矩陣的三角分解

1、矩陣的三角分解13.2 矩陣的三角分解法我們知道對矩陣進(jìn)行一次初等變換，就相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣去左乘原來的矩陣。因此我們這個(gè)觀點(diǎn)來考察Gauss消元法用矩陣乘法來表示，即可得到求解線性方程組的另一種直接法：矩陣的三角分解。 23.2.1 Gauss消元法的矩陣形式33.2.2 Doolittle分解4Doolittle分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，則稱該分解為Doolittle分解，可以證明，當(dāng)A的各階順序主子式均不為零時(shí)，Doolittle分解可以實(shí)現(xiàn)并且唯一。5A的各階順序主子式均不為零，即6Doolittle分解7Doolittle分解8Doolit

2、tle分解9Doolittle分解10Doolittle分解11Doolittle分解12例題13例題14例題15例題16例題17Doolittle分解18Crout分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣，則稱該分解為Crout分解，若矩陣A的Doolitlle分解為A=LU ，則矩陣AT的Crout分解為UTLT。所以得到計(jì)算Crout分解的計(jì)算方法如下：19Cruou分解20Crout分解213.2.3 對稱正定矩陣的Cholesky分解在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，線性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對稱正定這一性質(zhì)，因此利用對稱正定矩陣的三角分解式求解對稱正定方程組的一種有效方法，且

3、分解過程無需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。 22對稱正定矩陣的Cholesky分解 A對稱：AT=A A正定：A的各階順序主子式均大于零。即 23對稱正定矩陣的Cholesky分解24對稱矩陣的Cholesky分解定理3.2.4 設(shè)A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,dn)且di0(i=1,n)25對稱矩陣的Cholesky分解證明： 26對稱矩陣的Cholesky分解27對稱矩陣的Cholesky分解28對稱矩陣的Cholesky分解推論：設(shè)A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解 其中L為具有主對角元素為正數(shù)的下三角矩陣。29對稱矩陣的Cholesky分解證明： 30Cholesky分解的求法31Cholesky分解的求法32Cholesky分解的求法33Cholesky分解法Cholesky分解法缺點(diǎn)及優(yōu)點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：可以減少存儲單元。 缺點(diǎn)：存在開方運(yùn)算，比較耗時(shí)。34改進(jìn)Cholesky分解法改進(jìn)的cholesky分解A=LDLT35改進(jìn)的cholesky分解36改進(jìn)的cholesky分解37改進(jìn)的cholesky分解算法38改進(jìn)的cholesky分解算法39例題40例題41例題42例題43A=LDLT分解，既適合于解對稱正定方程組，也適合求解A為對稱，而各階順序主子式不為零的方程組而對A=LLT只適合于對稱正定方程組44