高等數(shù)學(xué)第十一章第五節(jié)《對坐標(biāo)的曲面積分》課件

1、第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標(biāo)的曲面積分 一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 其方向用法向量指向方向余弦 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . 分析:

2、若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: 對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得, 則 設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P, Q, R 叫做被積函數(shù); 叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2. 定義.引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為稱為Q 在有向曲面上對 z, x 的曲面積分;稱為R 在有向曲面上對 x, y 的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對 y, z 的曲面積分;3. 性質(zhì)(1

3、)可加性(2) 曲面有向性用 表示 的反向曲面三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法定理: 設(shè)光滑曲面取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則證: 取上側(cè), 若則有 若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面 取下側(cè), 則例1. 計算其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解: 利用對稱性.原式 的頂部 取上側(cè) 的底部 取下側(cè)解: 把 分為上下兩部分根據(jù)對稱性 思考: 下述解法是否正確:例2. 計算曲面積分其中 為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分. 四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫令向量形式( A 在 n 上的投影)例3. 設(shè)是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計

4、算解: 例4. 計算曲面積分其中解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有 原式 =旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). 原式 =內(nèi)容小結(jié)定義:1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系 性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與 2. 常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化當(dāng)時，（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .思考與練習(xí)1. P228 題2提示: 設(shè)則 取上側(cè)時, 取下側(cè)時,3