李委明數(shù)量關(guān)系講義

1、數(shù)學(xué)運算第 01 講直接代入一、題型評述數(shù)學(xué)運算試題都是四選一的客觀單項選擇題， 將選項直接代入進行驗證， 顯然是一種準(zhǔn)確、高效并且易于操作的重要方法。 很多試題，正面求解相當(dāng)困難，但結(jié)合選項來看卻相當(dāng)容易。“答案選項”永遠是整個試題的有機組成部分，孤立地看題干而忽略選項是考生答題時最大的誤區(qū)之一。二、破題密鑰“直接代入法”廣泛運用于多位數(shù)問題、不定方程問題、同余問題、年齡問題、周期問題、復(fù)雜行程問題、和差倍比問題等等。這種方法不僅可以單獨使用達到一招制勝的效果，還可以與其它方法進行結(jié)合使用。三、例題精析【例 1】（深圳 2013-47 ）小王的旅行箱密碼為 3 位數(shù)，且三個數(shù)字全是非且這個三

2、位數(shù)恰好是小王今年年齡的平方數(shù)。則小王今年（ ）歲。0 的偶數(shù)，而A. 17B. 20C. 22D. 34共【例 2】（浙江 2013-50 ）某市場運來蘋果、香蕉、柚子和梨四種水果，其中蘋果和柚子30 噸，香蕉、柚子和梨共50 噸。柚子占水果總數(shù)的1/4 。一共運來水果多少噸？A.56 噸B.64 噸C.80 噸D.120 噸( )【例 3】( 江蘇則 A 的最大值是2013B-91)三位數(shù)A 除以51，商是a（ a 是正整數(shù)），余數(shù)是商的一半，A. 927B. 928C. 929D. 990【例 4】（山東 2013-62 ）甲、乙兩倉庫各放集裝箱若干個，第一天從甲倉庫移出和乙倉庫集裝箱總

3、數(shù)同樣多的集裝箱到乙倉庫，第二天從乙倉庫移出和甲倉庫集裝箱總數(shù)同樣多的集裝箱到甲倉庫，如此循環(huán)，則到第四天后，甲、乙兩倉庫集裝箱總數(shù)都是48 個。問甲倉庫原來有多少個集裝箱？A. 33B. 36C. 60D. 63【例 5】（河北 2013-44 ）一個金魚缸，現(xiàn)已注滿水。有大、中、小三個假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中?，F(xiàn)知道每次從金魚缸中溢出水量的情況是：第一次是第二次的1/3 ，第三次是第二次的2 倍。問三個假山的體積之比是（）。A. 1 35B. 1 49C. 3 67D. 6 78第 02 講倍數(shù)特性

4、一、題型評述“倍數(shù)特性法”是一種特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的內(nèi)容。這種方法通過正確答案所應(yīng)該滿足的某種倍數(shù)特性來直接鎖定答案。 熟練運用本方法最關(guān)鍵的要點，就是牢牢掌握各種倍數(shù)關(guān)系的性質(zhì)和判定方法。二、破題密鑰 2、 4、 8 整除及余數(shù)判定基本法則1.一個數(shù)能被2（或5）整除，當(dāng)且僅當(dāng)其末一位數(shù)能被2（或5）整除；2.一個數(shù)能被4（或25）整除，當(dāng)且僅當(dāng)其末兩位數(shù)能被4（或25）整除；3.一個數(shù)能被8（或 125）整除，當(dāng)且僅當(dāng)其末三位數(shù)能被8（或 125）整除。 3、 9 整除及余數(shù)判定基本法則1.一個數(shù)能被3 整除，當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字和能被3 整除；2.一個數(shù)能被9 整

5、除，當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字和能被9 整除。 7 整除判定基本法則1.一個數(shù)是7 的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其末一位的兩倍，與剩下的數(shù)之差為7 的倍數(shù)；2.一個數(shù)是7 的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其末三位數(shù)，與剩下的數(shù)之差為7 的倍數(shù)?！臼纠?362 末一位“ 2”的 2 倍與“ 36”差“ 32”不能被7 整除 362 不能被 7 整除【示例】 12047 末三位“ 047”與“ 12”差“ 35”能被 7 整除 12047 能被 7 整除 11整除判定基本法則1.一個數(shù)是 11 的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和做的差為【示例】 7394 奇數(shù)位之和“7+9 16”與偶數(shù)位之和“3+4 7”做的差“11 的倍

6、數(shù)；16-7 9”不是11 的倍數(shù) 7394 不能被11 整除三、例題精析題型一：直接倍數(shù)【例 1】（上海 2011A-61 ）某人共收集郵票若干張，其中 1/4 是 2007 年以前的國內(nèi)外發(fā)行的郵票， 1/8 是 2008 年國內(nèi)發(fā)行的， 1/19 是 2009 年國內(nèi)發(fā)行的，此外尚有不足 100 張的國外郵票。則該人共有（ ）張郵票。A. 87B. 127C. 152D. 239【例2】（ 2011年424 聯(lián)考 -43）某單位招錄了10 名新員工，按其應(yīng)聘成績排名1 到10，并用 10 個連續(xù)的四位自然數(shù)依次作為他們的工號。湊巧的是每個人的工號都能被他們的成績排名整除，問排名第三的員工

7、工號所有數(shù)字之和可能是多少 ?（ ）A. 9B. 12C. 15D. 18題型二：因子倍數(shù)【例 3】（北京 2014-75 ）甲工廠每天生產(chǎn)的零件數(shù)比乙工廠的1.5 倍還多 40 個，乙工廠每天生產(chǎn)的零件數(shù)比甲工廠的一半多20 個。則兩個工廠每天共能生產(chǎn)多少個零件？A. 400B. 420C. 440D. 460【例 4】（ 2012 年 421 聯(lián)考 61）某公司三名銷售人員2011 年的銷售業(yè)績?nèi)缦拢杭椎匿N售額是乙和丙銷售額的1.5 倍，甲和乙的銷售額是丙的銷售額的5 倍，已知乙的銷售額是56萬元，問甲的銷售額是：（）A. 140 萬元B. 144 萬元C. 98 萬元D. 112 萬元題

8、型三：比例倍數(shù)核心提示若 a : bm : n(m, n互質(zhì) ) ，則說明a 占 m份，是m 的倍數(shù)；b 占n 份，是n 的倍數(shù)；a+b 占 m+n 份，是 m+n 的倍數(shù)； a-b 占 m-n 份，是 m-n 的倍數(shù)?！纠?5】（廣州 2013-26 ）少年宮學(xué)習(xí)美術(shù)、舞蹈和唱歌專業(yè)的學(xué)生共有 90 人，美術(shù)和舞蹈專業(yè)的學(xué)生比例為 2 3，舞蹈和唱歌專業(yè)的學(xué)生比例為 3 4, 則學(xué)生人數(shù)最多的專業(yè)有多少人？A. 25B. 30C. 35D. 40【例 6】（2012 年 915 聯(lián)考 49）甲、乙兩種商品的價格比是別下降 50 元，它們的價格比是4 7，這兩種商品原來的價格各為（3 5，如果

9、它們的價格分）。A. 300C. 450元 元500 元750 元B. 375D. 525元 元625 元875 元第 03 講化歸為一一、題型評述如果試題當(dāng)中沒有涉及到某個具體量的大小， 并且這個具體量的大小并不影響最終結(jié)果的時候，我們可以使用“化歸為一法” ，將這個量設(shè)為某一個利于計算的數(shù)值，從而簡化計算。這種方法又被為“設(shè) 1 法”或者“設(shè) 1 思想”。我們一般可能在工程問題、混合配比問題、加權(quán)平均問題、流水行船問題、 往返行程問題、幾何問題、經(jīng)濟利潤問題、和差倍比問題等等諸多問題當(dāng)中使用“化歸為一法”。二、破題密鑰在“化歸為一法” 中，我們一般都不設(shè)之為 “ 1”，而是設(shè)之為 “其中某

10、些量的公倍數(shù)” ，從而避免分數(shù)，簡化計算。三、例題精析【例 1】（重慶 2013-90 ）甲、乙兩個燒杯裝有一些鹽水，甲杯中鹽水的質(zhì)量是乙杯的2倍，但甲杯鹽水的濃度是乙杯的1/2 ，則將兩個燒杯中的鹽水混合后得到的鹽水濃度為甲杯濃度的多少倍？（）A. 3/2B. 4/3C. 6/5D. 7/6核心提示使用“化歸為一法” 時，大家最大的困惑是：什么樣的量可以隨便設(shè)，什么樣的量不行？總的來說， 當(dāng)某類量的大小在題目中無關(guān)重要時，便可以隨便設(shè)為一個方便計算的數(shù)字，這樣的量一般需要滿足兩個條件：首先，這類量在題目中沒有提及具體數(shù)字大??；其次，這類量也不能通過其他有具體數(shù)字大小的量計算得到。上面兩個條件

11、非常抽象， 我舉個例子就簡單了。 譬如在行程問題中， 我想假設(shè)某人的速度為 1，那么就必須依次滿足兩個條件：題目中沒有提及任何速度的具體數(shù)字大??；題目中也沒有同時提及路程和時間的具體數(shù)字大小，因為知道了這兩類量，是可以計算出速度具體大小的。當(dāng)題目中只有路程或者時間有具體大小時， 我們假設(shè)一個速度為 1 或者其他數(shù)字， 就不會影響結(jié)果。 同理， 在經(jīng)濟利潤問題中，如果題目中只有單價的具體數(shù)字大小， 沒有件數(shù)和總價的具體數(shù)字大小，那么我們可以假設(shè)某個件數(shù)為 1，或者假設(shè)總價為 1，但不能同時做這兩件事情?！纠?2】（江蘇2013A-33 ）現(xiàn)需購買三種調(diào)料加工成一種新調(diào)料，三種調(diào)料價格分別為每千克

12、 20 元、 30 元、 60元。如果購買這三種調(diào)料所花錢一樣多，則每千克調(diào)料的成本是A.30 元B.35 元C.40 元D.60 元【例 3】（河北2013-48 ）小王收購了一臺舊電視機， 然后轉(zhuǎn)手賣出， 賺取了 30%的利潤。1 個月后，客戶要求退貨， 小王和客戶達成協(xié)議， 以當(dāng)時交易價格的90%回收了這臺電視機，后來小王又以最初的收購價格將其賣出。問小王在這臺電視機交易中的利潤率為（）。A. 13%B. 17%C. 20%D. 27%【例 4】（新疆2013-44 ）甲和乙兩家高科技公司合并，持有甲公司30%股份的陳先生在合并后持有新公司股份的12%，趙先生擁有甲公司 15%的股份和乙

13、公司5%的股份，他在合并后的公司中擁有多少比例的股份？（）A. 9%B. 10%C. 11%D. 12%【例 5】（廣州2013-30 ）某社區(qū)服務(wù)中心每個月均對居民進行“社區(qū)工作滿意度” 調(diào)查。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，2 月份的居民滿意度是85 分，比 1 月份上升了20%，3 月份的居民滿意度又比2 月份下降了20%。則 3 月份的居民滿意度和1 月份相比（）。A. 兩個月持平B. 3月份比 1 月份高 4%C. 1 月份比 3 月份高 4%D. 3月份比 1 月份低 4%【例 6】（貴州2012 40）某調(diào)查隊男、女隊員的人數(shù)比是3 2，分別為甲、乙、丙三個調(diào)查小組。已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是10

14、 8 7，甲組中男、女隊員的人數(shù)比是31，乙組中男、女隊員的人數(shù)比是5 3，則丙組中男、女隊員的人數(shù)比是（）。A. 49B. 59C. 47D. 57第 04 講比例假設(shè)一、題型評述我們在前面的“化歸為一法”中學(xué)到，當(dāng)題目中某個未知量不影響最終結(jié)果時，為了方便計算，我們可以將其設(shè)為某個特殊的值，從而簡化計算。然而在有些題目中，雖然我們非常希望假設(shè)其中某個量為一個方便計算的數(shù)值，但隨意假設(shè)可能會跟題干當(dāng)中的某些已知數(shù)字矛盾，這時我們就可以使用“比例假設(shè)法”。二、破題密鑰盡管假設(shè)數(shù)字可能會與已知條件矛盾， 但我們?nèi)匀豢梢詮娦屑僭O(shè)其為某一個數(shù)字， 然后看看推出的矛盾雙方之間是幾倍關(guān)系，按比例放大或者

15、縮小即可。三、例題精析【例 1】（廣東 2012 8）某企業(yè)為員工定制工作服，請服裝公司的裁縫量體裁衣，每小時為 52 名男員工 35 名女員工量體。 幾小時后， 剛好量完所有的女員工的尺寸，有 24 名男員工沒有量體。若男女員工的比例為 11:7，則該企業(yè)共有多少名員工？（裁縫這時還）A. 720B. 810C. 900D. 1080【例 2】（北京 2012-75）商場銷售某種商品的加價幅度為其進貨價的 40%，現(xiàn)商場決定將加價幅度降低一半來促銷， 商品售價比以前降低了 54 元。問該商品原來的售價是多少元？A. 324B. 270C. 135D. 378【例 3】（上海2013A-60

16、）某高速公路收費站對過往車輛的收費標(biāo)準(zhǔn)是：大型車30 元 /輛、中型車 15 元 /輛、小型車 10 元/ 輛。某天，通過收費站的大型車與中型車的數(shù)量比是56，中型車與小型車的數(shù)量比是4 11，小型車的通行費總數(shù)比大型車的多270 元，這天的收費總額是（）。A. 7280C. 7300元元B. 7290D. 7350元元【例 4】( 江蘇 2013B-87) 甲乙丙三人同去商城購物，甲花的錢的1/2等于乙花的錢的1/3 ，乙花的錢的3/4等于丙花的錢的4/7 ，結(jié)果丙比甲多花93 元，則三人一共花的錢是（）？A. 432元B. 422元C. 429元D. 430元【例 5】（浙江 2013-5

17、7 ）一個總額為完成，甲、乙、丙、丁分到項目額的比例為萬？( )100 萬的項目分給甲、乙、丙、丁四個公司共同來1/2:1/3:1/4:1/6，請問甲分到的項目額為多少A. 35萬B. 40萬C. 45萬D. 50萬第 05 講工程問題一、題型評述工程問題研究工作量和工作時間、 工作效率之間的關(guān)系， 是近年來考題中最重要、 最常考的重點題型之一。二、破題密鑰基礎(chǔ)公式：工作量=工作時間工作效率；核心思想：化歸為一法（設(shè)“1”法）、比例假設(shè)法。三、例題精析題型一：基礎(chǔ)計算型【例 1】（天津 2013-9 ）某項工程計劃300 天完工， 開工 100 天后，由于施工人員減少，工作效率下降了20%，問

18、完成該項工程比原計劃推遲了多少天？（）A. 40B. 50C. 60D. 70【例 2】（安徽 2011-9）某工廠的一個生產(chǎn)小組，當(dāng)每個工人都在崗位工作， 9 小時可以完成一項生產(chǎn)任務(wù)。如果交換工人甲和乙的崗位，其他人不變，可提前 1 小時完成任務(wù)；如果交換工人丙和丁的崗位， 其他人不變， 也可以提前 1 小時完成任務(wù)。 如果同時交換甲和乙，丙和丁的崗位，其他人不變，可以提前多少小時完成？（ ）A. 1.4B. 1.8C. 2.2D. 2.6題型二：同時合作型【例 3】（重慶 2013-99 ）甲、乙、丙三人共同完成一項工程用了 6 小時，如果甲與乙的效率之比為 1 2, 乙與丙的效率之比為

19、 3 4，則乙單獨完成這項工程需要多少小時？ （）A. 10B. 17C. 24D. 31【例 4】（山東8 臺大型收割機和2013-61 ）2 臺大型收割機和4 臺小型收割機在一天內(nèi)可收完全部小麥10 臺小型收割機在一天內(nèi)可收完全部小麥。如果單獨用大型收割機和單3/10，獨用小型收割機進行比較，要在一天內(nèi)收完小麥，小型收割機要比大型收割機多用多少臺?A. 8B. 10C. 18D. 20題型三：交替合作型核心提示“交替合作型”工程問題， 是最新考查的重點題型，也是考生易錯的難點題型。由于合作的“交替性” ，不能簡單的使用基礎(chǔ)公式進行計算，而要注重其工作的“周期性”。【例 5】（ 2010 年

20、如果按照甲、乙、甲、乙間?（ ）425 聯(lián)考 -94）單獨完成某項工作，甲需要16 小時，乙需要12 小時，的順序輪流工作，每次1 小時，那么完成這項工作需要多長時A. 13小時40 分鐘B. 13 小時45 分鐘C. 13小時50 分鐘D. 14小時題型四：撤出加入型【例 6】（四川 2013-60 ）建筑公司安排100 名工人去修某條路，工作2 天后抽調(diào)30 名工人， 又工作了 5 天后再抽走20 名工人， 總共用時十二天修完。如果整條路希望在10 天內(nèi)修完，且中途不得增減人手，則要安排多少名工人?A. 80B. 90C. 100D. 120題型五：兩項工程型【例 7】（國考 2014-7

21、5 ）甲、乙兩個工程隊共同完成A 和 B 兩個項目。 已知甲隊單獨完成 A 項目需 13 天，單獨完成B 項目需 7 天；乙隊單獨完成A 項目需 11 天，單獨完成 B 項目需 9 天。如果兩隊合作用最短的時間完成兩個項目，則最后一天兩隊需要共同工作多長時間就可以完成任務(wù)？（）A. 1/12天B. 1/9天C. 1/7天D. 1/6天第 06 講十字交叉一、題型評述“十字交叉法” 是數(shù)學(xué)運算題中一種經(jīng)典的技巧， 對符合使用條件的試題有近乎 “秒殺”的效果。二、破題密鑰“十字交叉法” 實際上是一種簡化方程的形式， 凡是符合下圖左邊方程的形式， 都可以用右邊的“十字交叉”的形式來簡化：A:ar-b

22、r-bArbrAAa Bb ( A B)rar=Bba-rBa-rB:很多考生疑惑哪種題型可以使用十字交叉法， 并且不知道得到的比例是哪兩個量的比例，這時， 可以列出上面形式的式子來判斷。 當(dāng)然這是平時就要積累的， 如果考場之上無法判斷的話，就不建議使用這種方法，直接列方程更快更準(zhǔn)確。三、例題精析【例 1】（山東 2013-60 ）某單位共有職工72 人 , 年底考核平均分數(shù)為85 分 , 根據(jù)考核分數(shù),90分以上的職工評為優(yōu)秀職工，已知優(yōu)秀職工的平均分數(shù)為92 分，其他職工的平均分數(shù)是 80 分，問優(yōu)秀職工的人數(shù)是多少？A. 12B. 24C. 30D. 42核心提示當(dāng)我們使用 “十字交叉法

23、”的時候， 有一點技巧非常重要，那就是當(dāng)我們計算得到比例之后，應(yīng)該如何算得最后的實際數(shù)值。譬如上例中，我們得到比例為5： 7，然后就需要跟原題中的實際數(shù)字去對照：如果原題中告訴我們優(yōu)秀員工是15 個，正好是5 的 3 倍，那么就把 5:7 這個比例的分子、分母同時乘以 3，得到 15： 21；如果原題中告訴我們其他員工是56 個，正好是 7 的 8 倍，那么就把 5： 7 這個比例的分子、分母同時乘以8，得到 40： 56；而事實上，原題給的是這兩者之和為 72，5：7 這個比例分子、分母之和為12，是 72的六分之一，所以應(yīng)該把5： 7 這個比例的分子、分母同時乘以6，得到 30：42，兩個

24、數(shù)字分別就是這兩個部分的實際數(shù)字?！纠?2】( 甘肅 2013-26) 甲、乙兩種商品原來的單價和為100 元，因市場變化，甲商品降價 10%，乙商品提價40%，調(diào)價后兩種商品的單價和比原來的單價和提高20%，則乙商品提價后為多少元？（）A. 40B. 60C. 36D. 84【例 3】（江蘇2013B-90 ）有 100 克溶液，第一次加入20 克水，溶液的濃度變成50%；第二次再加入 80 克濃度為 40%的同種溶液，則溶液的濃度變?yōu)?？（）A.45%B.47%C.48%D.46%【例 4】（上海2013A-63 ）某養(yǎng)雞場計劃購買甲、乙兩種小雞苗共2000 只進行飼養(yǎng)，已知甲種小雞苗每只2

25、 元，乙種小雞苗每只3 元。相關(guān)資料表明：甲、乙兩種小雞苗的成活率分別為 94%和 99%。若要使這批小雞苗的成活率不低于96%，且買小雞苗的總費用最小，則應(yīng)選購甲、乙兩種小雞苗各有（）。A. 500 只、 1500 只B. 800 只、 1200 只C. 1100 只、 900 只D. 1200 只、 800 只【例 5】（國考2014-64 ）燒杯中裝了100 克濃度為 10%的鹽水。每次向該燒杯中加入不超過 14 克濃度為 50%的鹽水， 問最少加多少次之后，燒杯中的鹽水濃度能達到25%？（假設(shè)燒杯中鹽水不會溢出） （）。A. 6B. 5C. 4D. 3第 07 講極端思維一、題型評述“

26、極端思維” 是我們?nèi)粘Ｉ睢?學(xué)習(xí)和工作當(dāng)中普遍運用的思維方式， 也是近年來考題的一大熱點內(nèi)容， 大量相關(guān)考題出現(xiàn)在近年的試卷當(dāng)中， 各位考生務(wù)必對此引起足夠的重視。二、破題密鑰當(dāng)試題當(dāng)中出現(xiàn)了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字樣時，我們通常需要考慮“極端思維法”。我們需要分析題意，構(gòu)造出滿足題意要求的最極端的情形，所以從本質(zhì)上來講， 極端思維也是一種 “構(gòu)造設(shè)定法” 。三、例題精析【例 1】（江蘇 2013A-27 ）5 名學(xué)生參加某學(xué)科競賽，共得同，且最高是 21 分，則最低分最低是多少？（ ）91 分，已知每人得分各不相

27、A. 14B. 16C. 13D. 15【例 2】（國考 2014-65 ）某連鎖企業(yè)在 10 個城市共有100 家專賣店，每個城市的專賣店數(shù)量都不同。如果專賣店數(shù)量排名第5 多的城市有 12 家專賣店，那么專賣店數(shù)量排名最后的城市，最多有幾家專賣店？（）A. 2B. 3C. 4D. 5【例 3】（河北 201242）要把 21 棵桃樹栽到街心公園里5 處面積不同的草坪上，如果要求每塊草坪必須有樹且所栽棵數(shù)要依據(jù)面積大小各不相同，面積最大的草坪上至少要栽幾棵?（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11【例 4】（春季聯(lián)考 2013-46 ） 60 名員工投票從甲、乙、丙三人中評選最佳員工，選舉

28、時每人只能投票選舉一人，得票最多的人當(dāng)選。開票中途累計，前30 張選票中，甲得15票，乙得 10 票，丙得 5 票。問在尚未統(tǒng)計的選票中， 甲至少再得多少票就一定當(dāng)選？ （）A. 15B. 13C. 10D. 8【例 5】（浙江 2012-58）一個班里有30 名學(xué)生，有 12 人會跳拉丁舞，有 8 人會跳肚皮舞，有 10 人會跳芭蕾舞。問至多有幾人會跳兩種舞蹈？A.12 人B.14 人C.15 人D.16 人【例 6】（深圳 2013-46 ）一小偷藏匿于某商場，三名保安甲、乙、丙分頭行動搜查商場的 100 家商鋪。已知甲檢查過80 家，乙檢查過 70 家，丙檢查過 60 家，則三人都檢查過

29、的商鋪至少有（）家。A. 5B. 10C. 20D. 30第 08 講基本方程一、題型評述方程與方程組，是解答文字應(yīng)用題的重要工具。盡管數(shù)學(xué)運算的很多試題不需要也不應(yīng)該使用方程的方法來解答，因為那樣可能會耗去大量的精力，但仍然有著相當(dāng)一大部分問題，采用方程法才是最簡單的。如果論及數(shù)學(xué)運算“第一重要的方法” ，“方程法”當(dāng)之無愧。二、破題密鑰數(shù)學(xué)運算的大部分題型，都可以使用“方程法”來解答。其中，“盈虧問題” 、“雞兔同籠問題”、“和差倍比問題” 和“牛吃草問題” 一般都應(yīng)該使用 “方程法” ；除此之外，“經(jīng)濟利潤問題” 、“濃度問題” 、“年齡問題” 、“行程問題” 、“等差數(shù)列” 、“平均數(shù)

30、問題” 、“容斥問題”、“工程問題”等等題型當(dāng)中的相當(dāng)一部分試題也需要利用方程來求解。三、例題精析題型一：巧設(shè)未知數(shù)核心提示設(shè)未知數(shù)的時候，應(yīng)該首先考慮未知數(shù)設(shè)出來要便于理解，便于表示其它量，便于列出方程。在某些情況下，不一定要直接設(shè)所求量，也可以設(shè)中間量為 x，還可以設(shè)某種倍數(shù)關(guān)系（如 12x、 5x 等）的未知數(shù)，以消除方程當(dāng)中的分數(shù)形式?！纠?1】甲、乙、丙、丁共有48 本書，若在他們原有基礎(chǔ)上做如下變動：甲增加3 本，乙減少 3 本，丙增加到原來的 3 倍，丁減少為原來的 1/3，此時四人的書一樣多，則原有書本最多的人有（ ）本書。A.18B.24C.27D.36【例 2】（北京 20

31、13-80 ）某服裝如果降價200 元之后再打8 折出售，則每件虧50 元。如果直接按6 折出售，則不賺不虧。如果銷售該服裝想要獲得100%的利潤，需要在原價的基礎(chǔ)上加價多少元？（）A. 90B. 110C. 130D. 150【例 3】（上海 2013A-58 ）某公司針對 A、 B、 C 三種崗位招聘了 35 人，其中只能勝任 B 崗位的人數(shù)等于只能勝任 C 崗位人數(shù)的 2 倍，而只能勝任 A 崗位的人數(shù)比能兼職別的崗位的人多 1 人，在只能勝任一個崗位的人群中，有一半不能勝任A 崗位，則招聘的35 人中能兼職別的崗位的有（）。A.10 人B.11 人C.12 人D.13 人題型二：快速解

32、方程核心提示同樣列出方程，有考生可以很快解得答案，有考生看著方程就頭痛，求解方程（組）本身就有很多的技巧，包括但不限于：當(dāng)方程中因為有小數(shù)或分數(shù)而計算復(fù)雜時，應(yīng)首先考慮兩邊乘以一個數(shù)以化為整數(shù)；方程組中若存在多個未知數(shù)，盡量消去無關(guān)未知數(shù)，保留我們關(guān)心的未知數(shù)；方程組中有一些無關(guān)的未知數(shù)，完全可以作為整體直接消去；比例型的方程形式，可以有很好的化簡方法?！纠?4】（上海 2012A-64 ）某農(nóng)場有一批大米需運往市中心的超市銷售，現(xiàn)只租到一輛貨運卡車，第一次運走了總數(shù)的五分之一還多60 袋，第二次運走了總數(shù)的四分之一少60袋，最后還剩220 袋沒有運走，則這批大米一共有_袋。A400B450C

33、500D 640核心提示當(dāng)方程出現(xiàn)比例形式的時候，可能可以通過下面的轉(zhuǎn)換進行簡化：1.2.a =c Ta =c= a+ c =a - c （當(dāng)兩個分子或兩個分母的和或差為常數(shù)時）bdbdb+ db - da =c Ta b= c d Ta=c （當(dāng)一個分數(shù)的分子、分母之和或差為常bdbdb ad c數(shù)時）【例 5】（國考 2014-66 ）某單位原有45 名職工，從下級單位調(diào)入5 名黨員職工后，該單位的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重上升了6 個百分點。 如果該單位又有2 名職工入黨， 那么該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為多少？（）A. 50%B. 40%C. 70%D. 60%第 09 講不定方程

34、一、題型評述在我們的解題過程中，經(jīng)常會遇到含有1 個未知數(shù)的方程，也可能遇到含有2 個未知數(shù)2 個方程的方程組，或者3 個未知數(shù)3 個方程的方程組，這些方程或者方程組一般都有確定的解。 然而，我們還可能遇到2 個未知數(shù)只有1 個方程等式， 或者 3 個未知數(shù)只有2 個方程等式等等，我們把這樣的形式稱為“不定方程”或者“不定方程組”，這種題型的考察能夠突出體現(xiàn)應(yīng)試者的對數(shù)字把控的邏輯素質(zhì)，因此成為最新考題的一大熱點。二、破題密鑰多元不定方程組：特值代入法；二元不定方程：代入試值法。三、例題精析題型一：多元不定方程組核心提示在方程組中，方程的個數(shù)如果少于未知數(shù)的個數(shù)，并且沒有譬如“整數(shù)”之類的限制

35、，說明未知數(shù)是不能完全確定下來的。在這種情形下， 我們一般可以直接設(shè)定一種最特殊的情況（譬如假設(shè)其中1 個未知數(shù)為0），從而簡化計算過程?！纠?1】（深圳2011-11 ）小剛買了 3 支鋼筆， 1 個筆記本， 2 瓶墨水花去35 元錢，小強在同一家店買同樣的5 支鋼筆， 1 個筆記本， 3 瓶墨水花去52 元錢，則買 1 支鋼筆， 1 個筆記本， 1 瓶墨水共需（）元。A.9B.12C.15D.18【例 2】（江蘇2013A-26 ）一項工程，甲、乙合作 12 天完成，乙、丙合作9 天，丙、丁合作 12 天完成。如果甲、丁合作，則完成這項工程需要的天數(shù)是？A. 16B. 18C. 24D.

36、26【例 3】某工程，甲隊單獨做所需天數(shù)是乙、丙兩隊合作天數(shù)的a 倍，乙隊單獨所需天數(shù)是甲、丙兩隊合作天數(shù)的b 倍，丙隊單獨做所需天數(shù)是甲、乙兩隊合作天數(shù)的c 倍，則111的值是（）。a1 b 1c1A. 1B. 2C. 3D. 4題型二：二元不定方程核心提示如果兩個未知數(shù)只有一個方程關(guān)系（或者是方程組化成這種形式），這兩個未知數(shù)是不能完成確定下來的。但如果這些未知數(shù)被限定在“正整數(shù)”范圍內(nèi)，我們便可以利用整數(shù)的倍數(shù)關(guān)系和大小范圍進行代入試值，利用類似“枚舉”的辦法確定唯一滿足題目要求的解。上一題型“多元不定方程組”與本題型“二元不定方程”的區(qū)別在于：前者方程的具體解是不唯一、不確定的，但不論

37、是哪種解，題目所求的數(shù)字是確定的；后者直接從方程來看解也是不確定的，但加上“正整數(shù)”類似的條件后，其解就唯一確定了。【例 4】（山東 2013-54 ）某單位向希望工程捐款，其中部門領(lǐng)導(dǎo)每人捐工每人捐 20 元，該單位所有人員共捐款 320 元，已知該單位總?cè)藬?shù)超過能有幾名部門領(lǐng)導(dǎo)？（ ）50 元，普通員10 人，問該單位可A. 1B. 2C. 3D. 4【例 5】（國考 2014-73 ）小王、小李、小張和小周 4 人共為某希望小學(xué)捐贈了包，按照數(shù)量多少的順序分別是小王、小李、小張、小周。已知小王捐贈的書包數(shù)量是小李和小張捐贈書包的數(shù)量之和； 小李捐贈的書包數(shù)量是小張和小周捐贈的書包數(shù)量之和

38、。王捐贈了多少個書包？（ ）25 個書問小A. 9B. 10C. 11D. 12【例 6】（北京 2014-81 ）小張購買了2 個蘋果、 3 根香蕉、 4 個面包和5 塊蛋糕，共消費 58 元。如果四種商品的單價都是正整數(shù)且各不相同，則每塊蛋糕的價格最高可能為多少元？A.5B.6C.7D.8第 10 講容斥原理一、題型評述“容斥原理” 是一種歷年常考的題型， 出現(xiàn)頻率高，題目難度中等， 是廣大考生得分的重點。二、破題密鑰本節(jié)講述的“容斥原理”一共有五種小題型，分別用五種不同的思路來解答，所以首先要懂得題型的區(qū)分，這樣才能選用到最合適的方法。對于“兩集合容斥原理”：1.如果題目涉及的是這樣五個

39、量滿足條件A 的數(shù)目滿足條件B 的數(shù)目同時滿足條件 A 和 B 的數(shù)目條件A、B 都不滿足的數(shù)目總數(shù)，那么選用“兩集合標(biāo)準(zhǔn)型”的標(biāo)準(zhǔn)公式作答；如果題目涉及“只滿足條件 A 的數(shù)目”或者“只滿足條件 B 的數(shù)目”，那么標(biāo)準(zhǔn)公式無法解答，一般選用“兩集合圖示標(biāo)數(shù)”來完成答題。對于“三集合容斥原理”：關(guān)于滿足兩個條件的描述， 如果題目只涉及滿足條件 A、B的數(shù)目滿足條件 B、 C 的數(shù)目滿足條件 C、 A 的數(shù)目，一般選用“三集合標(biāo)準(zhǔn)型”的標(biāo)準(zhǔn)公式作答；如果題目涉及 “只滿足條件 A、B 的數(shù)目”，一般選用 “三集合圖示標(biāo)數(shù)” 來作答；3.如果題目涉及“滿足一個條件的數(shù)目”和“滿足兩個條件的數(shù)目”

40、，只給了我們一個總數(shù)而不是分項的數(shù)字，一般選用“三集合整體重復(fù)型”的公式來作答。三、例題精析題型一：兩集合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式滿足條件I 的個數(shù) +滿足條件II 的個數(shù) -兩者都滿足的個數(shù)=總個數(shù) -兩者都不滿足的個數(shù)【例 1】（浙江 2013-54 ）某班對 50 名學(xué)生進行體檢，有20 人近視， 12 人超重， 4 人既近視又超重，該班有多少人既不近視又不超重？A.22 人B.24 人C.26( )人D. 28人【例 2】（天津56 人，語文考試得2013-12 ）有 70 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語文考試，數(shù)學(xué)考試得60 分以上的有62 人，都不及格的有4 人，則兩門考試都得60 分以上的有60 分以

41、上的有多少人？（）A. 50B. 51C. 52D. 53題型二：兩集合圖示標(biāo)數(shù)型核心公式涉及到兩個集合的容斥原理問題時，如果題目提及“只滿足某 1 個條件”的數(shù)目，那么我們無法通過標(biāo)準(zhǔn)的兩集合容斥原理公式得到答案。這時，推薦大家利用簡潔的“文氏圖”標(biāo)數(shù)得到所求結(jié)果。圖示標(biāo)數(shù)的關(guān)鍵是：從最中間“兩個條件都滿足”的數(shù)字入手。【例 3】（北京 2013-73 ）一批游客中每人都去了 A、B 兩個景點中至少一個。只去了 A 的游客和沒去 A 的游客數(shù)量相當(dāng)， 且兩者之和是兩個景點都去了的人數(shù)的 3 倍。則只去一個景點的人數(shù)占游客總?cè)藬?shù)的比重為（ ）A. 2/3B. 3/4C. 4/5D. 5/6【例

42、 4】（國考 2014-67 ）工廠組織職工參加周末公益活動，有 80%的職工報名參加，報名參加周六活動的人數(shù)與報名參加周日活動的人數(shù)比為 2： 1，兩天的活動都報名參加的人數(shù)為只報名參加周日活動的人數(shù)的 50%。問未報名參加活動的人數(shù)是只報名參加周六活動的人數(shù)的？A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%題型三：三集合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式特別注意：上式左邊代表至少滿足三個條件之一的情況，也等于總數(shù)減去三個條件都不滿足的情況?！纠?5】（安徽 2011-15 ）如圖所示：A、 B、 C 分別是面積為60、 170、的三張不同形狀的卡片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為280，且

43、 A 與 B、B 與 C、C 與 A 重疊部分的面積分別是22、60、35。問陰影部分的面積是多少？（）A.15B.16C.17D.18【例 6】（2012 年 421 聯(lián)考 54）某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個職位，結(jié)果共 42 人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數(shù)分別是22 人、 16 人、 25 人，其中同時報甲、乙職位的人數(shù)為8 人，同時報甲、丙職位的人數(shù)為6 人，那么同時報乙、丙職位的人數(shù)為：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人題型四：三集合圖示標(biāo)數(shù)型核心要點當(dāng)題目條件不能直接代入標(biāo)準(zhǔn)公式時，我們可以考慮利用圖示配合，標(biāo)數(shù)解答。特別注意“滿足某條件”和“僅滿足某條件”的區(qū)

44、分；特別注意有沒有“三個條件都不滿足”的情形；標(biāo)數(shù)時，注意由中間向外圍標(biāo)記?！纠?7】外語學(xué)校有英語、法語、日語教師共27 人，其中只能教英語的有8 人，只能教日語的有6 人，能教英、日語的有5 人，能教法、日語的有3 人，能教英、法語的有4人，三種都能教的有2 人，則只能教法語的有多少人（）A.4 人B.5 人C.6 人D.7 人題型五：三集合整體重復(fù)型核心公式在三集合的題型中， 假設(shè)滿足三個條件的元素數(shù)量分別為A 、B、 C，而至少滿足三個條件之一的元素的總量為W。其中：滿足一個條件的元素數(shù)量為x，滿足兩個條件的元素數(shù)量為y，滿足三個條件的元素數(shù)量為z，根據(jù)右圖可以得到下面兩個等式：BWx

45、yzCAABCx 1 y 2 z 3從圖中很明顯可以看出， x 和 y 都分別包含 3 個部分， 是這 3 個部分的總和。 因此，當(dāng)題目關(guān)心的是這樣的總和，而不是各個單獨部分數(shù)值時，往往就應(yīng)該用這兩個公式?！纠?8】（陜西 2013-78 ）五年級一班共有55 個學(xué)生，在暑假期間都參加了特長培訓(xùn)班，35有 6 人，則有（2831）人只參加了一種特長培訓(xùn)班。A.45B.33C.29D.22【例 9】（北京 2014-80 ）某旅行團共有48 名游客，都報名參觀了三個景點中的至少一個。其中， 只參觀了一個景點的人數(shù)與至少參觀了兩個景點的人數(shù)相同，是參觀了三個景點的人數(shù)的4 倍。則需要為這些游客購買

46、多少張景點門票？A. 48B. 72C. 78D. 84【例 10】（春季聯(lián)考2013-42 ）有 100 人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項，其中未參加跳遠的有50 人，未參加跳高的有60 人，未參加賽跑的有70 人。問至少有多少人參加了不止一個項目？（）A.7B.10C.15D.20第 11 講排列組合一、題型評述毫無疑問，“排列組合”是廣大考生最為頭疼的難點題型，又是幾乎每次都必考的重點題型。能否在這一部分有所突破，是最終能否取得高分的關(guān)鍵。二、破題密鑰排列公式：Anm組合公式： Cnmn!= n (n -1) (n - 2) (n - m +1)=(n - m)!n!n (n

47、 -1) (n - 2) (n - m+1)=(n - m)!m!m(m -1) (m - 2) 1逆向公式：滿足條件的情況數(shù)總情況數(shù)-不滿足條件的情況數(shù)三、例題精析題型一：基礎(chǔ)公式型【例 1】（浙江 2012-54 ）南陽中學(xué)有語文教師 8 名、數(shù)學(xué)教師 7 名、英語教師 5 名和體育教師 2 名?，F(xiàn)要從以上四科教師中各選出 1 名教師去參加培訓(xùn)， 問共有幾種不同的選法？A.96B.124C.382D.560【例 2】（上海 2013A-61 ）從甲地到乙地每天有直達班車4 班，從甲地到丙地每天有直達班車 5 班，從丙地到乙地每天有直達班車3 班，則從甲地到乙地共有（）不同的乘車法。A.12

48、 種B.19 種C.32 種D.60 種題型二：分類討論型【例 3】（秋季聯(lián)考2013-34 ）某單位有職工15 人，其中業(yè)務(wù)人員9 人?，F(xiàn)要從整個單位選出 3 人參加培訓(xùn)， 要求其中業(yè)務(wù)人員的人數(shù)不能少于非業(yè)務(wù)人員的人數(shù)。問有多少種不同的選人方法？（）A. 156B. 216C. 240D. 300題型三：分步計算型【例 4】（秋季聯(lián)考2013-33 ）某科室共有8 人，現(xiàn)在需要抽出兩個下級單位檢查工作，問共有多少種不同的安排方案？（）2 人的小組到不同的A. 210B. 260C. 420D. 840【例 5】（國考 2014-71 ）一次會議某單位邀請了 10 名專家，該單位預(yù)定了 10

49、 其中一層 5 間、二層 5 間。已知邀請專家中 4 人要求住二層、 3 人要求住一層、其余個房間，3 人住任一層均可。那么要滿足他們的住房要求且每人1 間，有多少種不同的安排方案？（）A. 43200B. 7200C. 450D. 75題型四：逆向計算型【例6】（天津2013-13 ）由1 9 組成一個3 位數(shù)，肯定有數(shù)字重復(fù)的組合有多少種？（）A. 220B. 255C. 280D. 225第 12 講概率問題一、題型評述概率問題是一類從排列組合衍生出來的新的題型， 這種題型基于排列組合， 但又有很多自己的特征和知識點，是近年來考試的最新熱點題型。二、破題密鑰概率滿足條件的情況數(shù)總的情況數(shù)

50、。三、例題精析題型一：基礎(chǔ)計算型【例 1】（春季聯(lián)考 2013-49 ）某種密碼鎖的界面是一組漢字鍵， 只有不重復(fù)并且不遺漏地依次按下界面上的漢字才能打開， 其中只有一種順序是正確的。 要使得每次對密碼鎖進行破解的成功率在萬分之一以下，則密碼鎖的界面至少要設(shè)置多少個漢字鍵？（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8題型二：分步乘法型核心提示分步概率滿足條件的每個步驟概率之積。【例 2】（北京 2013-74 ）一個由 4 個數(shù)字 (0-9 之間的整數(shù)不相同，問任意猜一個符合該規(guī)律的數(shù)字組合，猜中密碼的概率為（) 組成的密碼，每連續(xù)兩位都）。A.1/5040B.1/7290C.1/9000D.1/1

51、0000【例 3】（2012 年 915 聯(lián)考 48）甲某打電話時忘記了對方電話號碼最后一位數(shù)字，但記得這個數(shù)字不是“ 0”。甲某嘗試用其他數(shù)字代替最后一位數(shù)字，恰好第二次嘗試成功的概率是（）。A. 1/9B. 1/8C. 1/7D. 2/9題型三：分類加法型核心提示總體概率滿足條件的各種情況概率之和。【例 4】（新疆兵團2013-57 ）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采取三局兩勝制，無論哪一方先勝兩局則比賽結(jié)束。甲每局獲勝的概率為2/3 ，乙每局獲勝的概率為1/3 。問甲最后取勝的概率是多少？（）A.20/27B.2/3C.4/9D.8/27【例 5】（春季聯(lián)考2013-54 ）某次抽獎活動

52、在三個箱子中均放有紅、黃、綠、藍、紫、橙、白、黑8 種顏色的球各一個，獎勵規(guī)則如下：從三個箱子中分別摸出一個球，摸出的3個球均為紅球的得一等獎，摸出的 3 個球中至少有一個綠球的得二等獎，摸出的 3 個球均為彩色球 ( 黑、白除外 ) 的得三等獎。問不中獎的概率是多少?（）A. 在 025 之間 B.在 2550之間C. 在 5075之間D. 在 75100 之間題型四：逆向計算型核心公式某條件成立概率1該條件不成立的概率；【例 6】（山東 2013-57 ）桌子中有編號為 1-10的 10 個小球， 每次從中抽出1 個記下后放回 , 如是重復(fù)3 次，則 3 次記下的小球編號乘積是5 的倍數(shù)的

53、概率是多少？A.43.2%B.48.8%C.51.2%D.56.8%題型五：拓展技巧型【例 7】（浙江2009 -52）小孫的口袋里有四顆糖，一顆巧克力味的，一顆果味的，兩顆牛奶味的。小孫任意從口袋里取出兩顆糖，他看了看后說，其中一顆是牛奶味的。問小孫取出的另一顆糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？A. 1/3B.1/4C. 1/5D. 1/6【例 8】（吉林 2012 乙 7）某軍訓(xùn)部隊到打靶場進行射擊訓(xùn)練，隊員甲每次射擊的命中率為 50%，隊員乙每次射擊的命中率為 80%，教練規(guī)定今天的訓(xùn)練規(guī)則是，每個隊員射擊直到未中一靶一次則停止射擊，則隊員甲今天平均射擊次數(shù)（ ）。A. 2次B. 1.

54、23次C. 2.5次D. 1.5次第 13 講溶液問題一、題型評述“溶液問題”是一種非常典型的“比例型”計算問題，抓住“溶液” 、“溶質(zhì)”和“溶劑”三者的關(guān)系，是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。此外，出題人以溶液為模型基礎(chǔ)，衍生出很多特殊的題型， 需要我們使用專門的技巧或者總結(jié)公式才能高速、 有效完成， 這類題型便是當(dāng)前考查的重點。二、破題密鑰溶液溶質(zhì) +溶劑；濃度溶質(zhì)溶液；溶質(zhì)溶液濃度；溶液溶質(zhì)濃度三、例題精析【例 1】（深圳 2013-55 ）化學(xué)實驗中，需要使用現(xiàn)有不同濃度的配置新的濃度為 15%的氯化鈉溶液。已知 A 溶液的濃度是 B 溶液的液與 250 克 B 溶液混合即能完成配置，那么 A 溶液

55、的濃度是（A、 B 兩種氯化鈉溶液 5 倍，且若將 50 克 A溶）。A. 45%B. 40%C. 35%D. 30%【例 2】（天津 2013-10 ）甲容器有濃度為3%的鹽水 190 克，乙容器中有濃度為水若干克，從乙容器中取出210 克鹽水倒入甲容器中， 則甲容器中鹽水的濃度是多少？9%的鹽（）A. 5.45%B. 6.15%C. 7.35%D. 5.95%【例 3】（安徽 2012 62）在某狀態(tài)下，將28g 某種溶質(zhì)放入99g 水中恰好配成飽和溶液，從中取出1/4 溶液加入4g 溶質(zhì)和 11g 水，請問此時濃度變?yōu)槎嗌?？（）A. 21.61%B. 22.05%C. 23.53%D.

56、24.15%【例 4】有兩只相同的大桶和一只空杯子，甲桶裝牛奶，乙桶裝糖水。先從甲桶內(nèi)取出一杯牛奶倒入乙桶，再從乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。請問此時甲桶內(nèi)的糖水多還是乙桶內(nèi)的牛奶多？（）A. 無法判定B. 甲桶糖水多C. 乙桶牛奶多D. 一樣多【例 5】（江蘇2012B-89 ，C-30）某鹽溶液的濃度為15%,如果再加入同樣多的水，則溶液的濃度變?yōu)椋ǎ?0%，加入水后，溶液的濃度變?yōu)锳.13%B.12.5%C.12%D.10%第 14講牛吃草一、題型評述“牛吃草問題” 是一類經(jīng)典的、 常考不衰的數(shù)學(xué)運算題型， 其常用方法主要有 “公式法”、“方程法”與“表格法” ，三種方法的本

57、質(zhì)是完全一致的。這種題型源自于小學(xué)奧數(shù)，但最有效的做題方法并不是小學(xué)奧數(shù)當(dāng)中的“公式法” ，而是利用核心公式通過“方程法”來解題。實踐中發(fā)現(xiàn)，我們利用“表格法”來代替方程，雖然本質(zhì)是一樣的，但效率更高。在這里強烈推薦大家使用“表格法”來解答“牛吃草問題”，本節(jié)所有例題都同時配有“方程法”和“表格法”，請大家利用方程來強化理解，而利用表格來迅速答題，一旦掌握熟練之后，請直接使用“表格法”解答。請務(wù)必耐心學(xué)習(xí)， 一開始可能會比較郁悶， 掌握熟練之后將有意想不到的好效果。 其中“題型一：基本公式型”是本節(jié)的重點，大家可以首先掌握這一部分的知識。二、破題密鑰核心公式：y( Nx)T“y”代表原有存量（

58、比如“原有草量” ）；“N”代表促使原有存量減少的變量（比如“牛數(shù)”）；“x”代表存量的自然增長速度（比如“草長速度”）；“T”代表存量完全消失所耗用時間。三、例題精析題型一：基本公式型“表格法”解題方法點津首先我們要明確的是，上題中第二種用表格的方法，本質(zhì)上是第一種用方程的方法的一種簡化形式， 其操作的過程實際上就是原來解方程組的過程。 所以大家平時訓(xùn)練的時候一定要兩種方法聯(lián)合來看， 才能真正體會第二種方法的精髓， 等熟練之后再單獨使用表格的方法，一旦遇到有任何疑問，就應(yīng)該先列個方程來對比一下。下面我們介紹一下表格各個位置數(shù)字的含義：N3N -xT33N1N -xT1N T111N 2N2-

59、xT 2N2 T2x=右兩項之商上兩項之差上兩項之差上面第一列代表牛吃草問題的“牛數(shù)”，第三列代表“時間” ，其字母 N、T 的含義與前面公式當(dāng)中的完全一致。對于基礎(chǔ)型的“牛吃草問題”，“表格法”具體操作步驟是這樣的：把上面表格中帶框的 5 個數(shù)字按照題目條件填進去，注意四個細節(jié)說是“列表法” ，實際考試的時候不一定要畫出表格來，按照表格位置寫數(shù)字就行；第一列填“牛數(shù)” ，第三列填“時間” ，中間空出一列來；已知的兩種情況填在第二、三行，未知的需要求解的那種情況填在第一行；未知的第一行中， 還可能是 N3 未知，而 T3 已知，那么就在 T3 的位置填上其數(shù)字，而將 N3 的位置空出來。將第二

60、、三行已經(jīng)的四個數(shù)字兩兩對應(yīng)相乘，放在第四列，如上表所示；將上一步得到的兩個數(shù)字相減，放在第四列最后一行，再將第三列兩個已知的時間相減，放在第三列的最后一行，如上表所示；將上一步得到的兩個數(shù)字相除，用第四列數(shù)字除以第三列數(shù)字，放在第二列的最后一行，這個數(shù)字就是 x，代表“草長速度” ；將第一列的三個“牛數(shù)”都減去x，放在第二列相應(yīng)位置，這時，前三行的第二、三列相乘應(yīng)該是一樣的數(shù)值，即“ (N3-x) T3=(N1-x) T1=(N2-x) T2=y”，而這個數(shù)值不是別的，正是“原有草量” ，利用這個條件便可以求出我們需要的變量?！纠?1】（浙江 2012-57 ）某演唱會檢票錢若干分鐘就有觀眾