高斯公式高數(shù)課件

1、靜1還能想起三重積分怎樣求么？211.4與11.5 內(nèi)容回顧1. 定義:3設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)注意利用對稱性、形心公式(線性函數(shù)的積分)2. 計算:第一類曲面積分 的計算4 若則有若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))第二類曲面積分 的計算(上正下負(fù)) 若則有53.性質(zhì):4.聯(lián)系:其中對坐標(biāo)的(3條):線性運算性質(zhì); 可加性; 有向性.是有向曲面指定側(cè)的法向量的方向余弦.對面積的(8條)6思考與練習(xí)1. P228 題2提示: 設(shè)則 取上側(cè)時, 取下側(cè)時,2. P246 題 17提示:求出 的法向量方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一P229 題3(3). 類曲面積分來求。8一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲

2、面積分為零的條件(略) 三、通量與散度(簡介)11.6 高斯公式 通量與散度 第十一章 9一、高斯公式定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面所的一階偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) P, Q, R 在 上有連續(xù)圍成, 的方向取外側(cè), 則有 (高斯公式)10證明:：XY型區(qū)域下面先證 設(shè) 左=11：XY型區(qū)域則為側(cè)面. 右=12所以若 不是 XY型區(qū)域 ,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個 XY型故上在輔助面正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,區(qū)域,類似可證 三式相加, 即得所證 高斯 公式.式仍成立 .13高斯公式兩類曲面積分的關(guān)系14表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上高斯公式的實質(zhì):使用高斯公式時應(yīng)注意:1.的搭

3、配及對什么變量求偏導(dǎo)數(shù); 2.是否滿足高斯公式的條件；3.是取閉曲面的外側(cè).的曲面積分之間的關(guān)系,常用于計算曲面積分(如上次例的方法2)(內(nèi)側(cè)時需相應(yīng)變化)(反用).15例1. 用高斯公式計算其中 為柱面空間閉域 的整個邊界曲面的外側(cè). 及平面 z = 0 , z = 3 所圍解: 這里利用高斯公式, 得原式 =16(先二后一)思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計算? (均比教材上快捷,注意體會!)(結(jié)果不變呢！)之二 之一 （利用形心坐標(biāo) ）17例1*. 用高斯公式計算其中* 為柱面間曲面的外側(cè). 介于平面 z = 0 , z = 3 之利用高斯公式,

4、 得作1 ,2如圖，解: = *+ 1+ 2原式 所以18例2. 利用高斯公式計算積分其中 為錐面解: 作輔助面取上側(cè)介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側(cè). 所圍區(qū)域為,則 所以19利用高斯公式, 得zDz注意：x、y的積分為零; 先二后一比教材上簡單.20例3.設(shè) 為曲面取上側(cè),解: 作輔助面(下側(cè) ) 求 利用高斯公式, 得21用極坐標(biāo)22解: 作輔助面(上側(cè) )例4.計算其中為旋轉(zhuǎn)介于平面(P228例3)2拋物面z= 0及 z = 2 之間部分的下側(cè).23在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式例5. 設(shè)函數(shù)其中 是整個 邊界面的外側(cè). 24

5、分析:高斯公式證:令25移項便得證。由高斯公式26定義:設(shè)有向量場其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場內(nèi)的一片有向 則稱曲面, 其單位法向量 n, 為向量場 A 通過有向曲面 的通量(流量) .三、通量與散度(簡介)*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件(略)。27在場中點 M(x, y, z) 處 稱為向量場 A 在點 M 的散度.記作28引例. 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1, 速度理意義可知, 為場中任一有向曲面, 單位時間通過曲面的流量為 則由對坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系, 還可表示為場為29若 為某閉曲面的外側(cè), 當(dāng) 0 時,說明流入 的流體質(zhì)量當(dāng) 0 時

6、,說明流入 的流體質(zhì)量則單位時間通過 的流量為 當(dāng) = 0 時,說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 . 少于流出的, 表明 內(nèi)有泉; 表明 內(nèi)有洞 ;多于流出的,30根據(jù)高斯公式, 流量也可表為()M 且方向向外的任一閉曲面 , 記設(shè) 是包含點為了揭示場內(nèi)任意點M 處的特性, 在()式兩邊同除以并令 以任意方式則有所圍域為, 的體積 V,縮小至點 M31此式反應(yīng)了流速場在點M 的特點: 其值為正,負(fù)或 0, 分別反映在該點有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化. 中值定理32表明該點處有正源, 表明該點處有負(fù)源, 表明該點處無源, 散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場 A處處有 , 則稱 A為無

7、源場. 說明: 由引例可知, 散度是通量對體積的變化率, 33內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:34應(yīng)用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 可推出閉曲面積分為零的充要條件: 與曲面無關(guān)的充要條件（只與邊界線有關(guān)）即(略)。352. 通量與散度 設(shè)向量場P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 為則向量場通過有向曲面 的通量(流量) G 內(nèi)任意點處的散度為 36作業(yè)P236 習(xí)題11-6 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 337例7. 設(shè) 是曲面取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 為xoy平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè), 計算則解:38第二項添加輔助面, 再用高斯公式計算,