一、問題的提出 如圖1,有一條河,兩個(gè)工廠P 和Q位于河岸L

1、一、問題的提出如圖1，有一條河，兩個(gè)工廠P 和Q位于河岸L（直線）的同一側(cè)，工廠 P 和 Q 距離河岸L分別為8千米和10千米，兩個(gè)工廠的距離為14千米，現(xiàn)要在河的工廠一側(cè)選一點(diǎn)R，在R處建一個(gè)水泵站，向兩工廠P、Q 輸水，請(qǐng)你給出一個(gè)經(jīng)濟(jì)合理的設(shè)計(jì)方案。8l10Q14P河圖1R即找一點(diǎn) R ，使 R 到P、Q及直線 l 的距離之和為最小。1二、提出方案8l10Q14P河圖12 水泵站R建立在河邊（即L上），則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點(diǎn)R，使|RP|RQ|為最小。方案一：8l10Q14P河圖1R3 水泵站R建立在河邊（即L上），則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點(diǎn)R，使|RP|RQ|為最小。方案一：8l10Q

2、14P河圖1水泵站R不建在河邊，則問題轉(zhuǎn)化為要在L的P、Q一側(cè)找點(diǎn)R，使R到P、Q及L的距離之和最小。方案二：8l10Q14P河圖2RR4三、論證方案8l10Q14P河圖1R8l10Q14P河圖2R方案一：方案二：5、對(duì)于方案一：聯(lián)想平幾知識(shí)，用光學(xué)性質(zhì)建模： 作點(diǎn)Q關(guān)于直線L的對(duì) 稱點(diǎn)Q ，連 P Q 交 L于R，則R為所求（如圖） 這樣所需直線輸水管的總長(zhǎng)度為：S(R )| PQ | 22.72千米。lPQRQS6三、論證方案8l10Q14P河圖1R8l10Q14P河圖2R方案一：方案二：72、對(duì)于方案二PQRQ這里建立的是關(guān)于x、y的二元函數(shù)模型，但求解困難。yxO思路一： 圖 建立如圖

3、的坐標(biāo)系，則易得P（0，10）、Q（ 8 ，8）設(shè)點(diǎn)R(x , y ) ，則S(R)|PR| + |RQ| + |RM| 。8用判別式法可得 S(R)21或S(R) 3.因?yàn)镾(R)0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y 5，于是Q( , 2 )PQ的直線方程為y ，把y 5代入得x5，故|RP|= =10 (km), | RQ|= = 6(km) , R到河岸的距離為5(km)。yx如圖4，過R作L/x 軸，則問題轉(zhuǎn)化為在 L上找點(diǎn)R，使RPRQ為最小。作Q關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn) Q，則S(R)| RP | | RQ | y | PQ |y ，取這樣的 R，使 S(R)| PQ |y 則S(

4、R) (1)思路二PQRMl圖4Q9若把|PR| |RQ|看作定值，則R在以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓上，故這需在橢圓找點(diǎn)R，作R到L的距離最小，因此可考慮運(yùn)用橢圓的定義和直線與橢圓的關(guān)系建模。思路三： PQ圖5o如圖5所示，建立直角坐標(biāo)系， P、Q為橢圓的焦點(diǎn)，L /L，且L切橢圓于R，根據(jù)題意，易求出直線L為：x4 y630 (1)設(shè)L為： x4 yn0 (2)yxLLR10橢圓方程為： (3)聯(lián)立(2) (3)，化簡(jiǎn)得 (4)根據(jù)L為橢圓的切線，得0解得：n2 4 9（a248）。由題意n 0 ，則n7 ，所以直線L 為：x4 y7 0.所以L與L的距離為：故輸水管的總長(zhǎng)度：S(R) 2a 9

5、(5)用法，可得S(R)21或S(R) 3，由于S(R)0， 則S(R)21，即S(R)的最小值為21, 代入(5),解得a8,從而d5,進(jìn)一步可求出|PR|10, |PQ|6。11思路四： 如圖6 ， AB/L ， RH L， PRAQRB30. 設(shè)QB=x 則 PAx2，AR (x2)，RB x 由 AB8， 得 (x2) x 8 。 所以 x3 ，從而 RP10,PQ6 ,RH5 .PQRABCDH圖6l聯(lián)想經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用費(fèi)爾馬點(diǎn)建模12四、論證結(jié)論R8l10Q14P河*方案二更經(jīng)濟(jì)合理* 即選這樣的點(diǎn) R ，使 R 到河岸 L 的距離為5千米，到工廠 P 的距離為10千米，到工廠 Q 的距離為6千米，這時(shí)所需總水管的長(zhǎng)度為21千米。13、若將直線 L縮成一個(gè)點(diǎn)（如向水庫(kù)取水），則問題就是在三角形內(nèi)求一點(diǎn)R，使R到三角形三頂點(diǎn)的距離之和為最?。ù它c(diǎn)即為費(fèi)爾馬點(diǎn)）。五、問題引申河PQ圖 、若取水的河道不是直線，是一段圓?。ㄈ鐖D），該如何選點(diǎn)？14 、數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型就是通過抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)實(shí)際現(xiàn)象給予推理、論證，從而