傅里葉變換推導

1、傅里葉變換推導傅里葉變換函數(shù)所要滿足的條件：以T為周期，且在區(qū)間-2，?上滿足狄利克雷(dirichlet)條件:1, /(t)在-T,T上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點; 2 22, f(t)在-：，?上只有有限個間斷點。則函數(shù)在連續(xù)點處可表示有b sin nst)炎f(x) =+ (?？?cos nwt +n=1其中2nw =T利用歐拉公式改寫上式:2 fT/2=t I f(t)cosnwtdt(n-T/22T/2=t I f(t)sinnwtdt(n-T/2eje + e-jecos。=sine2ooQejnwt + e-jnwt地)=*+2(%=1 p? f(t)ejnwt dt2=0,

2、1,2,=0,1,2,eje - e-je2jejnwt e-jnwt2jn=1o*Y *-j4ejn3t+ ynwt)n=1a 1 T/2C0 = * = TJ f(t)dt-T/21TT=-I2 f(t)cosnwtdt -jl2 f(t)sinnwtdt TTT-2-21 rf=-| f(t)(cosnwtT J_t-2jsinnwt)dt(n=1,2,3.)(n=0,-1,-2,-3.)c n = SiWi = f f(t)e-jnwt dt2則它們可合成一個式子：上=12 f(t)ejn3tdt (n=.-2,-l,0,l,2,3.) n t 于若令 o)n = no)(n=.-2,

3、-1,0,1,2.)則可表示為：f(t) = 2 Cn ejtn=oo這就是傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式，或者表示為：1 f(t) =:fCOejs nTdTejo)ntn=l一般函數(shù)可看作周期無限大的周期函數(shù)nTdTejwntf(t) = lim 1V Too T z2最終可求出傅里葉積分公式8J f(x)ejwT dr ejwTdco001002 71oo性質(zhì)時域f（t）頻域F（G）時域頻域?qū)P系線性n j(t) i1n由Fi(3)i1線性疊加對稱性F(t)2措（-間對稱尺度變換f(at)13一F(一) |a| (a)壓縮與擴 展f(-t)F(-3)反時移f(t - to)F(3)e -j3t

4、0時移與相 移f(at- t0)1 r3、心F( )e-b | a | a頻移f(t)e j0tF(g-Go)調(diào)制與頻 移f(t)ej30t cos(3t)12 F(3 + 30)+ F(3 - 30)f(t)ej30t sin(3t)jF(3 + 30) F(3 30)時域微分df(t) dTj3F(3)dnf(t) dtn(j3)nF(3)頻域微分-jtf(t)dF(3) d3(-jt)nf(t)dnF(3) d3n時域積分J f(x)dx-81F(3) + nF(0)8(3) j3時域卷積f,(t)*f2(t)Fj3)F2(3)成績與卷 積頻域卷積f1(t)f2(t)21-f1(3)*f2(3)時域抽樣8f(況(t-nT/n-81 寸2nnT ZF(3-T)n-8抽樣與重 復頻域抽樣1 寸2nn/ f(t)3 J3n-8