2021年中考三輪沖刺復(fù)習(xí)培優(yōu)同步練習(xí)圓的相關(guān)證明與計(jì)算

1、培優(yōu)同步練習(xí)：圓的相關(guān)證明與計(jì)算1如圖，已知AB是O的直徑，AB4，點(diǎn)C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC2，點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)P是O上任意一點(diǎn)（1）當(dāng)PD與AB交于點(diǎn)E且PCCE時(shí)，求證：PC與O相切；（2）在（1）的條件下，求PC的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)P是O上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD+PC的值最小時(shí)，求PC的長(zhǎng)解：（1）證明：如圖1，點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，APD45，連接OP，OAOP，OAPOPA，PECOAP+APEOPA+APEAPEOPE+APE2APEOPE90OPE，PCEC，CPEPEC90APE，OPCOPE+CPEOPE+90OPE90，1/55點(diǎn)P在O上，PC是O的切線；（2）解：由（1）知，OPC

2、90，AB4，OPOBAB2，BC2，OCOB+BC4，根據(jù)勾股定理得，CP2；（3）解：連接OD，如圖2，D是半圓O的中點(diǎn)，BOD90，要使PD+PC的值最小，則連接CD交O于P，即點(diǎn)P在P的位置時(shí)，PD+PC最小，由（2）知，OC4，在RtCOD中，ODOB2，根據(jù)勾股定理得，CD2，連接BP，AD，則四邊形ADPB是O的內(nèi)接四邊形，CBPCDA，BCPDCA，CBPCDA，2/55CP，2如圖，已知AB是O的弦，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，CD的延長(zhǎng)線交于O點(diǎn)E，連接AE、BE，過點(diǎn)A作AFBC，垂足為F，ABC30（1）求證：AF是O的切線；（2）若BC6

3、，CD3，則DE的長(zhǎng)為9；（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值3/55（1）證明：如圖1中，連接AC，OC，OAAOC2ABC60，OAOC，AOC是等邊三角形，CAO60，ABOC，OADOAC30，ABC30，ABCOAD，OABF，AFBF，OAAF，4/55AF是O的切線（2）解：，CBDBEC，BCDBCE，BCDECB，EC12，DEECCD1239故答案為9（3）解：結(jié)論：，的值不變理由：如圖2中，連接AC，OC，OC交AB于H，作ANEC交BE的延長(zhǎng)線于N，OCAB，CBCA，5/55BHAHAB，ABC30，BHAC

4、BC，AB，CEAN，NCEB30，EANAECABC30，CEAABC30，EANN，NAEC，AEEN，ACEABN，ACEABN，的值不變3如圖1所示，以點(diǎn)M（1，0）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A，B，C，D，與M相切于點(diǎn)H的直線EF交x軸于點(diǎn)E（5，0），交y軸于點(diǎn)F（0，）（1）求M的半徑r；（2）如圖2所示，連接CH，弦HQ交x軸于點(diǎn)P，若cosQHC，求的值；（3）如圖3所示，點(diǎn)P為M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF，求PF+PE的最小值6/55解：（1）如圖1，連接MH，E（5，0），F(xiàn)（0，），M（1，0），OE5，OF，EM4，在RtOEF中，tanOEF，OEF30，E

5、F是M的切線，EHM90，sinMEHsin30，MHME2，即r2；7/55（2）如圖2，連接DQ、CQ，MHQHCQDC，CPHQPD，PCHPQD，由（1）可知，HEM30，EMH60，MCMH2，CMH為等邊三角形，CH2，CD是M的直徑，CQD90，CD4，在RtCDQ中，cosQHCcosQDC，QDCD3，；（3）連MP，取CM的點(diǎn)G，連接PG，則MP2，G（2，0），8/55MGCM1，又PMGEMP，MPGMEP，PGPE，PF+PEPF+PG，當(dāng)F，P，G三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PG最小，連接FG，即PF+PE有最小值FG，在RtOGF中，OG2，OF，F(xiàn)GPF+PE的最小值為4

6、如圖，O的直徑AB10，弦BC，點(diǎn)P是O上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合，且與點(diǎn)C分別位于直徑AB的異側(cè)），連接PA，PC，過點(diǎn)C作PC的垂線交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（1）求tanBPC的值；9/55（2）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變，則求出它的值；（3）運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2BP的最大值是多少？請(qǐng)你直接寫出它來解：（1）連接AC，AB是O的直徑，ACB90，在RtABC中，AB10，BC2AC4，tanBPCtanBAC；（2）的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：PCDACB90，1+PCB2+PCB，12，3是圓內(nèi)接四邊形APBC的一個(gè)外角，3PAC，10/55CBDCAP

7、，在RtPCD中，tanBPC，；（3）由（2）知BDAP，AP+2BP2（AP+BP）2（BD+BP）2PD，由tanBPC，得：cosBPC，AP+2BPPCAB10，AP+2BP的最大值為105在圖1至圖3中，O的直徑BC30，AC切O于點(diǎn)C，AC40，連接AB交O于點(diǎn)D，連接CD，P是線段CD上一點(diǎn)，連接PB11/55（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P，O的距離最小時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）如圖2，若射線AP過圓心O，交O于點(diǎn)E，F(xiàn)，求tanF的值；（3）如圖3，作DHPB于點(diǎn)H，連接CH，直接寫出CH的最小值解：（1）如圖1，連接OP，AC切O于點(diǎn)C，ACBCBC30，AC40，AB50由即解得CD2

8、4，當(dāng)OPCD時(shí)，點(diǎn)P，O的距離最小，此時(shí)（2）如圖2，連接CE，12/55EF為O的直徑，ECF90由（1）知，ACB90，由AO2AC2+OC2，得（AE+15）2402+152，解得ACBECF90，ACEBCFAFC又CAEFAC，ACEAFC，（3）CH的最小值為解：如圖3，以BD為直徑作G，則G為BD的中點(diǎn)，DG9，DHPB，點(diǎn)H總在G上，GH9，當(dāng)點(diǎn)C，H，G在一條直線上時(shí)，CH最小，此時(shí)，13/55，即CH的最小值為6如圖，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF交AD于點(diǎn)G（1）求證：BC是O的切

9、線；（2）求證：AD2ABAF；（3）若BE8，sinB，求AD的長(zhǎng)，解：（1）如圖1，連接OD，則OAOD，ODAOAD，AD是BAC的平分線，OADCAD，ODACAD，ODAC，ODBC90，14/55點(diǎn)D在O上，BC是O的切線；（2）如圖2，連接OD，DF，EF，AE是O的直徑，AFE90C，EFBC，BAEF，AEFADF，BADF，由（1）知，BADDAF，ABDADF，AD2ABAF；（3）如圖3，連接OD，由（1）知，ODBC，BDO90，設(shè)O的半徑為R，則OAODOER，BE8，OBBE+OE8+R，15/55在RtBDO中，sinB，sinB，R5，AE2OE10，ABBE

10、+2OE18，連接EF，由（2）知，AEFB，AFEC90，sinAEFsinB，在RtAFE中，sinAEFAF，由（2）知，AD2ABAF18AD，7如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線一16/55點(diǎn)，且BCCD，CEAD于點(diǎn)E（1）求證：直線EC為圓O的切線；（2）設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P，求證：PC2PFPA若PC5，PF4，求sinPEF的值證明：（1）CEAD于點(diǎn)E，DEC90，BCCD，C是BD的中點(diǎn)，又O是AB的中點(diǎn)，OC是BDA的中位線，OCAD，OCECED90，OCCE，又點(diǎn)C在圓上，CE是圓O的切線；（2）連接AC，17/55O

11、CCE，ECO90，AB是直徑，ACB90ECO，ECAOCB，OCOB，OCBOBCACE，ABFACF，OBCABFACEACF，EBCECF，且EBCCAP，ECFCAP，且CPFCPA，PCFPAC，PC2PFPAAB是直徑，點(diǎn)F在圓上，AFBPFE90CEA，EPFEPA，PEFPAE，18/55PE2PFPAPEPC在直角PEF中，sinPEF8如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A，B為x軸上兩點(diǎn)，以AB為直徑的M交y軸于C，D兩點(diǎn)，C為的中點(diǎn)，弦AE交y軸于點(diǎn)F，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），CD8（1）求M的半徑；（2）動(dòng)點(diǎn)P在M的圓周上運(yùn)動(dòng)如圖1，當(dāng)EP平分AEB時(shí)，求PNEP的值；如

12、圖2，過點(diǎn)D作M的切線交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說明理由解：（1）如圖1中，連接CM19/55AMCD，OCOD4，設(shè)CMAMr，在RtCMO中，CM2OC2+OM2，r242+（r2）2，解得r5，M的半徑為5（2）如圖2中，連接AP，BPAB是直徑，20/55APBAEB90，PE平分AEP，AEPPEB45，PAPB，AB10，APB90，PAPBAB5，PANAEP45，APNAPE，APNEPA，PNPEPA250如圖3中，連接PM，DMDQ是M的切線，DQDM，MDQMOD90，21/55DMOQMD，DMOQMD，DM2MOM

13、Q，MPMD，MP2MOMQ，PMOPMQ，PMOQMP，DM2MOMQ，253MQ，MQ，9如圖，已知AB，CD為O的直徑，過點(diǎn)A作弦AE垂直于直徑CD于F，點(diǎn)B恰好為的中點(diǎn)，連接BC，BE（1）求證：AEBC；（2）若AE2，求O的半徑；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積22/55（1）證明：連接BD，AB，CD為O的直徑，CBDAEB90，點(diǎn)B恰好為的中點(diǎn)，AC，ABE90A，CDB90C，ABECDB，AEBC；（2）解：過點(diǎn)A作弦AE垂直于直徑CD于F，AABE，A30，在RtABE中，cosA，23/55AB4，O的半徑為2（3）連接OE，A30，EOB60，EOB是等邊三角

14、形，OBOE2，SEOB2，S陰S扇形SEOB10如圖，AB為O的直徑，CDAB于點(diǎn)G，E是CD上一點(diǎn)，且BEDE，延長(zhǎng)EB至點(diǎn)P，連接CP，使PCPE，延長(zhǎng)BE與O交于點(diǎn)F，連結(jié)BD，F(xiàn)D（1）連結(jié)BC，求證：BCDDFB；（2）求證：PC是O的切線；（3）若tanF，AGBG，求ED的值24/55解：（1）證明：因?yàn)锽EDE，所以FBDCDB，在BCD和DFB中：BCDDFBCDBFBDBDDB所以BCDDFB（AAS）（2）證明：連接OC因?yàn)镻ECEDB+EBD2EDB，COB2EDB，所以COBPEC，因?yàn)镻EPC，所以PECPCE，所以PCECOB，25/55因?yàn)锳BCD于G，所以C

15、OB+OCG90，所以O(shè)CG+PEC90，即OCP90，所以O(shè)CPC，所以PC是圓O的切線（3）因?yàn)橹睆紸B弦CD于G，所以BCBD，CGDG，所以BCDBDC，因?yàn)镕BCD，tanF，所以tanBCD，設(shè)BG2x，則CG3x連接AC，則ACB90，由射影定理可知：CG2AGBG，所以AG因?yàn)锳GBG所以，解得x，所以BG2x所以BC所以BDBC，CG3x2，因?yàn)镋BDEDBBCD，26/55所以DEBDBC，所以，因?yàn)镃D2CG4所以DE，11如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（0，）兩點(diǎn)，BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn)，以AC為直徑的G經(jīng)過點(diǎn)

16、D，且與x軸交于另一點(diǎn)E（1）求出G的半徑r，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若點(diǎn)F為G上的一點(diǎn)，連接AF，且滿足FEA45，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)？解：（1）連接GD，ECOAB的角平分線交y軸于點(diǎn)D，GADDAO，GDGA，GDAGAD，GDADAO，GDOA，27/55BDGBOA90，GD為半徑，y軸是G的切線；A（2，0），B（0，），OA2，OB，在RtAOB中，由勾股定理可得：AB設(shè)半徑GDr，則BGGDOA，BDGBOA，r，r2（r），r，AC是直徑，AECAOB90，ECOB，EC2，AE，OE2，C的坐標(biāo)為（，2）；28/55（2）過點(diǎn)A作AHEF于H，連接CE、CF，AC是

17、直徑，AC2AECAFC90FEA45FCA45在RtAEH中，由勾股定理可知：AFCF，設(shè)OEaAE2aCEOBACEABO，CE2，CE2+AE2AC2，22+（2a）2a或a（不合題意，舍去）AE在RtAEH中，由勾股定理可得，AHEH，在RtAEH中，由勾股定理可知：FH2AF2AH2（）2（29/55）22，F(xiàn)H，EFEH+FH12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P在AB上，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD過P，D，B三點(diǎn)作Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF（1）求直線AB的函

18、數(shù)解析式；30/55（2）求證：BDEADP；（3）設(shè)DEx，DFy請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ykx+4，將點(diǎn)B（4，0）代入ykx+4，得：4k+40，解得：k1，則直線AB的函數(shù)解析式為yx+4；（2）由已知得：OBOC，BODCOD90，又ODOD，BODCOD（SAS），BDOCDO，CDOADP，BDEADP；（3）如圖2，連結(jié)PE，ADP是DPE的一個(gè)外角，ADPDEP+DPE，BDE是ABD的一個(gè)外角，BDEABD+OAB，ADPBDE，DEPABD，DPEOAB，31/55OAOB4，AOB90，OAB45，DPE45，DFEDPE45，DF是

19、Q的直徑，DEF90，DEF是等腰直角三角形，DF即yDE，x13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（3，4），P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過O，P，B三點(diǎn)的圓交x軸正半軸于點(diǎn)C，連結(jié)AB，PC，BC，設(shè)OPm32/55（1）求證：當(dāng)P與A重合時(shí)，四邊形POCB是矩形（2）連結(jié)PB，求tanBPC的值（3）記該圓的圓心為M，連結(jié)OM，BM，當(dāng)四邊形POMB中有一組對(duì)邊平行時(shí)，求所有滿足條件的m的值（4）作點(diǎn)O關(guān)于PC的對(duì)稱點(diǎn)O，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)O落在APB的內(nèi)部（含邊界）時(shí)，請(qǐng)寫出m的取值范圍解：（1）COA90PC是直徑，PBC90A（0，4）B（3，4）ABy軸當(dāng)A與P重合時(shí)

20、，OPB90四邊形POCB是矩形（2）連結(jié)OB，（如圖1）BPCBOCABOCABOBOCBPCBOCABO33/55tanBPCtanABO（3）PC為直徑M為PC中點(diǎn)如圖2，當(dāng)OPBM時(shí)，延長(zhǎng)BM交x軸于點(diǎn)NOPBMBNOC于NONNC，四邊形OABN是矩形NCONAB3，BNOA4設(shè)M半徑為r，則BMCMPMrMNBNBM4rMN2+NC2CM2（4r）2+32r2解得：rMN4M、N分別為PC、OC中點(diǎn)mOP2MN34/55如圖3，當(dāng)OMPB時(shí)，BOMPBOPBOPCO，PCOMOCOBMBOMMOCMCO在BOM與COM中BOMCOM（AAS）OCOB5AP4mBP2AP2+AB2（

21、4m）2+32ABOBOCBPC，BAOPBC90ABOBPCPCPC2BP2（4m）2+32又PC2OP2+OC2m2+52（4m）2+32m2+5235/55解得：m或m10（舍去）綜上所述，m或m（4）點(diǎn)O與點(diǎn)O關(guān)于直線對(duì)稱POCPOC90，即點(diǎn)O在圓上當(dāng)O與O重合時(shí)，得m0當(dāng)O落在AB上時(shí)，則m24+（4m）2，得m當(dāng)O與點(diǎn)B重合時(shí)，得m0m或m14已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（3，0），C（3，8），以線段BC為直徑作圓，圓心為E，直線AC交E于點(diǎn)D，連接OD（1）求證：直線OD是E的切線；（2）點(diǎn)F為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接CF交E于點(diǎn)G，連接BG；當(dāng)tanACF時(shí)，求

22、所有F點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出）；求的最大值，F(xiàn)2（5，0）36/55解：（1）證明：如圖1，連接DE，BC為圓的直徑，BDC90，BDA90OAOBODOBOAOBDODBEBEDEBDEDBEBD+OBDEDB+ODB即：EBOEDOCBx軸EBO90EDO90點(diǎn)D在E上直線OD為E的切線（2）如圖2，當(dāng)F位于AB上時(shí)，過F作F1NAC于N，37/55F1NACANF1ABC90ANFABCAB6，BC8，AC10，即AB：BC：AC6：8：103：4：5設(shè)AN3k，則NF14k，AF15kCNCAAN103ktanACF，解得：k即F1（，0）如圖3，當(dāng)F位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過F2作F2MC

23、A于M，AMF2ABC設(shè)AM3k，則MF24k，AF25kCMCA+AM10+3ktanACF解得：AF25k2OF23+25即F2（5，0）38/55故答案為：F1（，0），F(xiàn)2（5，0）方法1：如圖4，過G作GHBC于H，CB為直徑CGBCBF90CBGCFBBC2CGCF當(dāng)H為BC中點(diǎn)，即GHBC時(shí)，的最大值方法2：設(shè)BCG，則sin，cos，sincos（sincos）20，即：sin2+cos22sincossin2+cos21，sincos，即的最大值39/5515如圖F為O上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F作O的切線與直徑AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，過圓上的另一點(diǎn)B作AO的垂線，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交

24、O于點(diǎn)E，垂足為H，連接AF，交BM于點(diǎn)G（1）求證：MFG為等腰三角形（2）若ABMD，求證：FG2EGMF（3）在（2）的條件下，若DF6，tanM，求AG的長(zhǎng)40/55（1）證明：連接OFDM是O的切線，DMOF，MFG+OFA90，BMAD，AHG90，OAF+AGH90，OFOA，OFAOAF，MGFAGH，MFGAGF，MFMG，MFG是等腰三角形（2）證明：連接EFABDM，MFAFAB，F(xiàn)ABFEG，MFGMGF，F(xiàn)EGMFG，EGFMGF，EGFFGM，41/55FG2EGGM，MFMG，F(xiàn)G2EGMF（3）解：連接OBM+D90，F(xiàn)OD+D90，MFOD，tanMtanFO

25、D，DF6，OF8，DMAB，MABH，tanMtanABH，可以假設(shè)AH3k，BH4k，則ABBG5k，GHk，AGk，在RtOHB中，OH2+BH2OB2，（83k）2+（4k）282，解得kAG，42/5516如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)H，連接AC，過弧BD上一點(diǎn)E作EGAC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AE交CD于點(diǎn)F，且EGFG，連接CE（1）求證：ECFGCE；（2）求證：EG是O的切線；（3）延長(zhǎng)AB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若的值，求EM（1）證明：如圖1中，ACEG，GACG，43/55ABCD，CEFACD，GCEF，ECFECG，ECFGCE；（2）證明：如圖2中，連接

26、OE，GFGE，GFEGEFAFH，OAOE，OAEOEA，AFH+FAH90，GEF+AEO90，GEO90，GEOE，EG是O的切線44/55（3）解：如圖3中，連接OC設(shè)O的半徑為r在RtAHC中，tanACHtanG，AH3HC4，在RtHOC中，OCr，OHr3，HC4，（r3r）2+（4，）2r2，GMAC，CAHM，OEMAHC，AHCMEO，EM17如圖，AB為O的直徑，CDAB于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且BFDF，延長(zhǎng)FB至點(diǎn)P，連接CP，使PCPF，延長(zhǎng)BF與45/55O交于點(diǎn)G，連結(jié)BD，GD（1）連結(jié)BC，求證：CDGB；（2）求證：PC是O的切線；（3）若tanG，且A

27、EBE，求FD的值解：（1）BFDF，BDFDBF，在BCD與DGB中，BCDDGB（AAS），CDGB；（2）如圖1，連接OC，COB2CDB，CFBCDB+DBF2CDB，COBCFB，PCPF，46/55COBCFBPCF，ABCD，COB+OCE90，PCF+OCEPCO90，OCCP，OC是半徑，PC是O的切線；（3）如圖2，連接AD，AB是O的直徑，ADB90，ABCD，BDEAG，tanG，tanA，即AE3DE，同理可得：DE3BE，AEBE3DEDE解得：DE，47/55CD2DE2，BEBD，BCDFDB，BDCFBD，BCDFDB，BCBD，F(xiàn)D18如圖，O是ABC的外接圓，AB為O的直徑，過點(diǎn)A作AD平分BAC交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，DGAB于點(diǎn)G，連接BD（1）求證：AEDDGB；（2）求證：EF是O的切線；（3）若，OA4，求劣弧的長(zhǎng)度（結(jié)果保留）（1）證明：AB為O的直徑，ACBADB90，BCEF，AEDACB90，48/55AD平分BAC，EADDAB，ADEABD，DGAB，BGDAED90，AEDDGB；（2）證明：連接OD，OAOD，OADADO，DOFOAD+ADO2DAF，EAF2DAF，EAFDOF，AEOD，