高一數(shù)學(xué)下學(xué)期知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題(解析)

1、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圓半徑）適用情況：（1）已知兩角和一邊，求其他邊或其他角； （2）已知兩邊和對(duì)角，求其他邊或其他角。 變形： ， ， =（二）余弦定理：=（求邊），cosB=（求角）適用情況：（1）已知三邊，求角；（2）已知兩邊和一角，求其他邊或其他角。（三）三角形的面積： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 ； = 4 * GB3 ； = 5 * GB3 ； = 6 * GB3 （其中，r為內(nèi)切圓半徑）（四）三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，（五）ABC射影定理：，（六）三角邊角關(guān)系：（1）在中，； ； （2）邊關(guān)系：

2、a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）大邊對(duì)大角：考點(diǎn)剖析（一）考查正弦定理與余弦定理的混合使用例1、在ABC中，已知,且=2, ,求的長(zhǎng).例1、解：由正弦定理，得 又 由余弦定理，得 入，得例2、如圖所示，在等邊三角形中，為三角形的中心，過的直線交于，交于，求的最大值和最小值例2、【解】由于為正三角形的中心，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故當(dāng)時(shí)取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值變式1、在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為，已知，（）求的大小；（）求的值變式1、解（）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 變式2、在中

3、，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值； （II）若，求的值。 變式2、解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 （二）考查正弦定理與余弦定理在向量與面積上的運(yùn)用例3、如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？例3、解：設(shè)，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四邊形OACB的面積為 S=SAOB+ SABC 因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形OACB面積最大例4、在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，（1）求角C的大?。?（2）求ABC的面積例4、解：（1）由 4co

4、s2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得c2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC 變式3、已知向量，且，其中是ABC的內(nèi)角，分別是角的對(duì)邊.(1) 求角的大??；（2）求的取值范圍.變式3、解：（1）由得由余弦定理得 (2) = 即.（三）考查三角形形狀的判斷例5、在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為。判斷ABC的形狀；求ABC的面積。例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=

5、sin(A+C),從而（#）式變?yōu)閟in(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大邊長(zhǎng)為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16變式4、在ABC中，若.(1)判斷ABC的形狀； (2)在上述ABC中，若角C的對(duì)邊，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。變式4、解：（1）由 可得 即C90 ABC是以C為直角頂點(diǎn)得直角三角形 （2）內(nèi)切圓半徑 內(nèi)切圓半徑的取值范圍是例7、在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀。所以，ABC為等邊三角形。變式8、在ABC

6、中，cos2eq f(B,2)eq f(ac,2c)，(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形eq f(a2c2b2,2ac)eq f(a,c)，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形答案：B變式9、ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷ABC的形狀。變式9、解:等腰直角三角形;數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一：通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系任意數(shù)列的前n項(xiàng)和；注意：由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：（1）求，（2）求出當(dāng)n2時(shí)的，（3）如果令n2時(shí)得出的中的n=1時(shí)有成立

7、，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個(gè)形式，否則就只能寫成分段的形式.知識(shí)點(diǎn)二：常見的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法1.迭加累加法：，則，2.迭乘累乘法：，則，知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問題1.數(shù)列應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型,有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問題屬于哪類應(yīng)用問題；弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)

8、量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.規(guī)律方法指導(dǎo)1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想；2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.3.加強(qiáng)數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、不等式、方程、對(duì)數(shù)、立體幾何、三角等內(nèi)容的綜合.解決這些問題要注意：（1）通過知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化，更好地掌握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（2）通過解數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合能力.經(jīng)典例題精析類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1在數(shù)列中，求.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常

9、數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等差數(shù)列.2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如的解析式，而的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列，求.【變式2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)且，則數(shù)列是等比數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等比數(shù)列.2若數(shù)列有形如的解析關(guān)系，而的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得.舉一反三：【變式1】在數(shù)列中，求.【變式2】已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3數(shù)列中，,，求.總結(jié)升華：1兩邊同時(shí)除

10、以可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于和的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而恰是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).2若數(shù)列有形如的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得.舉一反三：【變式1】數(shù)列中，求.【變式2】數(shù)列中，,，求.類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4已知數(shù)列中，求.總結(jié)升華：1一般地，對(duì)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，（為常數(shù)，）,則可設(shè)得，利用已知得即，從而將數(shù)列轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法均是常用的方法.2若數(shù)列有形如（k、b為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得.舉一反三：【變式1】已

11、知數(shù)列中，求【變式2】已知數(shù)列滿足,而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型五：和的遞推關(guān)系的應(yīng)用5已知數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)和，并且, .(1)設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問題中的常見策略.舉一反三：【變式1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的

12、通項(xiàng)公式.【變式2】若, ()，求.【變式3】等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，若.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.類型六：數(shù)列的應(yīng)用題6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？總結(jié)升華：本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問題，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，在求和后，利用二次函數(shù)求最短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的倍，則該企業(yè)2007年年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為（ ）A B C D【變式2】某人2006年1月31日存入若干萬元人民幣，年利率為，到2007

13、年1月31日取款時(shí)被銀行扣除利息稅（稅率為）共計(jì)元，則該人存款的本金為（）A1.5萬元 B2萬元 C3萬元 D2.5萬元【變式3】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬件）近似地滿足.按比例預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過萬件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月 【變式4】某種汽車購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用為10萬元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？（即年平均費(fèi)用最少）【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬平方米，計(jì)劃從

14、2007年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2007年底和2008年底的住房面積；（2）求2026年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01）高考題萃1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求；（）證明：是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式.2設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求的取值范圍一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函數(shù)yax2bxc的圖象、一元二次方程ax2bxc0的根與一元二次不等式ax2bxc0與ax2bxc000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實(shí)根xx1或xx2有兩相同

15、實(shí)根xx1無實(shí)根一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)x|xx2x|xx1Rax2bxc0)x|x1xx2若a0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對(duì)照上表求解1不等式x(12x)0的解集是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)B.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2) C(，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，) 答案：B2不等式9x26x10的解集是()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,3) B.eq

16、blcrc(avs4alco1(f(1,3) C.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,3)xf(1,3) DR答案：B3若關(guān)于x的方程x2mx10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,1) B(2,2) C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析：選C由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得：判別式0，即m240，解得m2或m2.4已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，則m_，n_.解析：因?yàn)閨x2|3，即5x1，所以A(5,1)，又AB，所以m0的解集為(，)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_；若關(guān)于

17、x的不等式x2axa3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 解析：由10，即a24(a)0，得4a0；由20，即a24(3a)0，得a6或a2.答案：(4,0)(，62，)一元二次不等式的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件若售價(jià)降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加eq f(8,5)x成要求售價(jià)不能低于成本價(jià)(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍自主解答(1)由題意得y100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,10)100

18、eq blc(rc)(avs4alco1(1f(8,50)x).因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,10)800.所以yf(x)20(10 x)(508x)，定義域?yàn)?,2(2)由題意得20(10 x)(508x)10 260，化簡(jiǎn)得8x230 x130.解得eq f(1,2)xeq f(13,4).所以x的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2).由題悟法解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進(jìn)行：(1)認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實(shí)際問題

19、以題試法3某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；公司B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元，第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算)假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總是小于17小時(shí)，那么該同學(xué)如何選擇ISP公司較省錢？解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則公司A收取的費(fèi)用為1.5x元，公司B收取的費(fèi)用為eq f(x35x,20)元若能夠保證選擇A比選擇B費(fèi)用少，則eq f(x35x,20)1.5x(0 x17)，整理得x25x0，解得0 x5，所以當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5小時(shí)內(nèi)時(shí)，選擇公司A的費(fèi)用少；超過5小時(shí)，選擇公

20、司B的費(fèi)用少基本不等式【2016年高考會(huì)這樣考】1考查應(yīng)用基本不等式求最值、證明不等式的問題2考查應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1突出對(duì)基本不等式取等號(hào)的條件及運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)練2訓(xùn)練過程中注意對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng)基礎(chǔ)梳理1基本不等式：eq r(ab)eq f(ab,2)(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號(hào))；(3)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)；(4)eq f(a2b2

21、,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq f(ab,2)，幾何平均數(shù)為eq r(ab)，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2eq r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是eq f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大) 一個(gè)技巧運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是abeq f(

22、a2b2,2)；eq f(ab,2)eq r(ab)(a，b0)逆用就是abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等 兩個(gè)變形(1)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))；(2) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)(a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個(gè)注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等

23、”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，則eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值為_；(2)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)eq f(2x,x21)的最大值為_審題視點(diǎn) 第(1)問把eq f(1,x)eq f(1,y)中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y

24、0，且2xy1，eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(2xy,x)eq f(2xy,y)3eq f(y,x)eq f(2x,y)32eq r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq f(y,x)eq f(2x,y)時(shí)，取等號(hào)(2)x0，f(x)eq f(2x,x21)eq f(2,xf(1,x)eq f(2,2)1，當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(1,x)，即x1時(shí)取等號(hào)答案(1)32eq r(2)(2)1 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”常用的方法為：拆、湊、代換、平方【訓(xùn)練1】 (1)已知x1，則f(x)xeq f(1,x1)的最小值為_(2)已知0 xeq f(2,

25、5)，則y2x5x2的最大值為_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，則xy的最小值為_解析(1)x1，f(x)(x1)eq f(1,x1)1213當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號(hào)(2)y2x5x2x(25x)eq f(1,5)5x(25x)，0 xeq f(2,5)，5x2,25x0，5x(25x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5x25x,2)21，yeq f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)5x25x，即xeq f(1,5)時(shí)，ymaxeq f(1,5).(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，eq f(2,y)eq f(8,x)1，xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,x

26、)f(2,y)10eq f(8y,x)eq f(2x,y)102eq blc(rc)(avs4alco1(f(4y,x)f(x,y)1022 eq r(f(4y,x)f(x,y)18，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(4y,x)eq f(x,y)，即x2y時(shí)取等號(hào)，又2x8yxy0，x12，y6，當(dāng)x12，y6時(shí)，xy取最小值18.答案(1)3(2)eq f(1,5)(3)18考向二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求證：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.審題視點(diǎn) 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到證明a0，b0，c0，eq f(bc,a)e

27、q f(ca,b)2 eq r(f(bc,a)f(ca,b)2c；eq f(bc,a)eq f(ab,c)2 eq r(f(bc,a)f(ab,c)2b；eq f(ca,b)eq f(ab,c)2 eq r(f(ca,b)f(ab,c)2a.以上三式相加得：2eq blc(rc)(avs4alco1(f(bc,a)f(ca,b)f(ab,c)2(abc)，即eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc. 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題【訓(xùn)練2

28、】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)9.證明a0，b0，c0，且abc1，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)eq f(abc,a)eq f(abc,b)eq f(abc,c)3eq f(b,a)eq f(c,a)eq f(a,b)eq f(c,b)eq f(a,c)eq f(b,c)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)f(a,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)f(a,c)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,b)f(b,c)32229，當(dāng)且僅當(dāng)abceq f

29、(1,3)時(shí)，取等號(hào)考向三利用基本不等式解決恒成立問題【例3】若對(duì)任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是_審題視點(diǎn) 先求eq f(x,x23x1)(x0)的最大值，要使得eq f(x,x23x1)a(x0)恒成立，只要eq f(x,x23x1)(x0)的最大值小于等于a即可解析若對(duì)任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，只需求得yeq f(x,x23x1)的最大值即可，因?yàn)閤0，所以yeq f(x,x23x1)eq f(1,xf(1,x)3)eq f(1,2 r(xf(1,x)eq f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，所以a的取值范圍是eq blcrc)(avs4

30、alco1(f(1,5)，)答案eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，) 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解【訓(xùn)練3】已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析由x0，y0，xyx2y2 eq r(2xy)，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值為10.答案10考向三利用基本不等式解實(shí)際問題【例3】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過5 m房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造

31、價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？審題視點(diǎn) 用長(zhǎng)度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可還應(yīng)注意定義域0 x5；函數(shù)取最小值時(shí)的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性解由題意可得，造價(jià)y3(2x150eq f(12,x)400)5 800900eq blc(rc)(avs4alco1(xf(16,x)5 800(0 x5)，則y900eq blc(rc)(avs4alco1(xf(16,x)5 8009002eq r(xf(16,x)5 80013 000(元)，

32、當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(16,x)，即x4時(shí)取等號(hào)故當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為4米時(shí)，總造價(jià)最低 解實(shí)際應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)：(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解【訓(xùn)練3】東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入100萬元科技成本并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n)eq f(80,r(n1).若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬元(1)求出f(n)的表達(dá)式；(2)求從今年算起第幾年利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬元？解(1)第n次投入后，產(chǎn)量為(10n)萬件，銷售價(jià)格為100元，固定成本為eq f(80,r(n1)元，科技成本投入為100n萬元所以，年利潤(rùn)為f(n)(