趙樹源線性代數(shù)線性代數(shù)第1講

1、線性代數(shù)第1講下載網(wǎng)址：http:/應(yīng)用數(shù)學(xué).cn1第一章 行列式1.1 二階,三階行列式2(一) 二階行列式a11a12a21a22-+3例1. 4例2. 設(shè)問: (1) 當(dāng)l為何值時(shí)D=0 (2) 當(dāng)l為何值時(shí)D05解: l2-3l=0, 則l=0, l=3.因此可得 當(dāng)l=0或l=3時(shí)D=0,(2) 當(dāng)l0且l3時(shí)D0.6(二) 三階行列式7畫線法記憶a11a12a13a21a22a23a31a32a33+-8例1.9例2. a,b滿足什么條件時(shí)有解:若要a2+b2=0, 必須a=0且b=0.10例3. 的充分必要條件是什么?解:a2-10 當(dāng)且僅當(dāng)|a|1111.2 n階行列式12(一

2、)排列與逆序由n個(gè)不同數(shù)碼1,2,n 組成的有序數(shù)組 i1i2in, 稱為一個(gè)n級(jí)排列.例如, 1234及2341都是4級(jí)排列, 25413是一個(gè)5級(jí)排列.13定義 1.1 在一個(gè)n級(jí)排列i1i2in中, 如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面(is1)共有n!個(gè)n級(jí)排列, 其中奇偶排列各占一半.21證: n級(jí)排列的總數(shù)為n(n-1)21=n!, 設(shè)其中奇排列為p個(gè), 偶排列為q個(gè).設(shè)想將每一個(gè)奇排列都施以同一的對(duì)換, 例如都對(duì)換(1,2), 則由定理1.1可知p個(gè)奇排列全部變?yōu)榕寂帕? 于是有pq; 同理如將全部偶排列也都施以同一對(duì)換, 則q個(gè)偶排列全部變?yōu)槠媾帕? 于是又有qp, 所以得出

3、p=q, 即奇偶排列數(shù)相等, 各為n!/2個(gè).用三級(jí)排列驗(yàn)證, 見表1-1, 奇偶排列各三個(gè)22(二) n階行列式的定義觀察二階行列式和三階行列式:23(1) 二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個(gè)元素乘積的代數(shù)和. 兩個(gè)元素的乘積可以表示為j1j2為2級(jí)排列, 當(dāng)j1j2取遍了2級(jí)排列(12, 21)時(shí), 即得到二階行列式的所有項(xiàng)(不包含符號(hào)), 共為2!=2項(xiàng).24三階行列式表示所有位于不同的行不同的列的3個(gè)元素乘積的代數(shù)和. 3個(gè)元素的乘積可以表示為j1j2j3為三級(jí)排列, 當(dāng)j1j2j3取遍了3級(jí)排列時(shí), 即得到三階行列式的所有項(xiàng)(不包含符號(hào)), 共為3!=6項(xiàng).25(2) 每一項(xiàng)的

4、符號(hào)是, 當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后, 如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào), 是奇排列則取負(fù)號(hào). 如在上述二階行列式中, 當(dāng)N(j1j2)為偶數(shù)時(shí)取正號(hào), 為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào); 在上述三階行列式中, 當(dāng)N(j1j2j3)為偶數(shù)時(shí)取正號(hào), 為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào).根據(jù)這個(gè)規(guī)律, 可給出n階行列式的定義.26定義1.2 用n2個(gè)元素aij(i,j=1,2,n)組成的記號(hào)稱為n階行列式, 其中橫排稱為行, 縱排稱為列. 它表示所有可能取自不同的行不同的列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和, 各項(xiàng)符號(hào)是: (接后)27當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后, 如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào), 是奇

5、排列則取負(fù)號(hào). 因此, n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項(xiàng)可以寫為:(1.3)其中j1j2jn構(gòu)成一個(gè)n級(jí)排列, 當(dāng)取遍所有n級(jí)排列時(shí), 則得到n階行列式表示的代數(shù)和中所有的項(xiàng).28一階行列式|a|就是a.行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為|aij|.由定理1.2可知: n階行列式共有n!項(xiàng), 且冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)(不算元素本身所帶的負(fù)號(hào))各占一半.29例如, 四階行列式所表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng).例如, a11a22a33a44項(xiàng)取正號(hào), a14a23a31a42項(xiàng)取負(fù)號(hào), a11a24a33a44不是D的一項(xiàng).30例1. 計(jì)算n階行列式的值, 其中aii0 (i=1,2,n).31解: D中各項(xiàng)

6、中不為零的項(xiàng)只有a11a22ann, 其它項(xiàng)均為零, 由于N(12n)=0, 因此這一項(xiàng)取正號(hào), 得稱這種形式的行列式為下三角行列式.32同理可得上三角行列式其中aii0 (i=1,2,n).33特殊情況:其中aii0 (i=1,2,n).這種行列式稱為對(duì)角形行列式.34三角形行列式及對(duì)角形行列式的值, 均等于主對(duì)角線上元素的乘積. 這一結(jié)論在以后行列式計(jì)算中可直接應(yīng)用.由行列式的定義不難得出: 一個(gè)行列式若有一行(或一列)中的元素皆為零, 則此行列式必為零.35定理1.3 n階行列式D=|aij|的一般項(xiàng)可以記為(1.4)其中i1i2in與j1j2jn均為n級(jí)排列.36證: 由于i1i2in

7、與j1j2jn都是n級(jí)排列, 因此(1.4)式中的n個(gè)元素是取自D的不同的行不同的列.如果交換(1.4)式中的兩個(gè)元素則其行標(biāo)排列由i1isitin換為i1itisin, 逆序數(shù)奇偶性改變, 列標(biāo)排列由j1jsjtjn換為j1jtjsjn,逆序數(shù)奇偶性也改變. 則對(duì)換后兩下標(biāo)排列逆序數(shù)之和的奇偶性則不改變.37即有所以交換(1.4)式中元素的位置, 其符號(hào)不改變. 這樣我們總可以經(jīng)過有限次交換(1.4)式中元素的位置, 使其行標(biāo)i1i2in換為自然數(shù)順序排列, 設(shè)此時(shí)列標(biāo)排列變?yōu)閗1k2kn, 則(1.4)式變?yōu)?8例2. 若(-1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五階行列式|aij|的一項(xiàng), 則i,j,k應(yīng)為何值? 此時(shí)該項(xiàng)的符號(hào)是什么?解: 由行列式定義, 每一項(xiàng)中的元素取自不同行不同列, 故有j=3, 且有i=1時(shí)k=5, 或i=5時(shí)k=1.因此當(dāng)i=1,j=3,k=5時(shí), -a15a42a33a21a54為|aij|的一項(xiàng).當(dāng)i=5, j=3, k=1時(shí), a55a42a33a21a14也是|aij|的一項(xiàng).39例3 用行列式定義計(jì)算行列式解: 因第1列和第3行都只有一個(gè)元素不為0, 為尋找不為0的項(xiàng), 劃去相應(yīng)元素的