八年級初二數(shù)學勾股定理知識點-+典型題及答案

1、一、選擇題1.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZC=90,ZDAB與ZADC的平分線相交于BC1邊上的M點，貝下列結(jié)論：ZAMD=90:S=人S；AADM2梯形ABCD1AB+CD=AD:M到AD的距離等于BC的3:M為BC的中點；其中正確的有（）A.2個B.3個C.4個D.5個2.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,ZD=90,AD=8,BC=6，分別以點A,1C為圓心，大于2AC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點則CD的長為（）4遼如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90。,ZABC的平分線BD與邊AC相交于點D,DE丄BC，垂足為E，若ACDE的周長為

2、6,則AABC的面積為（）.A.3.B.6D.8A.36B.18C.12D.9一個直角三角形兩邊長分別是12和5,則第三邊的長是（）A.13B.13或15C.13或空H9D.15如圖所示，有一個高18cm，底面周長為24cm的圓柱形玻璃容器，在外側(cè)距下底1cm的點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有一只蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑的長度是（）A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm如圖是我國數(shù)學家趙爽的股弦圖，它由四個全等的直角三角形和小正方形拼成的一個大正方形.已知大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊長為a

3、,較長直角邊長為彷，那么（a+b）2值為（）B.9C.13D.1697.如圖，在厶ABC中，CE平分ZACB,CF平分aABC的外角ZACD，且EF/BC交AC于M，若CM=4，則CE2+CF2的值為（）A.8B.16C.32D.648.如圖，在AABC中，D、E分別是BC、AC的中點.已知ZACB=90。，BE=4，AD=7，則AB的長為（）9.已知三角形的兩邊分別為3、4,要使該三角形為直角三角形，則第三邊的長為（）A.5B.C.5或D.3或410.如圖，在ABC,ZC=90,AD平分ZBAC交CB于點D,過點D作DE丄AB,垂足恰好是邊AB的中點E,若AD=3cm,則BE的長為（）3弋3

4、穴A.cmB.4cmC.3+2cmD.6cm2二、填空題在AABC中，ABAC=90。，以BC為斜邊作等腰直角ABCD，連接da，若TOC o 1-5 h zAB=2邁，AC=4邁，則DA的長為.在Rt厶ABC中，ZC=90,ZA=30,BC=2，以ABC的邊AC為一邊的等腰三角形，它的第三個頂點在ABC的斜邊AB上，則這個等腰三角形的腰長為.已知，在ABC中，ZC=90，AC=BC=7，D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上,DE=DF，若BF=4，則EF=14.RtMBC中，ZBAC=90，AB=AC=2，以AC為一邊.在MBC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為.15.如圖，

5、在ABC中，ZC=90,ZABC=45,D是BC邊上的一點，BD=2，將AACD沿直線AD翻折，點C剛好落在AB邊上的點E處若P是直線AD上的動點，貝PEB的周長的最小值是.16.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC為邊在AABC外作BQCABPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有（填序號）ABPa是等邊三角形APCQ是直角三角形ZAPB=150ZAPC=13517.如圖,在ABCD中,AC與BD交于點O,且AB=3,BC=5.線段OA的取值范圍是；若BD-AC=1,貝寸ACBD=如圖，ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是ABAC的角平分線，E是AD

6、上的動點，F(xiàn)是AB邊上的動點，則BE+EF的最小值為.我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形mnkt的面積分別為S1，S，S3，若TOC o 1-5 h z123S1+S2+S3=15，則S的值是.1232DB凰1圖t已知,在厶ABC中,BC=3,ZA=22.5,將厶ABC翻折使得點B與點A重合，折痕與邊AC交于點P,如果AP=4,那么AC的長為三、解答題在等邊ABC中，點D是線段BC的中點，AEDF=120o,DE與線段AB相交于點e,df與射

7、線AC相交于點F.（】）如圖1，若DF丄AC，垂足為F,AB=4,求be的長；E1（2）如圖2,將（1）中的ZEDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于1點F.求證：BE+CF二-AB.厶圖2（3）如圖3,將（2）中的ZEDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線交于點F,作DN丄AC于點N，若DN二FN,設BE=x,CF二y，寫出y關于x的函數(shù)關系式.22.如圖，ABC和AEDC都是等邊三角形，AD=、訐,BD=、密,CD=2求:（1）AE長；（2）ZBDC的度數(shù)：（3）AC的長.23.在等腰RtAABC中，AB=AC，ZBAC=90（1）如圖1，D，E是等腰

8、RtABC斜邊BC上兩動點，且ZDAE=45，將MBE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到MFC,連接DF求證：AED9AAFD；當BE=3,CE=7時，求DE的長；(2)如圖2,點D是等腰RtAABC斜邊BC所在直線上的一動點，連接AD,以點A為直角頂點作等腰RtMDE,當BD=3,BC=9時，求DE的長.24.我們規(guī)定，三角形任意兩邊的“廣益值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差如圖1,在AABC中，AO是BC邊上的中線，AB與AC的“廣益值”就等于AO2-BO2的值，可記為ABVAC二OA2-BO2(1)(2)值.在AABC中，若ZACB=90。,ABVAC=81，求AC的值.如圖2,在AAB

9、C中，AB=AC=12,ABAC=120。，求ABVAC,BAVBC的如圖3,在AABC中，AO是BC邊上的中線，S(3)ABVAC=64，求BC和AB的長.=24,AC=8,AABC圖3N分別是邊AB和CB上的動點，在圖中畫出AN+MN值最小時的圖形，并直接寫出AN+MN的最小值為26.如圖，aABD為邊長不變的等腰直角三角形，AB=AD,ZBAD=90。，在ABD外取一點E，以A為直角頂點作等腰直角AAEP，其中P在aABD內(nèi)部，ZEAP=90。,AE=AP=邁，當E、P、D三點共線時，BP=j7下列結(jié)論：E、P、D共線時，點B到直線AE的距離為5；E、P、D共線時，S+S=+爲；AADP

10、AABPS=+蘋3；AABD2作點A關于BD的對稱點C，在aAEP繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，PC的最小值為5+2y3-囂2；AAEP繞點A旋轉(zhuǎn)，當點E落在AB上，當點P落在AD上時，取BP上一點N，使得AN=BN，連接ED，則AN丄ED.其中正確結(jié)論的序號是.如圖1,點D在邊BC上，CD=1,AD仝，求AABD的面積.如圖2,點F在邊AC上，過點B作BE丄BC,BE=BC，連結(jié)EF交BC于點M，過點C作CG丄EF，垂足為G,連結(jié)BG.求證：EG=2BG+CG.如圖1,ABC中，CDAB于D,且BD:AD:CD=2:3:4,試說明AABC是等腰三角形；已知$伽產(chǎn)40盯2,如圖2,動點M從點B出發(fā)以每秒

11、2cm的速度沿線段BA向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以每秒1cm速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止設點m運動的時間為r(秒)，若DMN的邊與BC平行，求t的值；若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，AMDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.圖1圖2備用圖已知：四邊形ABCD是菱形，AB=4,ZABC=60,有一足夠大的含60角的直角三角尺的60角的頂點與菱形ABCD的頂點A重合，兩邊分別射線CB、DC相交于點E、F,且ZEAP=60.如圖1,當點E是線段CB的中點時，請直接判斷AAEF的形狀如圖2,當點E是線段CB上任意一點時(點E不與

12、B、C重合)，求證：BE=CF；如圖3,當點E在線段CB的延長線上，且ZEAB=15。時，求點F到BC的距離.已知ABC是等邊三角形，點D是BC邊上一動點，連結(jié)AD(1)如圖1,若BD=2，DC=4，求AD的長；G)如圖2，以AD為邊作ZADE=/ADF二60，分別交AB，AC于點E，F(xiàn).小明通過觀察、實驗，提出猜想：在點D運動的過程中，始終有AE=AF，小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的兩種想法想法1：利用AD是ZEDF的角平分線，構(gòu)造角平分線的性質(zhì)定理的基本圖形，然后通過全等三角形的相關知識獲證.想法2：利用AD是ZEDF的角平分線，構(gòu)造aADF的全等三角形，然后

13、通過等腰三角形的相關知識獲證.請你參考上面的想法，幫助小明證明AE二AF(一種方法即可)小聰在小明的基礎上繼續(xù)進行思考，發(fā)現(xiàn)：四邊形AEDF的面積與AD長存在很好的關系若用S表示四邊形AEDF的面積，x表示AD的長，請你直接寫出S與x之間的關系式.【參考答案】*試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1.C解析：C【分析】過M作ME丄AD于E，得出上MDE二1ZCDA,ZMAD二1上BAD，求出22ZMDA+ZMAD二1(ZCDA+ZBAD)二90。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZAMD,即可判2斷；根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MC=ME,ME=MB，即可判斷和；由勾股定理求出DC=DE，AB二AE，即可判斷；

14、根據(jù)SSS證ADEM=ADCM，推出S二S三角形DEM三角形DCM同理得出S三角形AEM三角形ABM，即可判斷詳解】解：過M作ME丄AD于E，tZDAB與乙ADC的平分線相交于BC邊上的M點,/.ZMDE二1ZCDA，ZMAD二1ZBAD，22.DC/AB，/ZCDA+ZBAD=180。，/ZMDA+ZMAD二1（ZCDA+ZBAD）二-x180。=90。，22/ZAMD=180。90。=90。，故正確；.DM平分ZCDE，ZC=90o（MC丄DC），ME丄DA，.MC二ME，同理ME=MB，/MC=MB=ME=1BC，故正確；2/M到AD的距離等于BC的一半，故錯誤；T由勾股定理得：DC2=

15、MD2MC2，DE2=MD2ME2,又.ME=MC，MD=MD，/DC=DE，同理AB=AE，/AD=AE+DE=AB+DC，故正確；DE=DC丁在ADEM和ADCM中（DM=DM，ME=MC/ADEM=ADCM(SSS)，/S=S三角形DEM三角形DCM同理S=S，三角形AEM三角形ABM/S=1S，故正確;三角形AMD2梯形ABCD故選：C【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力.2.A解析：A【分析】連接FC,根據(jù)基本作圖，可得0E垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FC.再根據(jù)MA證明F

16、OABOC，那么AF=BC=3，等量代換得到FC=AF=3，利用線段的和差關系求出FD=AD-AF=1.然后在直角AFDC中利用勾股定理求出CD的長.【詳解】解：如圖，連接FC，點0是AC的中點，由作法可知，0E垂直平分AC，.ADBC,:.ZFAO=ZBCO.在尸0人與4BOC中，2fao=zbcoOA=OC，ZAOF=ZCOB:.FOABOC(ASA),:.AF=BC=6,:,FC=AF=6,FD=AD-AF=8-6=2.在AFDC中，TZD=90,：.CD2+DF2=FC2,.CD2+22=62,CD=4邁.故選：A.【點睛】本題考查了作圖-基本作圖,勾股定理,線段垂直平分線的判定與性質(zhì)

17、,全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中求出CF與DF是解題的關鍵.3D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到ZBDE=ZBDA，再利用角平分線定理得到BE=AB=AC，根據(jù)ACDE的周長為6求出AB=6,再根據(jù)勾股定理求出AB2二18，即可求得AABC的面積.【詳解】ZBAC二90。，.AB丄AD,/DE丄BC,bd平分ZABC,.DE=AD,ZBED=ABAC=90，ZBDE=ZBDA，.BE=AB=AC，ACDE的周長為6，.DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，AB二AC,ABAC=90AB2+AC2=BC2=36,2AB2二36,AB2二18,11AABC的面

18、積二一AB-AC=AB2=9,22故選：D.【點睛】此題考查角平分線定理的運用，勾股定理求邊長，在利用角平分線定理時必須是兩個垂直一個平分同時運用，得到到角兩邊的距離相等的結(jié)論.C解析：C【分析】記第三邊為c,然后分c為直角三角形的斜邊和直角邊兩種情況，利用勾股定理求解即可.【詳解】解：記第三邊為C,若c為直角三角形的斜邊，則c=122+52=13；若C為直角三角形的直角邊，則c=J12252=13=213.故選：C.【點睛】本題考查了勾股定理的靈活運用，考查了中點的定義，本題中根據(jù)直角BCE和直角AADC求得%2+y2的值是解題的關鍵.9C解析：C【分析】根據(jù)勾股定理和分類討論的方法可以求得

19、第三邊的長，從而可以解答本題【詳解】由題意可得，當3和4為兩直線邊時，第三邊為:：42+32=5,當斜邊為4時，則第三邊為：、:4232=7,故選:C【點睛】本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用勾股定理和分類討論的數(shù)學思想解答10A解析:A【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證CD=DE，從而根據(jù)HL”證明RtAACD竺RtAAED,由DE為AB中線且DE丄AB，可求AD=BD=3cm，然后在RtABDE中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出BE的長.【詳解】TAD平分上BAC且上C=90,DE丄AB，CD=DE，由AD=AD，所以，RtAACD竺RtAAED，所以，AC=AE.TE為AB中點

20、，.AC=AE=1AB,2所以，ZB=30.TDE為AB中線且DE丄AB，.AD=BD=3cm，13DE=2BD=2BE=1323朽cm.2故選A.點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),含30角的直角三角形的性質(zhì)，及勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵.二、填空題116或2.【分析】由于已知沒有圖形，當RtABC固定后，根據(jù)以BC為斜邊作等腰直角BCD可知分兩種情況討論：當D點在BC上方時，如圖1,把厶ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ADCE,證明A、C、E三點共線，在等腰RtADE中，利用勾股定理可求AD長；當D點在BC下方時，

21、如圖2,把ABAD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90得到CED，證明過程類似于求解.【詳解】解：分兩種情況討論：當D點在BC上方時，如圖1所示，把厶ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到ADCE,貝yZABD=ZECD,CE=AB=22，AD=DE，且ZADE=90在四邊形ACDB中，ZBAC+ZBDC=90+90=180,.ZABD+ZACD=360-180=180,ZACD+ZECD=180,.A、C、E三點共線.AE=AC+CE=42+2、；2=62在等腰RtAADE中，AD2+DE2=AE2,即2AD2=(62)2,解得AD=6當D點在BC下方時，如圖2所示，把ABAD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90得到CED,貝y

22、CE=AB=2f2,ZBAD=ZCED,AD=AE且ZADE=90,所以ZEAD=ZAED=45,/.ZBAD=90+45=135,即ZCED=135,/.ZCED+ZAED=180,即A、E、C三點共線./AE=AC-CE=4-2話2=2在等腰RtAADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2.圖2故答案為：6或2.【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解決這類等邊（或共邊）的兩個三角形問題，一般是通過旋轉(zhuǎn)的方式作輔助線，轉(zhuǎn)化線段使得已知線段于一個特殊三角形中進行求解.12.2爲或2【分析】先求出AC的長，再分兩種情況：當AC為腰時及AC為底時，分別求出腰長即可.【詳解】在RtABC中

23、，ZC=90,ZA=30,BC=2，.AB=2BC=4，AC=JAB2BC2=J4222=2再,當AC為腰時，則該三角形的腰長為2運；當AC為底時，作AC的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,如圖，此時ACD是等腰三角形，則AE=*3,設DE=x，貝卩AD=2x，：AE2+DE2=AD2,x2+（環(huán)=（2x）2.x=l（負值舍去），腰長AD=2x=2，故答案為：23或2【點睛】此題考查勾股定理的運用，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題時注意：“AC為一邊的等腰三角形”沒有明確AC是等腰三角形的腰或底，故應分為兩種情況解題，這是此題的易錯之處.13.3j2或llu2或5或109

24、【分析】分別就E,F在AC,BC上和延長線上，分別畫出圖形，過D作DG丄AC,DH丄BC,垂足為G,H,通過構(gòu)造全等三角形和運用勾股定理作答即可.【詳解】解：過D作DG丄AC,DH丄BC，垂足為G,H.DGBC,ZCDG=ZCDH=45又TD是AB的中點，1.DG=BC21同理：DH=2AC又，BC=AC.DG=DH在RtADGE和RtADHF中DG=DH,DE=DF.RtADGE9RtADHF(HL).GE=HF又.DG=DH,DC=DC.GDCAFHC.CG=HC.CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3EFr丑+32=3邁過D作DG丄AC,DH丄BC，垂足為G,H.DGBC,Z

25、CDG=ZCDH=45又TD是AB的中點，K.11DG二BC2同理：DH=-AC厶又TBC二ACDG二DH在RtADGE和RtADHF中DG=DH,DE=DFRtADGE9R弋DHF(HL)GE二HF又VDG=DH,DC=DCGDCAFHCCG二HCCE二CF二AC+AE二AB+BF=7+4=11EF=：112+112=1K2如圖，以點D為圓心，以DF長為半徑畫圓交AC邊分別為E、E，過點D作DH丄AC于點H,可知DF=DE=DE，可證AEHDAEHD,CED卷CFD,DHC為等腰直角三角形，Z1+Z2=45ZEDF=2(Z1+Z2)=90EDF為等腰直角三角形可證AAEDCFDAE=CF=3

26、,CE=BF=4EF=JCE2+CF2=$42+32=5有第知，EF=5，且EDF為等腰直角三角形,ED=DF=竺-，可證WCFsAEDE,2D-Fy2+32=x23_+x22綜上可得：x_耳2EF=DEr2+DFf2二2DESEF二1095【點睛】本題考查了全等三角形和勾股定理方面的知識，做出輔助線、運用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關鍵.14.4或2J5或*10【分析】分三種情況討論：以人為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC；以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD；以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC.分別畫圖，并求出BD.【詳解】以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC,如圖1.V

27、ZDAC=90，且AD=AC，:.BD=BA+AD=2+2=4；以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD,如圖2.連接BD,過點D作DE丄BC,交BC的延長線于E.ABC是等腰直角三角形，ZACD=90，AZDCE=45.又DEICE,AZDEC=90，AZCDE=45,；.CE=DE=2x=J2.2在RtABAC中,BC=；22+2=2邁,；BDBE2+DE2二(22+j2)2+(p2)二2.5；以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC,如圖3.VZADC=90,AD=DC,且AC=2,；AD=DC=ACsin45=2x=j2.2又abc、Aadc是等腰直角三角形，；.ZACB=ZACD=

28、45,；ZBCD=90.又在RtABC中，BC=-払+2二2邁,；BD=BC2+CD2=(22)2+(叮2)=、10.E1S2ffl3故BD的長等于4或2污或.故答案為4或2.-5或7T0.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識.解題的關鍵是分情況考慮問題，15.2邁+2【分析】連接CE,交AD于M,根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當P和D重合時，PE+BP的值最小，此時ABPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE長,代入求出即可.【詳解】如圖，連接CE,交AD于M,沿AD折疊C和E重合，ZACD=ZAED=90,AC=AE,ZCAD

29、=ZEAD,.AD垂直平分CE,即C和E關于AD對稱，BD=2,.cd=de=j2，.當P和D重合時，PE+BP的值最小，即此時BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,VZDEA=90,ZDEB=90,VZABC=45,ZB=45,.de=p2，.BE2，即BC=2+，PEB的周長的最小值是BC+BE=2+f2+、遼=2+2、迂-故答案為2+2-【點睛】本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，關鍵是求出P點的位置.16.【解析】【詳解】解：ABC是等邊三角形，/.ZABC二60，BQC竺ABPA,Z

30、BPA=ZBQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，ZABP=ZQBC，/ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60,BPQ是等邊三角形，正確.PQ=BP=4，PQ2+QC2=42+32=25,PC2=5=25，120PQ2+QC2=PC2,.zPQC=90，即QC是直角三角形，正確.BPQ是等邊三角形，ZPBQ=ZBQP=60,BQCBPA,:.ZAPB=ZBQC,ZBPA=ZBQC=60+90=150,正確.ZAPC=360-150-60ZQPC=150-ZQPC,ZPQC=90,PQ主QC,ZQPC豐45,即ZAPC豐135，錯誤.故答案為.【解析】由三角形邊的性質(zhì)5

31、-32OA0.x=2cm，則BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm.由運動知，AM=10-2t，AN=t，當MNBC時，AM=AN,即10-2t=t，.t10T當DNBC時，AD=AN,.6=t，得：t=6；10若厶DMN的邊與BC平行時，t值為亍s或6s.存在，理由：I、當點M在BD上，即0WtV2時，MDE為鈍角三角形，但DMhDE；II、當t=2時，點M運動到點D,不構(gòu)成三角形III、當點M在DA上，即2tX+3x，解得：x=：-1，求出FH=X=3-J：即可.【詳解】(1)解：AEF是等邊三角形，理由如下：連接AC,如圖1所示：四邊形ABCD是菱形，AB=BC=

32、AD,ZB=ZD,TZABC=60,ZBAD=120,ABC是等邊三角形，AC=AB,T點E是線段CB的中點，AEBC,ZBAE=30,TZEAF=60,ZDAF=120-30-60=30=ZBAE,在厶BAE和厶DAF中，ZE-ZD1AB-AD4査卜:-21DAFBAEDAF(ASA),AE=AF,又TZEAF=60,AEF是等邊三角形；故答案為：等邊三角形；證明：連接AC,如圖2所示：同(1)得：ABC是等邊三角形，ZBAC=ZACB=60,AB=AC,TZEAF=60,ZBAE=ZCAF,TZBCD=ZBAD=120,ZACF=60=ZB,在厶BAE和厶CAF中，Z.BAR一Z.CAFA

33、B-ACIeR-zACFBAE里CAF(ASA),BE=CF；解：同(1)得：ABC和厶ACD是等邊三角形,AB=AC,ZBAC=ZACB=ZACD=60,ZACF=120,TZABC=60,ZABE=120=ZACF,TZEAF=60,ZBAE=ZCAF,在厶BAE和厶CAF中，Z.BAR一zCAFAB-ACIzABH-zACFBAE里CAF(ASA),BE=CF,AE=AF,TZEAF=60,.AEF是等邊三角形，ZAEF=60,TZEAB=15,ZABC=ZAEB+ZEAB=60,.ZAEB=45,ZCEF=ZAEF-ZAEB=15,作FH丄BC于H,在ACEF內(nèi)部作ZEFG=ZCEF=

34、15,如圖3所示：則GE=GF,ZFGH=30,.FG=2FH,GH=、fh,TZFCH=ZACF-ZACB=60,ZCFH=30,.CF=2CH,FH=FCH,設CH=x，貝9BE=CF=2x,FH=.、x,GE=GF=2FH=2x,GH=.、FH=3x,TBC=AB=4,CE=BC+BE=4+2x,.EH=4+x=2：x+3x,解得：x=、-1,.FH=、x=3-.：,【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵.(1)2、刁；(2)證明見解析.【解析】