中考復(fù)習《二次函數(shù)》綜合測試題

1、22沈進老師專用資料中考復(fù)習二次函數(shù)綜合測試題一、與線段、周長有關(guān)的問題1. 如圖，拋物線 y=x +bx+c 過點 A（3，0），B（1，0），交 y 軸于點 C，點 P 是該拋物線上一動點，點 P 從 C 點沿拋物線向 A 點運動（點 P 不與點 A 重合），過點 P 作 PDy 軸交直 線 AC 于點 D.求拋物線的解析式；求點 P 在運動的過程中線段 PD 長度的最大值；在拋物線對稱軸上是否存在點 M，使|MA-MC|的值最大？若存在，請求出點 M 的坐 標；若不存在，請說明理由.第 1 題圖備用圖2. （2015 珠海）如圖，折疊矩形 OABC 的一邊 BC，使點 C 落在 OA 邊

2、的點 D 處，已知折痕 BE=5 5 ,且OD 4= .以 O 為原點，OA 所在的直線為 x 軸建立如圖所示的平面直角坐標 OE 31 1系，拋物線 l：y= - x + x+c 經(jīng)過點 E，且與 AB 邊相交于點 F.16 2求證：ABDODE;若 M 是 BE 的中點，連接 MF，求證：MFBD;P 是線段 BC 上一動點，點 Q 在拋物線 l 上，且始終滿足 PDDQ，在點 P 運動過程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合條件的 Q 點坐標；若不能，請說明理由.第 2 題圖222沈進老師專用資料3. （2015 孝感改編）在平面直角坐標系中，拋物線 y= - 與 y 軸交于點

3、C，直線 y=x+4 經(jīng)過 A，C 兩點.求拋物線的解析式；在 AC 上方的拋物線上有一動點 P.x +bx+c 與 x 軸交于點 A，B，如圖，過點 P 作 y 軸的平行線交 AC 于點 D，當線段 PD 取得最大值時，求出 點 P 的坐標；如圖，過點 O，P 的直線 y=kx 交 AC 于點 E，若 PEOE=38，求 k 的值.圖第 3 題圖4. （2015 天水）在平面直角坐標系中，已知拋物線 y-圖x +bx+c(b、c 為常數(shù))的頂點為P，等腰直角三角形 ABC 的頂點 A 的坐標為（0，-1），點 C 的坐標為（4，3），直角頂點 B 在第四象限.(1)如圖，若拋物線經(jīng)過 A、B

4、 兩點，求拋物線的解析式;(2)平移（1）中的拋物線，使頂點 P 在 AC 上并沿 AC 方向滑動距離為 平移后的拋物線與直線 AC 交于 x 軸上的同一點;2時，試證明：(3)在（2）的情況下，若沿 AC 方向任意滑動時，設(shè)拋物線與直線 AC 的另一交點為 Q，取 BC 的中點 N，試探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請 說明理由.5. 如圖，拋物線 y= -第 4 題圖x +bx+c 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C,且 OA=2,OC=3.沈進老師專用資料求拋物線的解析式；作 eq oac(,Rt)OBC 的高 OD，延長 OD 與拋物線

5、在第一象限內(nèi)交于點 E，求點 E 的坐標；在拋物線的對稱軸上，是否存在一點 Q，使得BEQ 的周長最小？若存在，求出 點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由.第 5 題圖6. 如圖，已知在平面直角坐標系 xOy 中，四邊形 OABC 的邊 OA 在 y 軸的正半軸上，OC 在x 軸的正半軸上，ABOC,OA=AB=2,OC=3，過點 B 作 BDBC，交 OA 于點 D，將DBC 繞點 B 順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交 y 軸的正半軸、x 軸的正半軸于點 E、F.求經(jīng)過 A、B、C 三點的拋物線的解析式；當 BE 經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求 CF 的長；在拋物線的對稱軸上取兩點 P、Q（點

6、 Q 在點 P 的上方），且 PQ=1，要使四邊形 BCPQ 的周長最小，求出 P、Q 兩點的坐標.第 6 題圖2222222沈進老師專用資料參考答案1.解：（1）拋物線 yx +bx+c 過點 A（3，0），B（1，0），93b c 0 1 b c 0，b -4解得 c 3,拋物線的解析式為 y=x -4x+3. （2）令 x=0,則 y=3,點 C（0，3），又點 A(3,0),直線 AC 的解析式為 y= -x+3, 設(shè)點 P（x,x -4x+3）,PDy 軸，且點 D 在 AC 上， 點 D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x-4x+3)=-x+3x=-(x-3 9) + ,2

7、4a=-10,當 x=329時，線段 PD 的長度有最大值，最大值為 .4(3)存在.由拋物線的對稱性可知，對稱軸垂直平分 AB，可得：MAMB，由三角形的三邊關(guān)系，MA-MC-4,當 x=-2 時，線段 PD 取得最大值，將 x=-2 代入 y= -x -x+4 中得 y=4,線段 PD 取得最大值時,點 P 的坐標為（-2,4）.過點 P 作 PFOC 交 AC 于點 F，如解圖. PFOC,PEFOEC,PE PFOE OC.PE 3 3 又 = ,OC=4,PF= .OE 8 2由 得 PF（-x3-x+4）-(x+4)= .2化簡得：x +4x+3=0,解得 x = -1,x = -

8、3.1 22222222當 x= -1 時，y=沈進老師專用資料9 5；當 x= -3 時，y= .2 2即滿足條件的 P 點坐標是（-1，又點 P 在直線 y=kx 上，9 5 ）或（-3， ）.2 2k= -9 5 或 k= - .2 64.(1)解：設(shè) AC 與 x 軸的交點為 M，等腰直角三角形 ABC 的頂點 A 的坐標為(0,-1),C 的坐標為(4,3), 直線 AC 的解析式為 y=x-1，直線 AC 與 x 軸的交點 M(1，0).OM=OA，CAO=45.CAB 是等腰直角三角形，ACB=45，BCy 軸,又OMA=45，OAB90，ABx 軸,點 B 的坐標為(4，-1)

9、.拋物線過 A(0，-1)，B(4，-1)兩點，將兩點代入拋物線的解析式中， c -1 b 2得 1 ,解得 ，- 16 4b c -1 c -1 2拋物線的解析式為 y-x +2x-1.(2)證明：拋物線 y= -1 1 1x +2x-1= - (x -4x)-1= (x2) +1, 2 2 2頂點 P 的坐標為(2，1)，拋物線 y= -(x2) +1 頂點 P 平移到直線 AC 上并沿 AC 方向移動的距離為2，其實是先向右平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度,平移后的二次函數(shù)的解析式為 y= -(x-3) +2，當 y=0 時，有 0= -(x-3)+2，22沈進老師專用資

10、料解得 x =1，x =5，1 2y-(x-3) +2 過點(1，0)和(5,0)，直線 AC 的解析式為 y=x-1，直線 AC 與 x 軸的交點坐標為(1，0)，平移后的拋物線與直線 AC 交于 x 軸上的同一點.(3)解：如解圖，NP+BQ 存在最小值，最小值為 2 5 .理由：取 AB 的中點 F，連接 FN，F(xiàn)Q， 作 B 點關(guān)于直線 AC 的對稱點 B，設(shè)平移后的拋物線的頂點為 P.連接 BB，BQ,BQ,則 BQBQ,拋物線 y= -(x-2) +1 的頂點 P(2，1)，A(0,-1)，PA=(2 - 0)2(1 1)2=2 2 ,拋物線沿 AC 方向任意滑動時，PQ=2 2

11、， A(0，-1)，B(4，-1)，AB 中點 F(2，-1)，B(4，-1)，C(4，3)，N(4，1)，F(xiàn)N=BF2BN2=2 2 ,FNPQ,在ABC 中，F(xiàn)、N 分別為 AB、BC 的中點， FNPQ，四邊形 PNFQ 是平行四邊形，NP=FQ,第 4 題解圖NP+BQ=FQ+BQFB =2 2 4 2=25.當 B、Q、F 三點共線時，NP+BQ 最小，最小值為 2 5 . 5.解：（1）OA=2,點 A 的坐標為（-2，0）.OC=3,點 C 的坐標為（0，3）.222沈進老師專用資料把 A（-2，0），C（0，3）分別代入拋物線 y= - 0-2 - 2b c，得 3 cb 12

12、，解得 c 31 1拋物線的解析式為 y-x + x+3.2 21 1(2)把 y=0 代入 y= - x + x+3,2 2解得 x =3,x =-2,1 2點 B 的坐標為（3，0），OB=OC=3,ODBC,OE 所在的直線為 y=x.y x,解方程組 1 1y - x 2 x 3 2 2x +bx+c,解得 x 21y 2,1x -32y = -32,點 E 在第一象限內(nèi)，第 5 題解圖點 E 的坐標為（2，2）.（3）存在，如解圖，設(shè) Q 是拋物線對稱軸上的一點，連接 QA、QB、QE、BE， QA=QB,BEQ 的周長BE+QA+QE,BE 為定值，且 QA+QEAE,當 A、Q、

13、E 三點在同一直線上時，BEQ 的周長最小，由 A(-2,0)、E(2，2)可得直線 AE 的解析式為 y=x+1,由（2）易得拋物線的對稱軸為 x=1 5點 Q 的坐標為（， ）,2 4,22 22沈進老師專用資料在拋物線的對稱軸上，存在點 Q（1 5， ），使得BEQ 的周長最小. 2 46.解：(1)由題意得 A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).設(shè)經(jīng)過 A,B,C 三點的拋物線的解析式為 y=ax +bx+2(a0),4a 2b 2 2將點 B、C 分別代入得 9 a 3b 2 0, 2a - 3解得 4b 3,拋物線的解析式為 y= -2 4x + x+2.3 32 4 2 8(

14、2)y= - x + x+2= - x 1 + ，3 3 3 3 設(shè)拋物線的頂點為 G，則頂點 G 的坐標為（1，83），過 G 作 GHAB，垂足為 H，如解圖,則 AH=BH=1,GH=8 2-2= ,3 3EAAB,GHAB, EAGH,GH 是BEA 的中位線,EA=2GH=43.過 B 作 BMOC,垂足為 M,如解圖,則 MB=OA=AB.第 6 題解圖EBF=ABM=90,EBA=FBM=90-ABF. eq oac(,Rt)EBA eq oac(,Rt)FBM.第 6 題解圖2沈進老師專用資料FM=EA=43.CM=OC-OM=3-2=1,CF=FM+CM=73.(3)如解圖,

15、要使四邊形 BCPQ 的周長最小，將 B 點向下平移一個單位至點 K，取 C 點關(guān)于 對稱軸對稱的點 M，連接 KM 交對稱軸于 P，將 P 向上平移 1 個單位至 Q，此時 M、P、K 三點共線可使 KP+PM最短，則 QPKB 為平行四邊形，QB=PK,連接 CP，根據(jù)軸對稱求出 CP=MP，則 CP+BQ 最 小，CB，QP 為定值，四邊形 BCPQ 周長最短.將點 C 向上平移一個單位，坐標為（3，1），再作其關(guān)于對稱軸對稱的對稱點 C ，1得點 C 的坐標為（-1，1）.1可求出直線 BC 的解析式為 y=11 4x+ .3 3直線 y1 4 5 x+ 與對稱軸 x1 的交點即為點

16、Q，坐標為（1， ）.3 3 3點 P 的坐標為（1，）.2 5綜上所述，滿足條件的 P、Q 兩點的坐標分別為（1， ）、（1， ）.3 3二、與面積有關(guān)的問題1. （2015 桂林）如圖，已知拋物線 y= -x +bx+c 與坐標軸分別交于點 A(0，8)、B(8，0)和點 E,動點 C 從原點 O 開始沿 OA 方向以每秒 1 個單位長度移動，動點 D 從點 B 開始沿 BO方向以每秒 1 個單位長度移動，動點 C、D 同時出發(fā)，當動點 D 到達原點 O 時，點 C、D 停止運動.求拋物線的解析式；求CED 的面積 S 與 D 點運動時間 t 的函數(shù)解析式：當 t 為何值時 eq oac(

17、,，)CED 的面積最大? 最大面積是多少?當CED 的面積最大時，在拋物線上是否存在點 P(點 E 除外)， eq oac(,使)PCD 的面積等于 CED 的最大面積，若存在，求出 P 點的坐標；若不存在，請說明理由.22沈進老師專用資料第 1 題圖2. （2015 海南）如圖，二次函數(shù) y=ax +bx+3 的圖象與 x 軸相交于點 A（-3，0）、B(1,0)，與 y 軸相交于點 C，點 G 是二次函數(shù)圖象的頂點，直線 GC 交 x 軸于點 H(3,0)，AD 平行 GC 交 y 軸于點 D.求該二次函數(shù)的表達式；求證：四邊形 ACHD 是正方形；如圖，點M(t,p)是該二次函數(shù)圖象上

18、的動點，并且點 M 在第二象限內(nèi)，過點 M 的直 線 y=kx 交二次函數(shù)的圖象于另一點 N.若四邊形 ADCM 的面積為 S，請求出 S 關(guān)于 t 的函數(shù)表達式，并寫出 t 的取值范圍；若CMN 的面積等于214，請求出此時中 S 的值.圖圖第 2 題圖3. (2015 深圳)如圖，關(guān)于 x 的二次函數(shù) y= - x +bx+c 經(jīng)過點 A(-3,0),點 C(0，3)，點 D 為二 次函數(shù)的頂點,DE 為二次函數(shù)的對稱軸，E 在 x 軸上.求拋物線的解析式；DE 上是否存在點 P 到 AD 的距離與到 x 軸的距離相等？若存在,求出點 P;若不存在,請 說明理由；2沈進老師專用資料（3）如

19、圖，DE 的左側(cè)拋物線上是否存在點 F，使 2 =3 ？若存在,求出點 F 的坐eq oac(,S)FBC eq oac(,S)EBC標;若不存在,請說明理由.圖圖第 3 題圖4. （2015 武威）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點 A（0，4），B（1，0），C（5， 0），其對稱軸與 x 軸相交于點 M.求此拋物線的解析式和對稱軸；在此拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使PAB 的周長最?。咳舸嬖?，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由；連接 AC，在直線 AC 下方的拋物線上，是否存在一點 N， eq oac(,使)NAC 的面積最大？若存 在，請求出點 N 的坐標；若不存在，

20、請說明理由.第 4 題圖【答案】1.解：(1)將點 A(0，8)、B(8，0)代入拋物線 y= - c 8 b3得 1 ,解得 ， - 64 8b c 0 c 8 2x +bx+c，22222拋物線的解析式為 y= -沈進老師專用資料x +3x+8.(2)點 A(0,8)、B(8，0)，OA=8,OB=8，令 y=0，得 -x +3x+8=0,解得:x =8,x =-2,1 2點 E 在 x 軸的負半軸上，點 E(-2，0)，OE=2，根據(jù)題意得：當 D 點運動 t 秒時，BD=t,OC=t, OD=8-t,DE=OE+OD=10-t,eq oac(,S)CED1 1 1= DE OC= (1

21、0-t) t= - t 2 2 2+5t,1 1 25 即 S= - t +5t=- (t-5) + ,2 2 2當 t=5 時，SCED 最大252(3)存在.由(2)知：當 t=5 時，S當 t=5 時，OC=5,OD=3, C(0,5),D(3,0),CED 最大252由勾股定理得 CD=34,設(shè)直線 CD 的解析式為：y=kx+b（k0）,將 C(0,5),D(3,0)，代入上式得：b 53k b 0,k -解得 b 553 ,直線 CD 的解析式為y= -53x+5,過 E 點作 EFCD，交拋物線于點 P ，則15如解圖，設(shè)直線 EF 的解析式為 y= - x+m,3eq oac(

22、,S)CEDSCP D1，第 1 題解圖10將 E(-2，0)代入得：m= - ,3直線 EF 的解析式為 y= -5 10 x- ,3 322234DD將 y= -沈進老師專用資料5 10 1x- 與 y= - x +3x+8 聯(lián)立成方程組得：3 3 2 5 10y = - x - 3 31y = - x 2 + 3 x + 8 2,解得 x -21y 01（與 E 點重合，舍去）,34x 3200y -9,P (134 200,- );3 9過點 E 作 EGCD，垂足為 G，當 t=5 時，S =ECD25 34EG=,341 25 CD EG= ,CD=2 234,過點 D 作 DNC

23、D,垂足為 N，且使 DN=EGDDMN,25 3434,過點 N 作 NMx 軸，垂足為 M，可得3425EG ED= ,即 DM DN DM2553434，解得：DM=125 227 ,OM= ,34 34由勾股定理得：MN=DN 2 - DM2=(2534 125 75 ) 2 - ( )2 ,34 34 34N(227 75, ),34 34過點 N 作 NP CD，與拋物線交于點 P ，P (與 B 點重合)，則 2 2 3 eq oac(,S)CEDSCP2，S CEDSCP3,設(shè)直線 NP 的解析式為 y= - 253x+n,227 75 40 將 N( , )，代入上式得 n=

24、 ,34 34 3221 9 232 22直線 NP 的解析式為 y= - 2沈進老師專用資料 5 40 x+ ,3 3將 y= -5 40 1 x+ 與 y= - x3 3 2+3x+8 聯(lián)立成方程組得： 5 40 4 y - x x 3 3 x 8 3 ,解得 , 1 y 0 100 y - x 2 3 x 8 1 y 2,P (24 100, )或 P (8,0), 3 9綜上所述，當CED 的面積最大時，在拋物線上存在點 P(點 E 除外)， eq oac(,使)PCD 的面積等于CED 的最大面積，點 P 的坐標為：(34 200 4 100,- )或( , )或(8,0). 3 9

25、 3 92.(1)解：二次函數(shù) y=ax +bx+3 過點 A(-3，0)、B(1，0)，9a - 3b 3 0 a -1 ,，解得 ，a b 3 0 b -2二次函數(shù)的表達式為 y=x 2x+3.(2)證明：由(1)知二次函數(shù)的表達式為 y=x 2x+3， 令 x=0，則 y=3,點 C 的坐標為(0，3)，OC=3，又點 A、H 的坐標分別為(-3,0)、(3,0)， OA=OH=OC=3， OCHOHC，ADGC，OCHODA,OHC=OAD,OADODA, OA=OD=OC=OH=3，又 AHCD,四邊形 ACHD 為正方形.(3)解：S =S + ，四邊形 ADCM 四邊形 AOCM

26、 eq oac(,S)AOD第 2 題解圖222S =S22四邊形 AOCM2222112沈進老師專用資料由(2)知 OA=OD=3， =eq oac(,S)AOD1 933= ，2 2點 M(t,p)是直線 y=kx 與拋物線 y= -x -2x+3 在第二象限內(nèi)的交點，點 M 的坐標為(t,-t-2t+3)，如解圖，作 MKx 軸于點 K,MEy 軸于點 E，則 MK=-t -2t+3,ME=t=-t， 四邊形 AOCM AOM eq oac(,+S)MOC=1 13(-t -2t+3)+ 3(-t)， 2 23 9 9即 S = - t - t+ ，2 2 2S S + =- 四邊形 A

27、DCM 四邊形 AOCM eq oac(,S)AOD3 9 9 9 3 9 t - t+ + = - t - t+9,2 2 2 2 2 2S= -3 9t - t+9,-3t0. 2 2設(shè)點 N 的坐標為(t ,p ),過點 N 作 NFy 軸于點 F，1 1NF=t ,又由知 ME=t，1則 SCMN=SCOM+S1= OC(t+t )， CON 1又點 M(t,p)、N(t ,p )分別在第二、四象限內(nèi)，1 1t0, t 0, = 1 eq oac(,S)CMN32(t -t), 1即3 21 7 (t -t)= ，t -t= .2 4 2由直線 y=kx 交二次函數(shù)的圖象于點 M、N

28、得：y kxy - x 2 - 2 x 3,則 x +(2+k)x-3=0,x=- (2 k ) (2 k )22- 4 1(-3),即 t=- (2 k ) - (2 k ) 2 - 4 1(-3)2,t =1- (2 k ) (2 k )22- 4 1(-3),t -t= 1(2 k) 2 12=72,22122122222220沈進老師專用資料72是(2+k) +12 的算術(shù)平方根,(2+k) +12=4943 5,解得 k =- ,k =- ,2 2又(k+2) +12 恒大于 0，且 k0, 3 5k =- ,k =- 都符合條件. 2 23(i)若 k= - ,有 x23+(2-

29、)x-3=0,23解得 x =-2,x = (不符合題意，舍去); 1 25 5(ii)若 k= - ,有 x +(2- )x-3=0,2 2解得 x =-332,x =2(不符合題意，舍去)， 4t= -2 或-32，當 t= -2 時,S=12;當 t=-3 99 時,S= ，2 8S 的值是 12 或998.3.解：（1）將 A(-3，0)，C(0，3)代入 y=-x +bx+c,c 3得 - 9 - 3b c 0b -2,解得 c 3.拋物線的解析式為 y= -x -2x+3.(2 存在，由(1)知拋物線的解析式可化為頂點式 y=-(x+1) +4，則 D(-1，4)，當 P 在DAB

30、 的平分線上時，如解圖，作 PMAD，設(shè) P(-1，y )，0sinADE=AE 2 5= = ，PE=y , AD 2 5 5則 PM=PDsinADE=55(4-y ),0PM=PE,第 3 題解圖55(4-y )=y , 0 0解得 y = 5 -1.0EBCeq oac(,S)FBCeq oac(,S)FBC22沈進老師專用資料當 P 在DAB 的外角平分線上時，如解圖，作 PNAD,設(shè) P(-1，y )，0PE=-y ,0則 PN=PDsinADE=PN=PE,55(4-y ),055(4-y )=-y ，解得 y =- 5 -1. 0 0 0第 3 題解圖存在滿足條件的點 P，且點

31、 P 的坐標為（-1，5-1）或（-1，-5-1）.(3)存在. =3,2S =3S , eq oac(,S)EBC FBC EBC =eq oac(,S)FBC3 3 9 S 3 ,2 2 2過點 F 作 FHx 軸，交 BC 的延長線于點 Q，如解圖,連接 BF,設(shè) BF 交 y 軸于點 M，易得BMCBFQ，OB CM ，OB OH QF即 CMOB QFOB OH，1 1 1 CM OB+ CM OH OB QF. 2 2 21 1 9 = FQ OB= FQ= ,2 2 2FQ=9.BC 的解析式為 y=-3x+3，設(shè) F(x ,-x -2x +3),則 Q 點的坐標為（x ,-3x

32、 +3）,0 0 0 0 0QF=-3x +3+x +2x -3=9,0 0 0或1- 37 1 37 解得 x =02 2滿足條件的點 F 的坐標是(舍去)，1- 37 3 37 -15，2 2).第 3 題解圖22沈進老師專用資料4.解：（1）拋物線過點 A（0，4）、B（1，0）、C（5，0），設(shè)過 A、B、C 三點的拋物線的解析式為 y=a(x-1)( x-5)(a0)，將點 A（0，4）代入 y=a(x-1)(x -5)，得 a=4 24此拋物線的解析式為 y=x - x+4,5 5拋物線過點 B（1，0）、C（5，0），拋物線的對稱軸為直線 x5=3.（2）存在，如解圖，連接 AC

33、 交對稱軸于點 P，連接 BP、BA, 點 B 與點 C 關(guān)于對稱軸對稱，PB=PC,AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,AB 為定值，且 AP+PCAC,當 A、P、C 三點共線時PAB 的周長最小， A（0，4）、C（5，0），設(shè)直線 AC 的解析式為 y=ax+b(a0)，第 4 題解圖b 4將 A、C 兩點坐標代入解析式得 5a b 0 4a -解得 5 ,b 4,直線 AC 的解析式為 y= -x+4.在 y= -4 8 x+4 中，當 x3 時，y= ，5 5P 點的坐標為（3，85），即當對稱軸上的點 P 的坐標為（3，85）時，ABP 的周長最小.（3）在直線 AC

34、 下方的拋物線上存在點 N，使NAC 面積最大.如解圖，設(shè) N 點的橫坐標為 t，4 24此時點 N（t, t - t+4）（0t5），5 5過點 N 作 y 軸的平行線，分別交 x 軸、AC 于點 F、G，過點 A 作 ADNG，垂足為點 D，222 222222沈進老師專用資料由（2）可知直線 AC 的解析式為 y= -4 4把 x=t 代入 y= -x+4 得 y- t+4， 5 5x+4，4則 G 點的坐標為（t，- t+4 ），54 4 24 4此時，NG- t+4-（ t - t+4）- t +4t. 5 5 5 5ADCFOC5，1 1 S NG AD NG CF eq oac(

35、,S)NAC ANG eq oac(,S)CGN1 1 4NG OC= （- t +4t）5-2t +10t2 2 5-2（t-5 25） + .2 2-20，即在對稱軸處取得最大值.當 t=5 25 時，NAC 面積有最大值為 ，2 2第 4 題解圖5 4 24由 t= ，得 y= t t+4-3， 2 5 5N（52，-3）.存在滿足條件的點 N，使NAC 的面積最大，N 點的坐標為（ 三、與特殊三角形有關(guān)的問題52,-3）.1.（2015 岳陽）如圖，拋物線 y=ax+bx+c 經(jīng)過 A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點.求拋物線的解析式；如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使

36、得四邊形 PAOC 的周長最?。咳舸嬖?， 求出四邊形 PAOC 周長的最小值；若不存在，請說明理由；如圖，點 Q 是線段 OB 上一動點，連接 BC,在線段 BC 上是否存在這樣的點 M，使CQM 為等腰三角形且BQM 為直角三角形？若存在，求點 M 的坐標；若不存在，請說 明理由.22. 如圖，直線 y=-沈進老師專用資料圖圖第 1 題圖x+2 與 x 軸交于點 B，與 y 軸交于點 C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 B、C 和點 A（-1，0）.求 B、C 兩點坐標；求該二次函數(shù)的關(guān)系式；若拋物線的對稱軸與 x 軸的交點為點 D，則在拋物線的對稱軸上是否存在點 P，使PCD是以 CD 為腰的等

37、腰三角形？如果存在，直接寫出 P 點的坐標；如果不存在，請說明理由；（4）點 E 是線段 BC 上的一個動點，過點 E 作 x 軸的垂線與拋物線相交于點 F，當點 E 運動到什么位置時，四邊形 CDBF 的面積最大？求出四邊形 CDBF 的最大面積及此時 E 點的 坐標.第 2 題圖【答案】針對演練1.解：（1）點 A（1，0），B（4,0）在拋物線上， 設(shè)拋物線解析式為 y=a(x-1)(x-4)，將點 C（0,3）代入得 a(0-1)(0-4)=3，3解得 a= ，4拋物線解析式為 y=3 15即 y=x - x+3.4 4(x-1)(x-4)，（2）存在.連接 BC 交對稱軸于點 P，連

38、接 PA,如解圖,點 A 與點 B 關(guān)于對稱軸 x=52對稱，BCPB+PC=PA+PC，即當點 P 在直線 BC 上時，四邊形 PAOC 的周長最小，- m 342 m沈進老師專用資料在 eq oac(,Rt)BOC 中，OB=4，OC=3，BOC=90，BC=OB 2 OC2=5，四邊形 PAOC 的周長的最小值為 OA+OC+BC=1+3+5=9. （3）存在.設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+t， 34k t 0 k -將點 B(4,0)，點 C（0,3）代入得 ，解得 4 ，t 3t 3第 1 題解圖直線 BC 的解析式為 y= -x+3.點 M 在 BC 上，設(shè)點 M 的坐標為（

39、m,-m+3）（0m4），要使CQM 是等腰三角形， eq oac(,且)BQM 是直角三角形，則只有以下兩種情況， ()當 MQOB，CM=MQ 時，如解圖所示，則 CM=MQ=-m+3,3 3MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+ m，4 4OC MQ 3 由 sinCBO= = = ，BC BM 533 3即 = ，解得 m= , 3 5 24則點 M 的坐標為（3 15, ）；2 8()當 CM=MQ,MQBC 時，如解圖， 過 M 作 MNOB 于 N，3則 ON=m,MN=- m+3,4第 1 題解圖在 eq oac(,Rt)BMN 中，易得 BM= 5=- m+5，4MN 5

40、 3= (- m+3)sinMBN 3 4CM=BC-BM=54m，在 eq oac(,Rt)BMQ 中，QM=BMtanMBQ=3 5 5由 CM=MQ 得(- m+5)= m， 4 4 43 5(- m+5)，4 4第 1 題解圖221232223解得 m=沈進老師專用資料12 12 12，此時點 M 的坐標為（ , ）.7 7 7綜上所述，存在滿足條件的點 M,點 M 的坐標為（ 2. 解：（1）令 x=0，可得 y=2，令 y=0，可得 x=4，即點 B（4，0），C（0，2）.（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=ax +bx+c， 將點 A、B、C 的坐標代入解析式得，3 15 12 1

41、2 , ）或（ ， ）.2 8 7 7a- b c 0 16a 4b c 0 c 2 1a -2 3 ,解得 b b2c 2,1 3即該二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=- x + x+2.2 23 3 5 3 5（3）存在.滿足條件的點 P 的坐標分別為 P （ ,4），P （ , ）,P ( ,- ).2 2 2 2 2【解法提示】y= -1 3x + x+2， 2 2y=-1 3 25 （x- ） + ，2 2 8拋物線的對稱軸是 x=32，OD=32C（0，2），OC=2在 eq oac(,Rt)OCD 中，由勾股定理得 CD=52CDP 是以 CD 為腰的等腰三角形， CP =DP =DP =

42、CD1 2 3如解圖所示，作 CE對稱軸于點 E， EP =ED=2，DP =41 1P （13 3 5 3 5 ，4），P （ ， ），P （ ，- ）.2 2 2 2 2第 2 題解圖（4）如解圖，過點 C 作 CMEF 于點 M，222222222設(shè) E（a，-沈進老師專用資料1 1 3a+2），F(xiàn)（a，- a + a+2），2 2 21 3 1EF=- a + a+2-（- a+2）2 2 2=-a +2a（0a4）S = +S + 四邊形 CDBF eq oac(,S)BCD CEF eq oac(,S)BEF第 2 題解圖=1 1 1BD OC+ EF CM+ EFBN 2 2 2

43、5 1 1 1 1= + a（- a +2a）+ （4-a） （- a +2a） 2 2 2 2 25=-a +4a+2=-（a-2） +132（0a4）,a=2 時，S四邊形 CDBF 最大=132，E（2，1）四 、與特殊四邊形有關(guān)的問題1. （2015 重慶模擬）已知正方形 OABC 中，O 為坐標原點，點 A 在 y 軸的正半軸上，點 C 在 x 軸的正半軸上，點 B（4，4）.二次函數(shù) y= -16x +bx+c 的圖象經(jīng)過點 A、B.點 P（t，0）是 x 軸上一動點，連接 AP.求此二次函數(shù)的解析式；如圖，過點 P 作 AP 的垂線與線段 BC 交于點 G，當點 P 在線段 OC

44、（點 P 不與點 C、 O 重合）上運動至何處時，線段 GC 的長有最大值，求出這個最大值；（3）如圖，過點 O 作 AP 的垂線與直線 BC 交于點 D，二次函數(shù) y= -16x +bx+c 的圖象上是否存在點 Q，使得以 P、C、Q、D 為頂點的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形？若存在， 求出 t 的值；若不存在，請說明理由.圖圖備用圖222沈進老師專用資料第 1 題圖2. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù) y=x +bx+c 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點，A 點在原點左側(cè)，B 點的坐標為（4，0），與 y 軸交于 C（0，-4）點，點 P 是直線 BC 下方的拋物 線上一動點.

45、求這個二次函數(shù)的表達式;連接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四邊形 POPC，那么是否存在點 P，使四邊形 POPC 為菱形？若存在，請求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由;（3）當點 P 運動到什么位置時，四邊形 ABPC 的面積最大？求出此時 P 點的坐標和四邊形 ABPC 的最大面積.【答案】1.解：（1）B（4，4），AB=BC=4，四邊形 ABCO 是正方形， OA=4，A（0，4），將點 A（0，4），B（4，4）代入 y= -16第 2 題圖x +bx+c，得c 4 1- 16 4b c 4 6，b解得 ，c 4二次函數(shù)解析式為 y=-（2）P（ t，0），

46、OP=t，PC=4-t，1 2x + x+4.6 32222沈進老師專用資料APPG，APO+CPG=180-90=90， OAP+APO=90，OAP=CPG，又AOP=PCG=90， AOPPCG，即AO OP= ，PC GC4 t= ，4 - t GC整理得，GC=-14（t-2） +1，當 t=2 時，GC 有最大值是 1，即 P（2，0）時，GC 的最大值是 1.（3）存在點 Q，使得以 P、C、Q、D 為頂點的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形 理由如下：如解圖、，易得OAP=COD，在AOP 和OCD 中，OAP CODOA OCAOP OCD 90,AOPOCD（ASA）， O

47、P=CD，第 1 題解圖由 P、C、Q、D 為頂點的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形得，PCDQ 且 PC=DQ， P（t，0），D（4，t），PC=DQ=|t-4|，點 Q 的坐標為（t，t）或（8-t，t），當 Q（t，t）時，-1 2t + t+4= t， 6 3整理得，t+2t-24=0，解得 t =4（舍去），t =-6，1 2當 Q（8-t，t）時，-1 2（8-t） + （8-t）+4=t， 6 3第 1 題解圖222222沈進老師專用資料整理得，t -6t+8=0，解得 t =2，t =4（舍去），1 2綜上所述，存在點 Q（-6，-6）或（6，2），使得以 P、C、Q、D

48、為頂點的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形2.解：（1）將 B、C 兩點的坐標代入得：16 4b c 0 b -3 ，解得 ，c -4 c -4二次函數(shù)的表達式為 y=x -3x-4.（2）存在點 P，使四邊形 POPC 為菱形；設(shè) P 點坐標為（x，x -3x-4），PP交 CO 于點 E，若四邊形 POPC 是菱形，則有 PC=PO；如解圖，連接 PP，則 PECO 于點 E，C（0，-4），CO=4，又OE=EC，OE=EC=2，y=-2，x-3x-4=-2，第 2 題解圖解得 x =13 17 3 - 17，x =2 2（不合題意，舍去），P 點的坐標為（3 172，-2）.（3）如解

49、圖，過點 P 作 y 軸的平行線與 BC 交于點 Q，與 OB 交于點 F，設(shè) P（x，x -3x-4）， 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+d，d -4 k 1 則 ,解得 4k d 0 d -4，直線 BC 的解析式為 y=x-4，則 Q 點的坐標為（x，x-4）；2222沈進老師專用資料當 0=x -3x-4，解得：x = -1，x =4， 1 2AO=1，AB=5，S =S +S +S 四邊形 ABPC ABC BPQ CPQ第 2 題解圖=1 1 1AB OC+ QP BF+ QP OF 2 2 21 1 1= 54+ （4-x）x-4-（x -3x-4）+ xx-4-（x 2 2

50、 2=-2x +8x+10-3x -4）=-2（x-2）2+18,當 x=2 時，四邊形 ABPC 的面積最大，此時 P 點的坐標為（2，-6），四邊形 ABPC 的面積的最大值為 18 五、與三角形相似有關(guān)的問題1. （2015 廣元）如圖，已知拋物線 y-1m（x+2）（x-m）（m0）與 x 軸相交于點 A、B，與 y 軸相交于點 C，且點 A 在點 B 的左側(cè).若拋物線過點 G（2，2），求實數(shù) m 的值.在（1）的條件下，解答下列問題：求ABC 的面積.在拋物線的對稱軸上找一點 H，使 AH+CH 最小，并求出點 H 的坐標.（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點M，使得以點 A、B

51、、M 為頂點的三角形 eq oac(,與)ABC 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，請說明理由.第 1 題圖2. 如圖，拋物線經(jīng)過 A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點.求出拋物線的解析式；P 是拋物線上一動點，過 P 作 P Mx 軸，垂足為 M，是否存在 P 點，使得以 A，P，M 為頂點的三角形 eq oac(,與)OAC 相似？若存在，請求出符合條件的點 P 的坐標；若不存在，請 說明理由；eq oac(,S)ABC沈進老師專用資料（3）在直線 AC 上方的拋物線上有一點 D，使得DCA 的面積最大，求出點 D 的坐標.第 2 題圖【答案】1.解：(1)拋物線過點 G(2

52、，2)，2=-1m(2+2)(2-m)，m=4.(2)y=0,-1m(x+2)(x-m)=0，解得 x =-2,x =m,1 2m0,A(-2,0)、B(m,0),又m=4,AB=6.令 x=0,得 y=2,C(0,2), OC=2， =1ABOC= 626.2第 1 題解圖m=4，拋物線 y= -14(x+2)(x-4)的對稱軸為 x=1，如解圖，連接 BC 交對稱軸于點 H，由軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)可知， 此時 AH+CH=BH+CH=BC 最小.設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b(k0).4k b 0 k - 則 ,解得 b 2b 2,1直線 BC 的解析式為 y=- x+2.2第 1 題解圖當 x=1 時，y=323,H(1, ).22222沈進老師專用資料(3)存在.如解圖，分兩種情況討論：()當ACBABM 時，AC AB= ，AB AM即 AB =AC AM.A(-2,0),C(0,2)，即 OA=OC=2,CAB=45,BAM=45.過點 M 作 MNx 軸于點 N， 則 AN=MN，OA+ON=2