三角形能否與ACE相似？如果能，求AE的長；如果不能，說明理由；EA1F數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析解：（1）延長BC到G，使CGBD，連接EGEDEC，EDCECDE

3、DBECG在BED和GEC中EDEC，EDBECG，BDCGBEDGEC，BFABC是邊長為2的等邊三角形ABBC2，B60G60，BEG是等邊三角形BEBG，AECG，AEBDD是BC中點，BD1，AE1EAFBDCG設(shè)EAx，則x11，AFx1E（2）過D作DGAC交AB于G1D是BC中點，AGBG2AB1EAAFDGeqoac(,AC)，EAFEGD，EGGDxAFxxx2CF2x1x1若兩圓外切，則AECFACx2即xx12，解得x0（舍去）若兩圓內(nèi)切，則AECFACx2即xx12，解得x15（舍去）或x15連接CG，則CGAB，CGAGtan603EGEAAG15125BAGFDCC

4、G3tanAECEG251523E（3）AECAEF若以A、E、F為頂點的三角形與ACE相似，只能AEFACEAEAC此時AFAE，即AE2ACAF2xx2x1，解得x2（舍去）或x1以A、E、F為頂點的三角形能與ACE相似，此時AE的長為12AFBDC數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析3如圖，在ABC中，ACB90，AC6，BC8，CD是AB上的中線，點E是邊BC上一動點（不與B、C重合），直線DE交直線AC于點F（eqoac(,1)）當CEF是等腰三角形時，BE的長為_；（2）當BE為何值時，以C、E、F為頂點的三角形與ABC相似？1（3）若SBED4SAFD，求直線DE與AB所夾銳角的

5、正切值；（4）是否存在這樣的點E，使得以A為圓心、AF為半徑的圓與以B為圓心、BE為半徑的圓相切？若存在，求出BE的長；若不存在，請說明理由CADB解：（1）1或7過D作DGBC于G當點F在AC延長線上時ACB90，DGACCFECD是AB上的中線，ADBD11DG是ABC的中位線，DG2AC3，BG2BC4ACB90，ECF90CEF是等腰三角形，CEF45DEG45，CEF是等腰直角三角形EGDG3BEBGEG437當點F在CA延長線上時AGDBACB90，CEF是等腰三角形，CEF45CEGDG3BEBGEG431BE的長為1或7（2）ACB90，AC6，BC8，AB10FAGEDBCD

6、是AB上的中線，ADBD5當點F在AC延長線上時若CEFB，則BEDCEFB，CD是斜邊AB上的中線，BCDB點E與點C重合，此時CEF不存在若FB，ECFACB90CFEEFCABC在AFD和ABC中，F(xiàn)B，AAADFACB90BD525BEcosB8410ADB當點F在CA延長線上時CCABF，當FB時，EFCABCHE3FADB數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析過D作DHAC于H11則AHCH2AC3，DH2BC4816HFDHcotFDHcotB4631625CFCHHF333F25625CECFtanFCFtanB384257BEBCCE844CEG（3）分別過E、F作AB的垂線，

7、垂足為M、N當點F在AC延長線上時ADBD，SBEDEMFNSAFD1EM1DE1DE1SBED4SAFD，F(xiàn)N4，DF4，EF3過D作DGBC于eqoac(,G)，則EDGEFCEGDE1111CEEF3，EG3CE4CG4416BEBGEG415，EMBEsinB51038BMBEcosB5104，DMBDBM541EMtanEDBDM3當點F在CA延長線上時ADMNBADBD，SBEDEM1DE1DF4FN4，DF4，EF5SAFD過D作DHAC于H，則DFHEFCDHDF455CEEF5，CE4DH44569BEBCCE853，EMBEsinB31058121213BMBEcosB31

8、05，DMBDBM555EM9tanEDBDM13（4）當點F在AC延長線上時過D作DGBC于eqoac(,G)，則EDGEFCDGEG3x4243xCFCE，CF8x，CFx4243x3xAFACCF6x4x44NAFAHCEDMBFCEGDB綜上所述，存在滿足條件的點E，BE的長為5或241922數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析3x若兩圓內(nèi)切，則x4x10，解得x18（舍去），x253x若兩圓外切，則x4x10，方程無實數(shù)解當點F在CA延長線上時過D作DHAC于H，則DFHEFCHFDH3AF43xCFCE，6AF8x，AF4x3x92419241（舍去），x1若兩圓內(nèi)切，則4xx10

9、，解得x1223x1712917129（舍去），x2若兩圓外切，則4xx10，解得x12217129或CHCEHEADBADBFF14如圖，已知ABC中，ACB90，sinB3，D為BC邊上一點將ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角，CAB，點C落在點E處，點D落在點F處，BE6DF與AB交于點G，直線CE與DF交于點H（1）當點D在什么位置時，CHD60？（2）當D、E、F三點在同一直線上時，求CD的長；（3）如果DFBC，證明四邊形ACHF是平行四邊形；求CD的長；（4）是否存在點D使AFG為等腰三角形？若存在，直接寫出CD的長；若不存在，請說明理由FAEHGCDB解；（1）如圖1，CAB，點E落在A

10、B上5數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析1ACB90，sinB3，ACAE，BE6AC1AC63，解得AC3AE3，AB9，BC923262CADEAF，CAEDAF又ACAE，ADAFACEAECADFAFD12，CADCHD60CDACcot6033（2）如圖2，AEFACD90當D、E、F三點在同一直線上時，AEDF又ADAF，DEEFCDEF，DECD111SABC2ACCD2ABDE2ACBC33CD9CD362，CD22（3）如圖3，DFBC，ACBC，DFACCAHFHA又ACHAFH，ACHAFHFAHE12GCDB圖1FAECDB圖2FACFH，四邊形ACHF是平行四邊形四

11、邊形ACHF是平行四邊形AFCH，ADCH由（1）知CADCHD，又ACDHDC90AEHGACDHDC，ACHDFHHDAC3，AHDF四邊形ACDH是矩形，AHBC，AHCDFEGBDG90，F(xiàn)GEBGDFEGBDG，EFGBEG1sinEFGsinB，F(xiàn)G3，F(xiàn)G3EGDFeqoac(,AC)，GHEACEACAE，GHGEFG3GH，F(xiàn)H2GHDH2GH，GHGD易證AGHBGD，BDAH1CDBD，CD2BC323（4）存在CD32或2(62)提示：AGFADFAFG，AFAG若AGFG，則AFGFAG，CADACE由（3）知，此時CD326CDB圖3數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品

12、解析若AFFG，如圖4，設(shè)AD與CH交于點O則由ACOAFG，得ACOC3分別過O、E作BC的垂線，垂足為M、NBE6，AB6，由BENBAG22得BN3BC42，EN3AC2，CN22CECN2EN223FAHEOMCMCOCOMCEN，ENCNCEOG2OMCM3，OM3，CM62223DCMNB圖4CD633DMOMDOMDAC，CDACCD3，CD2(62)5已知ABC中，ABAC5，BC8，點D在BC邊上移動，連接eqoac(,AD)，將ADC沿直線AD翻折，點C的對應(yīng)點為C1（1）當AC1BC時，CD的長是多少？（2）設(shè)CDeqoac(,x)，AC1D與ABC重疊部分的面積為y，求

13、y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）在點D移動的過程中，是否存在eqoac(,BC)1D為直角三角形的情形？若存在，直接寫出CD的長；若不存在，請說明理由AABDCBC備用圖C1DECeqoac(,1)AEC，ACCE解：（1）當AC1BC時，如圖1設(shè)AC1與BC交于點EABC中，ABAC5，BC8BC，BECE4，AE52423EC1AC1AEACAE532DEC1AEC90，C1CC1DC1ECD255154，C1D2，CDC1D2（2）當0 x4時，如圖2BC，C1C，BC1又AEBDECeqoac(,1)，ABEDC1EABEC1圖1ADC7BEDCCDCEDE，xCE8B

14、Ex數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析ABBEAE5BE5CE111x55CE50 x2001C1E5BE，代入x8BEx，得BEx225DE850 x200 x8x25xx225x32x225即y3x24x75x（0 x4）1x38x225xyeqoac(,S)ADE2x2253322x250AFC1F5AFxDF當4x8時，如圖3設(shè)C1D與AB交于點FC1B，AFC1DFB，AFCeqoac(,1)DFBAC1BDDFBF，8xDF5AFC1FADF5AF，代入8x5AF，得AFx16x39yeqoac(,S)ADF2x16x395(8x)即y3x348x2267x600（4x8）由（2

15、）知ABEeqoac(,DC)1E，DECE則ADHBDC1，DHDC18x5xDF5x240 x125215x240 x125322x232x78725（3）存在CD1或4或4或7提示：當0 x4時AEBE1又AEDBECeqoac(,1)，ADEeqoac(,BC)1EC1BDDAC1DAC90若eqoac(,BC)1D為直角三角形，只能BDC190或BC1D90若BDC190，如圖4，作AGBC于G則CDC190，ADC1ADC135ADG45，DGAG3CDCGDG431若BC1D90，如圖5，作DHAC于HAHBC143AH55x，DH5x，DC1xBC1BD2C1D2(8x)2x2

16、6416xBDC圖3ADBGEC圖4C1AHBEDC6416x455x35xx，整理得16x256x4908圖5C1數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析77即(4x7)20，x4，即CD4C1由（2）知AFCeqoac(,1)DFB，DFBFA當4x8時AFC1F又AFDC1eqoac(,FB)，ADFeqoac(,C)1BFBC1DBAD90若eqoac(,BC)1D為直角三角形，只能C1BD90或BDC190若C1BD90，如圖6ADCABCBADAC1DBC1DAC1BADBADC180ADBAC1B180，C1ADC1BD180C1AD90，CADC1AD90FBDG圖6C1CC、A、

17、C1三點在同一直線上又CAC1A，AGC1B，AG是eqoac(,CC)1B的中位線C1B2AG6在eqoac(,Rt)C1BD中，BD2C1B2C1D2A2525(8x)262x2，解得x4，即CD4若BDC190，如圖7，則CDC190ADCADC145，DGAG3CDCGDG437FBDG圖7C1eqoac(,6)已知ABC中，ABAC6，cosB3，點D在AB邊上（點D與點A、B不重合），過點D作DEAC，交BC邊于點E，過點E作EFAC，垂足為F，連接DF（1）設(shè)ADx，CFy，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（eqoac(,2)）若DEF和CEF相似，求AD長（3）是否

18、存在點eqoac(,D)，使ADF為等腰三角形？若存在，直接寫出AD的長；若不存在，請說明理由A解：（1）過點A作AHBC，垂足為HABAC6，BHCH1BH11cosB3，AB3，BH3AB2BC2BH4ABAC，BCDEAC，DEBCDFEBACD9FBEHC數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析BDEB，DEDB6xDEBEDEAC，ACBC6xBE264，BE43x22CE4(43x)3xy11在eqoac(,Rt)EFC中，cosCcosB3，233x2y9x（0 x6）（2）AC6，CH2，AH622242AH42tanCCH222242EFCFtanC9x229x當EDFC時，DF

19、ECEF此時DFECEF，DFBC254BDCF，6x9x，x11當DFEC時，F(xiàn)DECEFDE16x54此時EF3，即4222，x259x2754（3）存在AD8或117如圖，等邊ABC中，D、F分別是邊BC、AB上的點，且CDBF，以AD為邊向左作等BD邊ADE，連接CF、EF，設(shè)DCkA（1）求證；四邊形CDEF是平行四邊形；（2）當DEF45時，求k的值；1（3）是否存在實數(shù)k，使SCDEF2SABC？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由（eqoac(,1)）證明：ABC是等邊三角形ACCB，ACDB又CDeqoac(,BF)，ACDCBFEFBDCAADCCFB，ADCFADE是

20、等邊三角形，ADDEEF10BDC數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析CFDEACDCBF，DACFCBBADACFEDB180ADEADC120ADCFCB180BCFB120CFBEDBFCB，CFDE四邊形CDEF是平行四邊形（2）解：過F作FGBC于G四邊形CDEF是平行四邊形，DEF45FCBDEF45，F(xiàn)GCGACDBF2x設(shè)BGx，則CGFGBGtan603xBGcos60BCBGCG(13)xBDBCCD(13)x2x(31)xEFDC2x2kBD(31)x31BGDC（3）BDDCk，BDkDC，BC(k1)DCDC1k1BC作FGBC于G，AHBC于HAHBAA則BFGBA

21、H，F(xiàn)GBFFGBFCD1BAAHBCAHk1AHEF11eqoac(,S)CDEF2SABC，CDFG2BCAH1AHBCAH，k1BC1111k12(k1)22BGDHC(k1)22，解得k211存在實數(shù)k21，使eqoac(,S)CDEF2eqoac(,S)ABC8已知ABC中，C90，ACBC2，點P在射線AC上，點Q在CB的延長線上，且APBQ，連接PQ交直線AB于D，過P作PEAB于E（1）求證：DPDQ；（2）設(shè)APx，BDy，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（eqoac(,3)）當DEPQCP時，求AP的長QBBD（1）證明：當點P在線段AC上時E過P作PFAC，交AB于FAAPCC

22、則PFBQ，DPFDQB11EFDQB備用圖數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析C90，ACBC，A45PAF是等腰直角三角形，APFPAPBQ，F(xiàn)PBQ又FDPBDQ，DPFDQBDPDQ當點P在AC延長線上時過P作PFAC，交AD延長線于F同理可證DPDQ（2）解：當點P在線段AC上時DPFDQB，DFBDQBD2BF2(222x)2x2FC90，ACBC2，AB22PAF是等腰直角三角形，AF2AP2x1122即y2x2（0 x2）當點P在AC延長線上時EBDPAF是等腰直角三角形，AF2AP2x112BD2BF2(2x22)2x2ACP2即y2x2（x2）（3）當點P在線段AC上時DP

23、EDPFDQB當DEPQCP時，只能PDEDQBPDEQDB，DQBQDB2BDBQ，2x2x解得x222當點P在AC延長線上時PDEPQC當PEDQCP時，只能DPEPQCPCPQDEDP2，PC2DE2(EFDF)2(EFBD)22x222x(2x2)解得x222綜上所述，當DEPQCP時，AP的長為222或2229（浙江模擬）如圖eqoac(,1)，在平面直角坐標系中，ABC和DEF都是等邊三角形，頂點B、D與原點O重合，邊BC在x軸的正半軸上，邊AB與DE在一條直線上已知AB6，DE23（eqoac(,1)）將DEF繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90（如圖2），連接CE、CF試判斷四邊形DECF

24、的形狀，并說明理由；（eqoac(,2)）將DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，連接eqoac(,AF)在旋轉(zhuǎn)過程中，當ABF是直角三角形時，求點F的12數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析坐標；（eqoac(,3)）將DEF沿直線AB上下平移，連接AF、eqoac(,BF)在平移過程中，ABF能否成為等腰三角形？如果能，直接寫出點D的坐標；如果不能，請說明理由yyyAAAF(B)(B)(B)(D)OEFx(D)OxCCOCEx圖1圖2備用圖在eqoac(,Rt)DME中，DMDEcos30233DC（1）四邊形DECF是菱形設(shè)DC、EF交于點M由題意知，ADE90，又ABC60CDE30，CDF30CDECD

25、F，DC垂直平分EF3122EF垂直平分DC，四邊形DECF是菱形（2）由題意知，A（3，33），B（0，0），AB26236設(shè)F（a，b），則AF2(a3)2(b33)2，BF2a2b2(23)212AB623BF，BAF90若ABF90，則AB2BF2AF2即36a2b2(a3)2(b33)2，得a3byAF(B)M(D)OCEx代入a2b212，得3b2b212，解得b3yDF1（3，3），F(xiàn)2（3，3）若AFB90，則AF2BF2AB2即(a3)2(b33)21236，又a2b212，EHFD3（23，6），D4（3，3），D5（22得a43b，代入a2b212得(43b)2b212，

26、解得b32F3（32，16），F(xiàn)4（32，16）（3）能D1（323，633），D2（33，333），(B)33333y，）AOAAFABCx則DHDFcos60233FHDFsin602333提示：過F作FHAB于H212DH(B)EO點D在BA延長線上FCxAFAB13點D在線段AB上數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析若AFAB，則AF6AHAF2FH2623233當點D在BA延長線上時BDABAHDH6333643D1（323，633）當點D在線段AB上時BDABAHDH6333623D2（33，333）若BFBA，則BF6，BH33y(B)OACxyDAHEF若AFBF，則BHAB3

27、D5（3333322當點D在BA延長線上時BDBHDH33343D3（23，6）當點D在AB延長線上時BDBHDH33323D4（3，3）12BDBHDH33，）DHEFBFBA點D在AB延長線上y(B)E(B)OCxBFBA點D在BA延長線上ADHF（4）若ABAC5，sinB設(shè)BE，eqoac(,x)DEF的面積為yOAFBFeqoac(,10)（上海模擬）如圖，在ABC中，ABAC，D是BC邊中點，EDFB，DE與射線BA相交于點E，DF與邊AC相交于點F，連接EF（eqoac(,1)）求證：BDECFD；（2）若DFEF，求證：DFAB（3）在（2）的條件下，當DEAC時，求BAC的度

28、數(shù)；35求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；當AEF是等腰三角形時，直接寫出x的值A(chǔ)EAAFCxBDCBD備用圖（1）證明：EDFB，BDECDFBDEBEDBEDCDFABAC，BC14CBD備用圖AEFCBDC數(shù)學(xué)專題之【以三角形為基礎(chǔ)】精品解析BDECFDBEDE（eqoac(,2)）BDECFD，CDDFBEDEBDCD，BDDF又BEDF，BEDDEFBEDDEFDFEF，DEFEDFBEDEDF，DFABE（3）設(shè)AF、DE相交于點O，連接ADADFEF，DEAF，ODOEOFOAOEDFAE，OFOD1，OAOFAF、DE互相垂直平分四邊形ADFE是菱形，ADDF11BD

29、CD，DFAB，DF2AB2AC1AD2ACABAC，BDCD，ADBCC30，B30，BAC120（4）連接AD，則ADBCBDCADABsinB553，BD523在eqoac(,Rt)ABD中，AC5，sinB53324EAFSDEFDE2SBEDBE2BD4cosBAB5作EGBC于G43則BGBEcosB5x，EGBEsinB5x432DG|45x|，DE2DG2EG2x25x161136SBED2BDEG245x5xBEDDEF，BGDHCBE2BEDSDEFDE2S32x25x16x2630 x2192x4805x25xBEBDBDECFD，CDCFx416164CF，CFx，AF5x15數(shù)