五點(diǎn)差分格式求解第一邊值問(wèn)題

1、五點(diǎn)差分格式求解第一邊值問(wèn)題一五點(diǎn)差分格式構(gòu)造的介紹考慮Poisson方程：TOC o 1-5 h z一Au=f(x,y),(x,y)GG,1.1G是xy平面上一有界區(qū)域，其邊界工為分段光滑曲線，在工滿足邊值條件：u|t=a(x,y)1.2為解決此問(wèn)題，做矩形網(wǎng)的差分格式，取定X軸和y軸方向的步長(zhǎng)hl和h2,沿x、y方向分別用二階中心差商代替微商uxx，uyy則得卜u.=ui+ij-2uii+ui-ij+uij+i-2uii+uij-i=f.3hijh12h22ij其中uij表示節(jié)點(diǎn)(i，j)上的網(wǎng)函數(shù)二、模型問(wèn)題用五點(diǎn)差分格式求解單位正方形區(qū)域的Poisson方程第一邊值問(wèn)題:0 x,y1,

2、d2ud2uAu=+=f.dx2dy2iju|t=,其中T為正方形區(qū)域的邊界*yj=4u23j=3u1223u22u32j=2u21j=1j=0i=0i=1i=2i=31=圖1u7u8u9789u4u5U6uiu2U3圖2特別取正方形網(wǎng)格hl=h2=h，利用Yaylor展式，u2u.+ud2u(x.,y.)i+i,jijit,j=rjh2dX2h2d4u(x.,y.)+12dx4已+0(h4)dX4u-2u.+ud2u(x.,y.)h2S4u(x.,y.)i，j+iiji，jt=1J+1J0(h4)TOC o 1-5 h zh22dy212dy4帶入上式后，再用出代替瑣比,”)，并略去誤差項(xiàng)得

3、4u.(u+u+u+u)=h2f.,i,j=1,2，n11.41j1+1,j11,j1,j+11,j11ju“=Pn，u=卩，i=0,1,2，ni,0i,0i,ni,nua.=u=甲，j=0,1,2，n0,j0,jn,jn,j現(xiàn)假定申=0，將1.4式寫(xiě)成矩陣形式即為T(mén)U+UT=h2F,l.5n1n1其中U=uij,F=fij,2-11.T=1.eR(nDx(nD-12-三、線性方程組的形成若把正方形的頂點(diǎn)按如圖2所示的次序排列，即先按j由小到大，j相同的按i由小到大,這種排列方式叫“自然順序排列”，用該方式排列得到的線性方程組由下面形狀A(yù)u=h2f,其中TOC o 1-5 h zi-T+2II

4、in-1n-1n-1-IA=n1I1IT+2In1n1n1A為（N-l）2階矩陣，如果節(jié)點(diǎn)的排列次序改變了，A的形狀要改變，但可以證明A的特征值仍不改變。上面的系數(shù)矩陣A有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：（1）A是塊三對(duì)角矩陣，共有五條對(duì)角線上有非零元素；（2）A是不可約對(duì)角占優(yōu)的；（3）A是正定對(duì)稱的，而且是稀疏的.容易驗(yàn)證幾1的特征值X=2（1COS卩對(duì)應(yīng)的單位特征向量為2jn_sin_nnin少nn2sin(n1)jn)nn利用1.5式，由此即可推出A的特征值為入=入+入=2（2cospncosqn）,1.6pqpqnn對(duì)應(yīng)的特征向量Vpq為矩陣ZpZqT按列“拉直”得到的（n-1）2維向量，即v=pq2

5、(sin_qnzt,sin2qnnnpnzt,.,sin(n】)qnzt)1.7四、方程組的求解由以上知A是不可約對(duì)角占優(yōu)的，利用超松弛迭代逼近Poisson方程第一邊值問(wèn)題的五點(diǎn)差分格式可寫(xiě)成:uk+i=Luk+3(D3L)if,i,j=l,2，n1ij3ijL3=(D3L)1(3R+(13)D),其中3H0是松弛因子,D為A的對(duì)角元矩陣-L和-R分別為A的下三角和上三角矩陣，這里松弛因子選為3=3opt=21+J1+p(B)2B為Jacobi迭代矩陣，且B=I-4A所以B矩陣的特征值為怙=14入pq=2吩+吧），p,q=l,2,，n1于是p(B)=cosn=coshnn五、程序設(shè)計(jì)思想六、

6、附件#include#includeusingnamespacestd;float*one_array_malloc(intn);/一維數(shù)組分配float*two_array_malloc(intm,intn);/二維數(shù)組分配floatmatrix_category(float*x,intn);intmain()constintMAX=100;最大迭代次數(shù)intn,i,j,k;float*a;float*x_0;/初始向量float*x_k;/迭代向量floatprecision;/精度f(wàn)loatw;/松弛因子coutvv輸入精度e:;cinprecision;coutvvendlvv輸入系數(shù)

7、矩陣的階數(shù)，N：;cinn;a=two_array_malloc(n,n+1);coutvvendlvv輸入增廣矩陣的各值：n;for(i=0;iaij;x_0=one_array_malloc(n);coutvvendlvv輸入初始向量:n;for(i=0;ivn;i+)cinx_0i;x_k=one_array_malloc(n);coutvv輸入松弛因子w(1vwv2)：n;cinw;floattemp;/迭代過(guò)程for(k=0;kMAX;k+)for(i=0;in;i+)temp=0;for(j=0;ji;j+)temp=temp+aij*x_kj;x_ki=ain-temp;temp

8、=0;for(j=i+1;jn;j+)temp=temp+aij*x_0j;x_ki=(x_ki-temp)/aii;x_ki=(1-w)*x_0i+w*x_ki;/求兩解向量的差的范數(shù)for(i=0;in;i+)x_0i=x_ki-x_0i;if(matrix_category(x_0,n)precision)break;elsefor(i=0;in;i+)x_0i=x_ki;/輸出過(guò)程if(MAX=k)coutvv迭代不收斂5;coutvv迭代次數(shù)為：vvkvvendl;coutvv解向量為：n;for(i=0;ivn;i+)coutxi:x_kiendl;return0;float*one_array_malloc(intn)/一維數(shù)組分配float*a;a=(float*)malloc(sizeof(float)*n);returna;float*two_array_malloc(intm,intn)/二維數(shù)組分配float*a;inti;a=(float*)malloc(m*sizeof(float*);for(i=0;im;i+)ai