【數(shù)學】培優(yōu)一元二次方程輔導專題訓練附詳細答案

1、一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.某建材銷售公司在2019年第一季度銷售A，B兩種品牌的建材共126件，A種品牌的建材售價為每件6000元，B種品牌的建材售價為每件9000元.（1）若該銷售公司在第一季度售完兩種建材后總銷售額不低于96.6萬元，求至多銷售A種品牌的建材多少件？（2）該銷售公司決定在2019年第二季度調整價格，將A種品牌的建材在上一個季度的基礎上下調a%，B種品牌的建材在上一個季度的基礎上上漲a%；同時，與（1）問中最低1銷售額的銷售量相比，A種品牌的建材的銷售量增加了2a%，B種品牌的建材的銷售量22減少了3a%，結果2019年第二季度的銷售額比（1）問中

2、最低銷售額增加23a%，求a的值.【答案】（1）至多銷售A品牌的建材56件;（2）a的值是30.【解析】【分析】（1）設銷售A品牌的建材x件，根據(jù)售完兩種建材后總銷售額不低于96.6萬元，列不等式求解；（2）根據(jù)題意列出方程求解即可.【詳解】（1）設銷售A品牌的建材x件.根據(jù)題意，得6000 x+9000（126-x）966000，解這個不等式，得x56，答：至多銷售A品牌的建材56件.（2）在（1）中銷售額最低時，B品牌的建材70件,6000(1-a%)0561+-a%+9000(1+a%)o701-2a%12丿I3丿根據(jù)題意，得(6000056+9000070”+23a%令a%二y,整理這

3、個方程，得10y2-3y二0，3解這個方程，得y二0,y二-，1210:ai0（舍去），a230，即a的值是30.【點睛】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系和不等關系，列方程組和不等式求解.已知關于x的方程x2+3x+a二0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3且關于x的方程k2-1(k-1)x2+3x-2a=0有實數(shù)根，又k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值.k2+k一6【答案】0.【解析】【分析】由于關于x的方程x2+3x+a=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3利用根與系數(shù)的關系可以得到關于a的方程求出a,又由于關于x的方程(k-1)x2+3x-2a=

4、0有實數(shù)根，分兩種情況討論，該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k為正整數(shù)，利用判別式可以求出k,最后代入所求代數(shù)式計算即可求解.【詳解】解：設方程的兩個實數(shù)根分別為X、x2x+x=312則01x+x由條件，知+二于=3，121239即3，且a，a4故a=1，則方程為(k-1)X2+3x+2=0,k21I當k-1=0時，k=1,x=一，貝y0.k2+k617口.當k-lH0時，A=9-8(k-1)=17-6-8k0，則k-，8k21又k是正整數(shù)，且31,則k=2,但使無意義.k2+k6k21綜上，代數(shù)式的值為0k2+k6【點睛】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，在解方程時一定

5、要注意所求k的值與方程判別式的關系.要注意該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，已知關于x的一元二次方程x2(2k-1)x+k2一3=0有兩個實數(shù)根.求k的取值范圍；設方程兩實數(shù)根分別為J,x2,且滿足x2+x2=23，求k的值.121213答案】k-J2)k=-2-【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根得出=-（2k-1力2-4xlx（k2-3）=-8k+50，解之可得.（2）利用根與系數(shù)的關系可用k表示出xi+x2和xix2的值，根據(jù)條件可得到關于k的方1212程，可求得k的值，注意禾怫根的判別式進行取舍.【詳解】解：（】）關于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-3=0有兩個

6、實數(shù)根,0，即-（2k-1力2-4x1x（k2-3）=-4k+130,J3解得k0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0,再利用求根公式即可求出方程的兩根即可；有(1)可知方程的兩根，再有條件Xx2，可知道x1和x2的數(shù)值，代入計算即可.一位數(shù)學老師參加本市自來水價格聽證會后，編寫了一道應用題，題目如下：節(jié)約用水、保護水資源，是科學發(fā)展觀的重要體現(xiàn).依據(jù)這種理念，本市制定了一套節(jié)約用水的管理措施，其中規(guī)定每月用水量超過*(噸)時，超過部分每噸加收環(huán)境保護費=元下圖反映了每月收取的水費(元)與每月用水量二(噸)之間的函數(shù)關系.請你解答下列問題：5.觀察下列組方程：x2x

7、=0；x23x+2=0；x25x+6=0；x2-7x+12=0；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”.若x2+kx+56二0也是“連根一元二次方程，寫出k的值，并解這個一元二次方程；請寫出第n個方程和它的根.【答案】(1)X=7,x2=8.(2)x1=n1,x2=n.【解析】【分析】(1)根據(jù)十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56是7與8的乘積,確定k值即可解題,(2)找到規(guī)律,十字相乘的方法即可求解.【詳解】解:(1)由題意可得k=15，則原方程為X215x+56=0,則(x7)(x8)=0，解得x】=7，x2=8.第n個方程

8、為x2(2n1)x+n(n1)=0,(xn)(xn+1)=0,解得x】=n1,x2=n.【點睛】本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯(lián)系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會用十字相乘解題是解題關鍵.已知關于x的一元二次方程mx2(m+2)x+詈=0.當m取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當m=4時，求方程的解.【答案】(1)當m1且m豐0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)x=土5，143-弱x=.24【解析】【分析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，人0，代入求m取值范圍即可，注意二次項系數(shù)丸；將m=4代入原方程，求解即可.【詳解】由題意得：A=b24ac=(m+2

9、)24m扌0，解得m1.因為m豐0，即當m1且m豐0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.把m=4帶入得4x26x+1=0，解得x=比遼，x=匕5.1424【點睛】本題考查一元二次方程根的情況以及求解，熟練掌握根的判別式以及一元二次方程求解是加大本題的關鍵.1已知關于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-亍)=0.求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；若等腰ABC的一邊長。=3,另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求k值多少？3【答案】(1)詳見解析;(2)k=或2.【解析】【分析】計算判別式的值，利用完全平方公式得到=(2k-3)20,然后根據(jù)判別式的意義得到結論；利用求根公式解方程得到x1=2k-

10、1,x2=2，再根據(jù)等腰三角形的性質得到2k-1=2或2k-1=3，然后分別解關于k的方程即可.【詳解】1(1)V=(2k+1)2-4x4(k-)=4k2-12k+9=(2k-3)20，2該方程總有實數(shù)根；2k+1(2k-3)(2)x=2X=2k-1,x2=2,ta、b、c為等腰三角形的三邊，2k-1=2或2k-1=3,3k=-或2.厶【點睛】本題考查了根的判別式以及等腰三角形的性質，分a是等腰三角形的底和腰兩種情況是解題的關鍵.8閱讀材料:若m2一2mn+2n2一8n+16=0，求m、n的值.解：m2一2mn+2n2一8n+16=0,(m2一2mn+n2)+(n2一8n+16)=0(m一n)

11、2+(n一4)2=0,m一n=0,n一4=0,n=4,m=4.根據(jù)你的觀察,探究下面的問題:己知x2+2xy+2y2+2y+1二0，求x一y的值.已知ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-6a-8b+25=0，求邊c的最大值.若己知a一b=4,ab+c2一6c+13=0,求a一b+c的值.【答案】(1)2(2)6(3)7【解析】【分析】將多項式第三項分項后,結合并利用完全平方公式化簡,根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x-y的值；將已知等式25分為9+16,重新結合后,利用完全平方公式化簡,根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0求出a與b的值，根

12、據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關系即可求出c的長；由a-b=4,得到a=b+4，代入已知的等式中重新結合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0求出b與c的值，進而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【詳解】(1)tx2+2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0 x+y=0y+1=0解得：x=1,y=-1.x-y=2；va2+b2-6a-8b+25=0.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0.(a-3)2+(b-4)2=0.a-3=0，b-4=0解得：a=3，b=4v三角形兩邊之和第三邊.ca+b,cV

13、3+4,.cV7.又vc是正整數(shù)，：ABC的最大邊c的值為4,5,6,.c的最大值為6；va-b=4,即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0，整理得：(b2+4b+4)+(C2-6c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,.b+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2，則a-b+c=2-(-2)+3=7.故答案為7.【點睛】本題考查了因式分解的應用,以及非負數(shù)的性質,熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵.9.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,zC=90,BC=16,DC=12,AD=21,動點P從點D出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個單位長的速度運動；動點Q從點C出

14、發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動；點P,Q分別從點D,C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動，設運動的時間為t秒)APZ?當t=2時，求BPQ的面積；若四邊形ABQP為平行四邊形，求運動時間t當t為何值時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？716【答案】(1)S=84；(2)t=5；(3)t=或【解析】【分析】(1)過點P作PM丄BC于M，則PM=DC，當t=2時，算出BQ,求出面積即可；(2)當四邊形ABQP是平行四邊形時，AP=BQ，即21-2t=16-1，解出即可；(3)以B、P、q為頂點的三角形是等腰三角形，分三種情況，PQ二BQ,BP二BQ,PB二PQ

15、分別求出t即可.【詳解】解：（1）過點P作PM丄BC于M，則四邊形PDCM為矩形.SOC.PM=DC=12,QB=16t，當t=2時，則BQ=14，11則S=-QBxPM=x14x12=84；22（2）當四邊形ABQP是平行四邊形時，AP二BQ,即：212t=16t解得：t=5.當t=5時，四邊形ABQP是平行四邊形.(3)由圖可知，CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分為以下三種情況：若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ=t+12，由PQ=BQ得712+122=(16t)2解得：t=；若BP=BQ,在RtPMB中，PB2=(16)2+122，由PB2=BQ

16、2?得(1621)2+122=(16t)2，即3t32t+144=0，此時，=(-32)4X3x144=7040,所以此方程無解，所以BP豐BQ；若PB=PQ，由PB=PQ?得t+12=（16t）+12,16得=y，t=16（不合題意，舍去）；716綜上所述，當t=或時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.【點睛】本題是對四邊形即可中動點問題的考查，熟練掌握動點中線段的表示、平行四邊形和等腰三角形的性質及判斷是解決本題的關鍵，難度適中.10利民商店經銷甲、乙兩種商品.現(xiàn)有如下信息信息1：甲乙兩種商品的進貨單價和為11；信息2：甲商品的零售單價比其進貨單價多2元，乙商品的零售單價比其進貨單價

17、的2倍少4元：信息3：按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件共付37元(1)甲、乙兩種商品的進貨單價各是多少？G)據(jù)統(tǒng)計該商店平均每天賣出甲商品500件，經調查發(fā)現(xiàn)，甲商品零售單價每降0.1元，這樣甲商品每天可多銷售100件，為了使每天獲取更大的利潤，商店決定把甲種商品的零售單價下降a元，在不考慮其他因素的條件下，當a定為多少時，才能使商店每天銷售甲種商品獲取利潤為1500元？【答案】(1)甲種商品的進貨單價是5元/件，乙種商品的進貨單價是6元/件(2)當a定為0.5或1時，才能使商店每天銷售甲種商品獲取利潤為1500元【解析】【分析】設甲種商品的進貨單價是x元/件，乙種商品的進貨單價是y元/件，根據(jù)給定的三個信息，可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；當零售單價下降a元/件時，每天可售出(500+1000a)件，根據(jù)總利潤=單件利潤x銷售數(shù)量，即可得出關于a的一元二次方程，解之即可得出結論.【詳解】設甲種商品的進貨單價是x元/件，乙種商品的