怎樣求點(diǎn)到平面的距離

1、怎樣求點(diǎn)到平面的距離徐加生在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。本文總結(jié)幾種求點(diǎn)到平面距離的常用方法，供參考。一直接法根據(jù)空間圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)，找到垂足的位置，直接向平面引垂線，構(gòu)造可解的直角三角形求解。例1. （1998年全國(guó)高考題）已知斜三棱柱 ABC A1B1cl的側(cè)面A1ACC1與底面ABC 垂直， ABC 90 ,BC 2,AC 2雜，且 AA 1 A1C,AA1 A 1C ； （I）求側(cè)棱 A1A 與底 面ABC所成角的大??；（II）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小；（III）

2、求頂點(diǎn)C 到側(cè)面A1ABB1的距離。4 G圖1簡(jiǎn)析：（I）如圖1,取AC中點(diǎn)D,易得側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角為 A1AD 45。（II）由于 A1D 底面 ABC,過 D 作 DE AB 于 E,連 A 1E ,知 A1E AB ,則 A1ED 為所求二面角的平面角。易求得A1ED 60。（III）要求C到平面A1ABB1的距離，可直接作 CH 面A1ABB1于H , CH的長(zhǎng)就是點(diǎn) 到平面的距離。關(guān)鍵是怎樣求CH的長(zhǎng)。注意到 BC AB ,連BH,則由三垂線定理得HB AB ,即 HBC為二面角的平面角。由（II）知 HBC 60，所以CH BCsin60 3 為所求。注：此法的關(guān)鍵是

3、要找到可解的直角三角形來求解。二.找垂面法找（作）出一個(gè)過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到 平面的垂線段。例2.正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為 質(zhì)，AiCi的中點(diǎn)為D。（1）求證BC1 平面AB1D ; （2）求點(diǎn)B到平面AB1D的距離。AB簡(jiǎn)析：（1）連A1B與AB1相交于O,連DO。由三角形中位線定理易得 BC/OD,則 BC1 /面ABD。（2）由于。為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn) B到平面ABD的距離等于點(diǎn) A1到平面八8戶的 距離。由 B1D A1C1,得 B1D 面 A1ACC1,又 B1D 面 ABD,所以面 ABD 面 A1ACC1, 交

4、線為AD （找到了垂面）。過A1作A1H AD于H,則A1H 面ABD ,所以AH的長(zhǎng)度就是點(diǎn) A1到平面ABD 的距離。在 Rt A1AD 中，A1HA1D A1AAD所以點(diǎn)B到平面八81口的距離為.轉(zhuǎn)化法當(dāng)由點(diǎn)向平面引垂線發(fā)生困難時(shí)，可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線上（平面上）其他點(diǎn)到平面的距離。例3. （1991年全國(guó)高考題）已知 ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的 中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在平面，且 GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離。簡(jiǎn)析：如圖3 ,連AC分別與BD相交于O ,與EF相交于H ,由EFGCHRt GCH OK GH OK 21 T E 8 等積法

5、11即利用三棱錐的換底法，通過積體計(jì)算得到點(diǎn)到平面的距離.本法具有設(shè)高不作高的特殊功效，減少了推理，但計(jì)算較為復(fù)雜。例4.同例3。簡(jiǎn)析：設(shè)B到面EFG的距離為h,VB GEF TS GEF h3，一1由于 S GEF 1 EF GH 2所以 VB GEF11h3另一方面，VB GEF V（2 2 . 22 (344、2)2 J1BEFGC SBEF2 -SBAD所以 2.11h 4, 332.11得h 即為B到平面 GEF的距離。11五.坐標(biāo)向量法通過建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求模長(zhǎng)的知識(shí)可求得點(diǎn)到平面的距離。例5. (2003年江蘇高考題)如圖 4,在直三棱柱 ABC A1B1c1中，底

6、面是等腰直角三角形，ACB 90 ,側(cè)棱AA1 2, Dk E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn) E在平面 ABD上的射影是 ABD的重心Go (I)求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)；(II)求點(diǎn)A1到平面AED的距離。圖4a, 1),2a 2a 1G(T,T,3)簡(jiǎn)析：(I)易知 GBE為A1B與平面ABD所成的角。不難求出GBE arcsin o34所示的空間直角坐標(biāo)系。(II)分別以CA、CR CC1為x軸、y軸、z軸，建立如圖A1 (2a, 0, 2), E (a,設(shè) |CA | 2a ,貝U A (2a, 0, 0), B (0, 2a, 0) , D (0, 0, 1),所以 GE (a,a,2),BD (0, 2a,1) 3 3,2 o 2.由 GE BD a 0 , 33解得a 1。所以A (2,0, 0),A1 (2, 0, 2), E (1, 1,1)易證平面AED 平面AAiE,交線為AE,所以點(diǎn)Ai在平面A