力學(xué)量用算符表達(dá)

1、 提綱 力學(xué)量用算符表達(dá)18-11 量子力學(xué)的基本假設(shè) 本征值和本征函數(shù)18-10 勢壘貫穿（復(fù)習(xí)）例題：線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程及解作業(yè)：講義：12，15118-10 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的 動能為正,它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動。即粒子運(yùn)動 到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。OIIIIII求一個動量和能量已知的粒 子受到勢場的作用后，被散 射到各個方向去的幾率。在量子力學(xué)中,無論粒子能量是大于還是 小于 都有一定的幾率穿過勢壘，也有 一定的幾率被反射。我們下面只就 時(shí)，討論薛定諤方程的解。2勢壘的勢場分布寫為：在三個區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)遵從的 薛定諤方程分別為：OIII

2、III定態(tài)薛定諤方程 的解又如何呢？3令：定態(tài)解的含時(shí)部分：三個區(qū)間的薛定諤方程化為：4若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波 反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)， 在III區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大 于在處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：時(shí)、空異號 為右行波5求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應(yīng)當(dāng) 時(shí)，勢壘的寬度約50nm 以上時(shí)， 貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應(yīng)在 實(shí)際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。6 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于 表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表

3、面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度約為1nm。只要將原子線度的極細(xì)探針 以及被研究物質(zhì)的表面作為 兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的 距離非常接近時(shí)，它們的表 面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖 之間加一微小電 壓Ub電子就會穿 過電極間的勢壘 形成隧道電流。隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。 若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品 方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy7因?yàn)樗淼离娏鲗︶樇馀c樣品間的距離十分敏感。 若控制針尖高度不變，通過隧道電流的變化可 得到表面電子態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀 測到單個

4、原子在物質(zhì)表面上 的排列狀態(tài)以及與表面電子 行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科 學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等 領(lǐng)域中有著重大的意義和廣 闊的應(yīng)用前景。空氣隙STM工作示意圖樣品探針利用STM可以分辨表面上 原子的臺階、平臺和原子 陣列?？梢灾苯永L出表面 的三維圖象8利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制 成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。 1989年提出成象技術(shù)。 它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性； 在恒流工作模式下有時(shí)對表面某些溝 槽不能準(zhǔn)確探測。任何一種技術(shù)都有 其局限性。見FPCAI、ZLCAI、CAIUPS軟件。 量子圍欄和分子人。9例題：線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程及解若選取

5、線性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選取 其為勢能的零點(diǎn)，則線性諧振子的勢能表示為：m是粒子的質(zhì)量，K是 諧振子的彈性系數(shù)。對經(jīng)典諧振子 它是角頻率。線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：它是變系數(shù)二階常微分方程，可解。10引進(jìn)無量綱參量 和方程化為：* 波函數(shù)在 時(shí)的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因?yàn)橹C振子是處于束縛態(tài)應(yīng)舍棄 解。 所以有當(dāng) 時(shí)11根據(jù)漸近行為方程解可寫為：上述厄米微分方程的解是個無窮級數(shù)。為了 保證束縛態(tài)邊界條件的成立，必須使這個級 數(shù)只包含有限項(xiàng)，其條件是：代入原方程應(yīng)滿足：12* 得出滿足束縛邊界條件的級數(shù)解是：稱為厄米多項(xiàng)式。它的前幾個為：普遍表達(dá)式：13* 能量本征值和零點(diǎn)能

6、因?yàn)椋核跃€性諧振子的能級只能取分立值，能級間隔相等。線性諧振子基態(tài)能：14有關(guān)光被晶體散射的實(shí)驗(yàn)， 證明在趨于絕對零度時(shí)，散 射光的強(qiáng)度趨于一確定值。 說明原子有零點(diǎn)振動存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態(tài)氦也不會 變成固體，具有顯著的零點(diǎn)能效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)事實(shí)：* 能量本征函數(shù)和宇稱線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)15線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度16線性諧振子 n=11 時(shí)的幾率密度分布在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短，粒子出現(xiàn)的 幾率??；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾率最大。 虛線是經(jīng)典結(jié)果。17可見當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，稱線性諧振子處于偶宇稱?？梢姰?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，稱線性諧振子處于奇宇稱。隨量子數(shù)n增大，量子諧振子

7、的幾率密度迅速 震蕩，其平均值與經(jīng)典結(jié)果趨于符合。相似性 逐漸增大。在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短，粒 子出現(xiàn)的幾率小；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾 率最大。18波函數(shù)的模方 代表粒子在 t 時(shí)刻 r 處的 幾率密度。波函數(shù)是幾率波，滿足波的疊加。18-11 量子力學(xué)的基本假設(shè)量子體系的狀態(tài)由波函數(shù)完全描述?？捎^測的力學(xué)量對應(yīng)一個線性厄米算符。力學(xué)量算符的本征值方程 中的本征值 對應(yīng)該力學(xué)量的一切可 測量值。 19其展開系數(shù)的模方 就是在該態(tài) 中測量 到與算符 相應(yīng)的本征態(tài) 其本征值的幾率。力學(xué)量算符的本征函數(shù) 構(gòu)成完備正交系力學(xué)量的平均值：任何態(tài)函數(shù) 均可以用力學(xué)量算符的本征 函數(shù)系，或一組力學(xué)量完

8、全集的共同本征 函數(shù)系來展開。例如：20函數(shù)隨時(shí)間的演化服從薛定諤波動方程對于全同粒子系的狀態(tài)，粒子的交換不改變 系統(tǒng)的狀態(tài)全同性原理。其中 是系統(tǒng)的哈密頓算符21除了位置和動量以外，其中一類以坐標(biāo)為函數(shù) 的力學(xué)量，其量子力學(xué)所對應(yīng)的算符形式不變。 如勢能 和作用力 。 力學(xué)量用算符表達(dá)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，與經(jīng)典力學(xué)量對應(yīng)的量子力學(xué) 中的算符形式：另一類經(jīng)典力學(xué)量是與動量有關(guān)，其量子力學(xué) 所對應(yīng)的算符可用動量的對應(yīng)關(guān)系得出，例如 動能算符的表達(dá)式：22角動量算符的表達(dá)式：23角動量算符的模方定義為：球坐標(biāo)24 本征值和本征函數(shù)是力學(xué)量A 取確定值 時(shí)的本征態(tài)稱上式為算符 的本征值方程。 是力學(xué)量A的

9、一個本征值。由本征值方程解出的全部本征值 就是相應(yīng)力學(xué)量的可能取值。當(dāng)力學(xué)量算符 作用在波函數(shù) 上，其結(jié)果是 同一個函數(shù)乘以一個常量時(shí)： 25則稱本征值 是 重簡并的。稱 為簡并度簡并態(tài)的選擇不是唯一的。如果屬于本征值 的本征態(tài)不是一個，而是 個，即力學(xué)量A的本征方程為：矩陣代數(shù)中的厄米矩陣 矩陣代數(shù)中的本征矢 矩陣代數(shù)中的本征值 物理量算符微觀粒子的定態(tài)與定態(tài)對應(yīng)的 物理量的確定值26舉例：動量算符的本征值方程是式中 是動量算符的本征值，在直角坐標(biāo)系下 為 均為實(shí)數(shù)。動量本征值方程的解：它就是 的單色平面波，在量子力 學(xué)中，平面波代表粒子有確定的動量、在 空間各處出現(xiàn)的幾率相同的狀態(tài)。27力學(xué)量算符必須是線性厄米算符。* 厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)。* 厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)。* 當(dāng)出現(xiàn)簡并時(shí)，可以證明：總可以適當(dāng) 地線性組合簡并態(tài)，使之彼此正交。線性厄米算符的性質(zhì)：* 厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù) 彼此正交。厄米算符28力學(xué)量的完全集、本征函數(shù)的完全性通常一個力學(xué)量 的本征值是簡并的,這時(shí)必 定存在獨(dú)立于 ,而又