數(shù)學(xué)小課題研究教學(xué)案例三角形面積計(jì)算2

1、數(shù)學(xué)小課題研究教學(xué)案例三角形面積計(jì)算2一、課題的確定三角形的面積計(jì)算是小學(xué)階段重要的幾何知識(shí)內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)生已經(jīng)親身經(jīng)歷了平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，當(dāng)學(xué)生進(jìn)行三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)時(shí)，會(huì)想到利用 “轉(zhuǎn)化”的思想方法，所以我把它作為一個(gè)小課題，布置給學(xué)生，讓他們課下研究，讓他們親歷知識(shí)的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新意識(shí)。二、課題的布置與指導(dǎo)課前老師給同學(xué)們布置研究任務(wù)，待學(xué)生有了初步研究后，老師收集他們的研究成果并進(jìn)行梳理。老師根據(jù)學(xué)生研究成果進(jìn)行第一次分組，把研究成果相似的分在一組，讓學(xué)生回去發(fā)揮小組成員的集體智慧再次探究、整理屬于他們組的研究成果，形成書(shū)面文

2、字，準(zhǔn)備課堂交流、匯報(bào)。在以小組為單位進(jìn)行的第二次研究過(guò)程中，教師要把握學(xué)生的研究狀況，視情況予以點(diǎn)撥和指導(dǎo)。三、課堂教學(xué)實(shí)錄（一）談話導(dǎo)入師：前面我們一起探究了平行四邊形面積的計(jì)算方法，大家還記得我們是怎么推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式嗎？生1：數(shù)格子。生2：割補(bǔ)。師：三角形的面積該怎樣計(jì)算呢？（板書(shū)課題）課下已布置讓同學(xué)們研究了，大家研究了嗎？生：研究了。師：今天我們就來(lái)交流一下，哪個(gè)小組先來(lái)？【評(píng)析：利用新舊知識(shí)的聯(lián)系，為推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式做了必要的鋪墊和方法過(guò)渡。再通過(guò)設(shè)疑，激起求知欲望?！浚ǘ﹨R報(bào)交流1、第一小組匯報(bào)（組長(zhǎng)、兩個(gè)組員上臺(tái)）組長(zhǎng)：大家好！我們小組用的是數(shù)格子的方法

3、。因?yàn)槲覀冇X(jué)得數(shù)格子比較簡(jiǎn)單，而且醒目，容易讓人理解。比如求這個(gè)三角形的面積，（投影儀上出示畫(huà)有等腰三角形的格子圖）只需要先數(shù)出整格的：1、2、15個(gè)；再數(shù)半格的：1、2、3、4、5、6個(gè)半格。 2個(gè)半格是一格， 6個(gè)半格也就是3個(gè)整格。15+3=18，如果1個(gè)方格代表1平方厘米,那么18個(gè)方格就是18平方厘米。這就是我們小組研究的結(jié)果。大家聽(tīng)明白了嗎？有什么要說(shuō)的嗎？生1：我認(rèn)為數(shù)格子的方法不好，計(jì)算的三角形面積不準(zhǔn)確。你們研究的圖形中兩個(gè)半格正好能拼成一個(gè)整格，但有時(shí)候兩個(gè)半格不能正好湊成一個(gè)整格。生2：我也反對(duì)數(shù)格子的方法。請(qǐng)問(wèn)如果要計(jì)算一塊很大的三角形土地的面積，你也用數(shù)格子的方法求它

4、的面積嗎？那不是太麻煩了嗎？。組長(zhǎng)：同學(xué)們說(shuō)得有道理，我們現(xiàn)在也覺(jué)得我們小組的方法不太好，大家有好的方法嗎?我們很想學(xué)習(xí)一下。師：這是多么好的一種學(xué)習(xí)態(tài)度呀！大家掌聲鼓勵(lì)。（掌聲）誰(shuí)有好的方法？【評(píng)析：利用方格紙?zhí)剿魅切蚊娣e公式是重要的內(nèi)容，為推導(dǎo)出計(jì)算公式打下基礎(chǔ)。學(xué)生通過(guò)自主探究，合作交流，初步解決了問(wèn)題，讓學(xué)生質(zhì)疑，充分激發(fā)了學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生思考其他解決問(wèn)題的方法?！?、第二小組匯報(bào)（組長(zhǎng)上臺(tái)）組長(zhǎng)：我們把一個(gè)等腰三角形對(duì)折，這個(gè)折痕也就是等腰三角形的高，然后沿著折痕剪開(kāi)，拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的寬是三角形的底的一半，（板書(shū)：底2）長(zhǎng)就是三角形的高，（板書(shū)：高）因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積

5、是長(zhǎng)寬，也就是高（底2），進(jìn)一步板書(shū)：=底高2。而長(zhǎng)方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積就是底高2。大家聽(tīng)明白了嗎？有什么要說(shuō)的嗎？生1：我認(rèn)為你們小組研究的結(jié)論是對(duì)的。生2：你們只研究了等腰三角形，我覺(jué)得對(duì)別的三角形這個(gè)方法就不一定適合了。師：為什么這么說(shuō)？你能上來(lái)給大家演示一下嗎？生演示：把鈍角三角形對(duì)折，從中間剪開(kāi)，拼不成規(guī)則的圖形，無(wú)法求面積。師：那就是說(shuō)這種方法只適合求等腰三角形的面積是嗎？ 生：是。師：沒(méi)關(guān)系，已經(jīng)不錯(cuò)了，讓我們?cè)俾?tīng)聽(tīng)別人是怎么研究的，好嗎？（生下）還有誰(shuí)想上來(lái)匯報(bào)？【評(píng)析：通過(guò)分割，再拼合成長(zhǎng)方形的方法，得出三角形的面積公式，有別于第一組的方法，讓學(xué)生感受

6、到解決問(wèn)題的多樣性。學(xué)生在自主探索中，也初步運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法，教師及時(shí)給予了肯定。但研究圖形的特殊性遭到了同學(xué)們的質(zhì)疑，怎樣解決呢？自然而然地引出接下來(lái)的精彩。】3、第三組匯報(bào)（組長(zhǎng)、兩個(gè)組員上臺(tái)）組長(zhǎng)：大家好！我們小組是這么考慮的，在我們學(xué)過(guò)的圖形中，平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形不是都可以沿對(duì)角線把它們分成大小相等的兩個(gè)三角形嗎？所以我們考慮用兩個(gè)完全一樣大小的三角形一定能拼成這三種圖形中的一個(gè)。那么只要我們求出拼出圖形的面積，再除以2不就得到一個(gè)三角形的面積了嗎？所以第一次，我們用兩個(gè)完全一樣的銳角三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。三角形的高就是平行四邊形的高，三角形的底就是平行四邊形的底。因

7、為平行四邊形的面積是底高，它又是由兩個(gè)完全一樣的三角形拼成的，所以求一個(gè)三角形的面積只要用底高再除以2就可以了。（板書(shū)三角形的面積公式）大家聽(tīng)明白了嗎？生：聽(tīng)明白了。組長(zhǎng)：大家想一想如果用兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形，會(huì)拼成什么圖形呢？組員1：還是由我來(lái)給大家解答這個(gè)問(wèn)題吧！第二次，我們用兩個(gè)完全一樣的鈍角三角形也拼成了一個(gè)平行四邊形。大家看，這個(gè)平行四邊形的底也就是三角形的底，平行四邊形的高也就是三角形的高。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是底高，這兩個(gè)三角形又是相等的，所以求一個(gè)三角形的面積只要用平行四邊形的面積底高再除以2就可以了。組長(zhǎng)：這是用兩個(gè)鈍角三角形拼的結(jié)果。大家猜猜如果用兩個(gè)完全一樣的直角三角

8、形拼結(jié)果會(huì)怎樣呢？生：會(huì)拼成長(zhǎng)方形。組員2：你說(shuō)得很對(duì)。第三次，我們又用了兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的寬就是三角形的底，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是三角形的高。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬，也就是底高。因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方形也是由兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼成的，所以只要用長(zhǎng)方形的面積底高再除以2就能得到一個(gè)三角形的面積。（板書(shū)：底高2）組長(zhǎng)總結(jié)：這是我們小組的研究結(jié)果，大家聽(tīng)清楚了嗎？還有什么要說(shuō)的嗎？生1： 你們研究的是兩個(gè)三角形拼成的情況，那如果手中只有一個(gè)三角形該怎么求面積？組長(zhǎng)：我們今天的研究不就是為了求任何一個(gè)三角形的面積嗎？生2：我想知道是不是任意兩個(gè)三角形都能這么拼？組長(zhǎng)：我們研究發(fā)現(xiàn)

9、，必須是兩個(gè)完全一樣的三角形才能拼成一個(gè)規(guī)則的平行四邊形，如果不是兩個(gè)完全一樣的三角形，就拼不出一個(gè)規(guī)則的圖形，就無(wú)法求面積，大家可以課下試一試。生3：你們只研究了這三組三角形，如果是其他的三角形呢？組員1：請(qǐng)問(wèn)三角形中除了我們研究的銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，還有我們沒(méi)研究到的嗎？生4：如果要求一個(gè)三角形花壇的面積，你們也去拼嗎？組長(zhǎng)：我們已經(jīng)推導(dǎo)出三角形面積的計(jì)算方法是底高2，你覺(jué)得還用去拼嗎？師：大家還有問(wèn)題要問(wèn)嗎？對(duì)他們的回答，你們滿(mǎn)意嗎？生：滿(mǎn)意。生5：我覺(jué)得他們小組研究得非常全面，推理也很清楚。組長(zhǎng)：如果同學(xué)們覺(jué)得我們研究不錯(cuò)，請(qǐng)給我們鼓鼓掌吧?。ㄕ坡暎熜〗Y(jié)：看來(lái)，同學(xué)們

10、對(duì)這一組的研究成果比較滿(mǎn)意，讓我們?cè)俅蜗蛩麄儽硎咀ＹR。還有哪個(gè)小組的研究方法和他們不同？【評(píng)析：運(yùn)用遷移規(guī)律，學(xué)生大膽想象，再動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生充分獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)的成功體驗(yàn)。學(xué)生展示思維過(guò)程，張揚(yáng)了自己的個(gè)性，為別人質(zhì)疑做好充分準(zhǔn)備，提高了思辨能力，又讓所有的學(xué)生都有所借鑒和啟發(fā)?！?、第四組匯報(bào)（組長(zhǎng)上臺(tái)）組長(zhǎng)：大家好！前面我們?cè)谕茖?dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式時(shí)，用的是割補(bǔ)的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)變成我們學(xué)過(guò)的圖形（長(zhǎng)方形），所以我們也想用割補(bǔ)的方法把三角形轉(zhuǎn)化成我們以學(xué)過(guò)的圖形來(lái)推導(dǎo)出它的面積計(jì)算公式。請(qǐng)看：我手中的這個(gè)三角形，我們從中間位置把它剪下來(lái)，如何確定中間位置呢？分別把三角形的兩邊對(duì)

11、折，找到中心點(diǎn)。為了防止剪歪了，我們把兩個(gè)中心點(diǎn)用直線連起來(lái)并用剪刀剪開(kāi)。請(qǐng)問(wèn)：三角形的底和高有變化嗎？生：底不變，高變?yōu)樵瓉?lái)的一半了。（組長(zhǎng)板書(shū)：底、高2）組長(zhǎng)：對(duì)，我們把剪下來(lái)的部分拼在這邊，大家看，拼成了一個(gè)什么圖形？生：平行四邊形。組長(zhǎng)：那它的面積誰(shuí)會(huì)算哪？生：底（高2）組長(zhǎng)：對(duì)，底高2，拼成的這個(gè)平行四邊形的面積和原來(lái)的三角形的面積又是什么關(guān)系呢？生：相等。組長(zhǎng)：對(duì)，所以我們小組推出三角形的面積計(jì)算公式是“三角形的面積底高2” 用s 表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，字母公式就是“sah2”。怎么樣？大家對(duì)我們的研究有什么要說(shuō)的嗎？ 生1：你只給我們演示了銳角三角

12、形的情況，我想知道對(duì)于不規(guī)則的三角形你的這個(gè)方法也能行嗎？組長(zhǎng)：我這個(gè)可能就是不規(guī)則的三角形吧！師：同學(xué)們知道什么是規(guī)則的圖形嗎？所謂規(guī)則的圖形就是指我們學(xué)過(guò)的圖形，比如：正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形等。現(xiàn)在你們認(rèn)為三角形是規(guī)則圖形還是不規(guī)則圖形？生：規(guī)則圖形。生2：如果是求一塊三角形地的面積，你們也去拼嗎？組長(zhǎng)：我們今天的研究不就是為了求任何一個(gè)三角形的面積嗎？生3：我想問(wèn)一下，你這個(gè)方法對(duì)鈍角三角形也適合嗎？組長(zhǎng)：適合。生3：你能給我們演示一下嗎？組長(zhǎng)演示鈍角三角形的狀況。結(jié)果拼成的平行四邊形卻不準(zhǔn)，拼銜接處總是多出一點(diǎn)師：我問(wèn)一下這個(gè)組的同學(xué)，你們課下研究的成功了嗎？組長(zhǎng)：成

13、功了。師：那你認(rèn)為這是什么原因？組長(zhǎng)：可能是剛才我剪偏了。師：哪個(gè)同學(xué)再給她提供個(gè)鈍角三角形讓她再試一下？（組長(zhǎng)重新演示）師：看來(lái)，我們平時(shí)在研究的時(shí)候，一定要細(xì)心、認(rèn)真，不能出半點(diǎn)差錯(cuò)。（第二次演示成功。）生4：如果是直角三角形呢？（因?yàn)闀r(shí)間問(wèn)題，組長(zhǎng)剛要演示被師打斷）師：我想問(wèn)問(wèn)這位研究的同學(xué)，你們對(duì)直角三角形的研究也成功了嗎？（組長(zhǎng)：成功了）對(duì)這個(gè)問(wèn)題，大家想不想自己去試試？老師相信自己動(dòng)手研究的成果一定比只聽(tīng)別人的印象更深刻，感覺(jué)更興奮，大家說(shuō)是嗎？還有哪個(gè)小組的成果與他們不同？【評(píng)析：學(xué)生自主探索，合作交流的課堂中，學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系。教師適時(shí)點(diǎn)撥，因勢(shì)利導(dǎo)，師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，充

14、分體現(xiàn)出教師是教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者?！?、第五組匯報(bào)（組長(zhǎng)上臺(tái)）組長(zhǎng)：我是用折疊的方法，把一個(gè)三角形沿著高的中間對(duì)折，讓頂點(diǎn)與垂足重合；然后又把底邊這邊的部分沿中間這樣對(duì)折，另一邊也這么折，就折成了一個(gè)長(zhǎng)方形。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是三角形底的一半，寬是三角形高的一半，（板書(shū)：底2 高2）這個(gè)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬，也就是（底2）（高2）。因?yàn)檫@個(gè)三角形折疊成了兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，所以要求整個(gè)三角形的面積還需在后面再2。即： S（底2）（高2）2 底高2組長(zhǎng)：這就是我們小組的研究成果，大家聽(tīng)明白了嗎？還有什么疑問(wèn)嗎？生1：如果是個(gè)直角三角形，這個(gè)方法也行嗎？組長(zhǎng)演示（第一個(gè)直角三角形演示了半天扔

15、一邊了，又換了一個(gè)演示成功。）師：這位同學(xué)，老師有個(gè)疑問(wèn)，剛才你為什么換了個(gè)直角三角形？組長(zhǎng)：因?yàn)榈谝粋€(gè)直角三角形用厚卡紙做的，折不動(dòng)。師：我明白了，大家清楚了嗎？生2：如果是鈍角三角形呢？組長(zhǎng)：這個(gè)我們也研究了，如果是鈍角三角形也能成功，大家可以課下試一試。生3：剛才在你演示的時(shí)候我也試了，為什么我的三角形折不出長(zhǎng)方形呢？組長(zhǎng)（看了看）：你的三角形頂點(diǎn)和下面的垂足沒(méi)重合，當(dāng)然拼不出來(lái)了。你可以再重新試一下。大家還有問(wèn)題嗎？師：因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系，我們今天的匯報(bào)就先到這兒，其他小組的方法我們課下再交流好嗎？【評(píng)析：用折疊的辦法解決問(wèn)題，進(jìn)一步拓寬了解決問(wèn)題的思路，不斷建立起個(gè)性化的數(shù)學(xué)模型。在層次

16、不同的探索操作中，轉(zhuǎn)化的思想方法得到滲透，學(xué)生的探究個(gè)性也受到充分尊重?！浚ㄈ┛偨Y(jié)成果1、總結(jié)三角形的面積計(jì)算公式師；同學(xué)們真了不起，想出了這么多好方法推出了三角形的面積公式。現(xiàn)在，你們能告訴老師三角形面積計(jì)算方法是什么嗎？生：底高2師：如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式用字母又該怎么表示呢？生：S=ah22、說(shuō)數(shù)學(xué)史，激勵(lì)同學(xué)師：同學(xué)們知道嗎？大約在2000多年前我們的古人就推導(dǎo)出了這個(gè)公式。今天同學(xué)們也做到了。這說(shuō)明我們班同學(xué)們也很聰明，相信只要同學(xué)們有這種研究精神，將來(lái)你們一定能發(fā)現(xiàn)更多更大的數(shù)學(xué)規(guī)律。下面就讓我們用自己推導(dǎo)的三角形的面積

17、公式來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題吧！【評(píng)析：放手讓學(xué)生探究，結(jié)合各個(gè)小組研究的成果，使三角形面積的計(jì)算公式能夠“水到渠成”地展現(xiàn)在大家面前。學(xué)生的概括和歸納能力得到強(qiáng)化，做到了知其然也知所以然。運(yùn)用數(shù)學(xué)史能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)自信心，讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅?！浚ㄋ模╈柟叹毩?xí)1、口算下面各三角形的面積。2、公路中間有一塊三角形的空地要種草坪，1平方米草坪的價(jià)格是12元，種這塊草坪要多少元？3、下圖中哪兩個(gè)三角形的面積相等嗎？（兩條虛線互相平行）你還能畫(huà)出和它們面積相等的三角形嗎？【評(píng)析：練習(xí)的設(shè)計(jì)呈現(xiàn)出層次性，從鞏固熟練公式，到運(yùn)用公式解決具體問(wèn)題，逐步推進(jìn)，既牢固掌握知識(shí)，又能靈活運(yùn)用?！浚ㄎ澹┬〗Y(jié)通過(guò)

18、今天的交流，同學(xué)們有收獲嗎？你還想研究哪些圖形的面積？把你研究的過(guò)程寫(xiě)在日記本上，我們下次再交流好嗎？【評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，給學(xué)生提供了自我感悟、自我評(píng)價(jià)的時(shí)間和空間，培養(yǎng)了學(xué)生的反思意識(shí)?！克摹⒄n后研究及成果展示交流課后，每個(gè)小組把自己的研究成果寫(xiě)成研究報(bào)告，張貼在班上數(shù)學(xué)小課題園地內(nèi)，并進(jìn)行評(píng)選。五、教學(xué)反思研究任務(wù)布置下去后，學(xué)生個(gè)人對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了初步研究，這時(shí)研究成果比較膚淺，思維含量低，語(yǔ)言表達(dá)也較差。所以我又根據(jù)學(xué)生研究情況進(jìn)行分組，充分發(fā)揮集體的智慧，以小組為單位進(jìn)行再研究，這時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的研究慢慢深入了，研究結(jié)果也出現(xiàn)了不同，還想出了出乎老師意外的研究成果，如：第五組的“折疊法”。伴隨著研究成果越來(lái)越豐碩，孩子們的心情也跟著愉悅起來(lái)，那種成功感激勵(lì)著孩子們，使他們對(duì)數(shù)學(xué)越發(fā)著迷，對(duì)探究更充滿(mǎn)了渴望。課上，學(xué)生