高中數(shù)學《空間中的距離》講議及答題解析

1、第 =page 12 12頁，共 =sectionpages 12 12頁第 =page 11 11頁，共 =sectionpages 12 12頁空間中的距離課前練習1. 在空間直角坐標系中，點到平面的距離是（ ）A B C D2.正四棱錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離（ ）ABCD3.已知A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，則點A到直線BC的距離為( )A. 223B. 1C. 2D. 224.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若棱長AB=3，則點B到平面ACD1的距離為()A. 3B. 33C. 322D. 325. 在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直且

2、側(cè)棱長為1，則點P到平面ABC的距離為( )A. 3B. 2C. 33D. 236. 已知n=(2,0，1)為平面的法向量，點A(-1,2，1)在內(nèi)，則點P(1,2，-2)到的距離為( )A. 55.B. 5.C. 25.D. 5107.已知球面上的三個點A、B、C，且AB=2，BC=2，AC=6，球的半徑為2，則球心到平面ABC的距離等于()A. 3B. 2C. 1D. 328.空間兩點，間的距離為_.9.AB是異面直線a，b的公垂線段，AB=2cm，a，b所成的角為90，A、Ca，B、 Db，AC=4cm，BD=4cm，那么C、D間的距離是_10.空間四點、兩兩間的距離均為1，點、分別在線

3、段、上運動.則點與間的最小距離為_.二典型例題例1. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， BAD=CDA=90， PA平面ABCD，PA=AD=DC=1，AB=2(1)證明：平面PAC平面PBC；(2)求點D到平面PBC的距離例2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90.點D，E分別為棱PA，PC的中點，M是線段AD的中點，N是線段BC的中點，PA=AC=4，AB=2 ()求證：MN/平面BDE； ()求直線MN到平面BDE的距離； 例3如圖1，在直角梯形ABCD中，AB/CD,ABAD，且AB=AD=12CD=1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，

4、然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使ADEF平面與平面ABCD垂直，M為DE的中點，如圖2 (1)求證：AM/平面BEC；(2)求證：BC平面BDE； (3)求點D到平面BEC的距離。 例4.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=BC=a，ABC=90，M、N分別是AB和A1C中點，求證：(1)ABMN；(2)求異面直線AB與A1C之間的距離；(3)求二面角B-A1C-A的大小空間中的距離課后練習若構(gòu)成教室墻角的三個面記為，墻角記為Q，教室內(nèi)一點P到，三個墻面的距離分別是3，4，5，則PQ=()A. 52B. 42C. 6D. 10已知三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑

5、為23的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直且相等，則球心到截面ABC的距離為()A. 233B. 33C. 23D. 3正四棱錐S-ABCD中，O為頂點S在底面ABCD內(nèi)的正投影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO=OD=2，則異面直線PC與BD的距離為()A. 1010B. 105C. 510D. 554.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若點P滿足AP=35AB+13AD+14AA1，則點P到直線AB的距離為()A. 25144B. 512C. 1320D. 105155. 已知一條直線上有兩個點，到平面的距離分別為和，則中點到平面的距離_6. 半徑為10 cm的球被兩個平行平面

6、所截，兩個截面圓的面積分別為cm2，cm2，這兩個平行平面的距離為 7. 在四棱錐P-ABCD中，設(shè)向量AB=(4,-2,3)，AD=(-4,1,0)，AP=(-6,2,-8)，則頂點P到底面ABCD的距離為_8. 在如圖直三棱柱中，則異面直線與的距離為 。 9. 在單位正方體中，是的中點，如圖建立空間直角坐標系.（1）求證平面.（2）求異面直線與夾角的余弦值. （3）求直線到平面的距離. 10. 在直三棱柱中，.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求直線與平面的距離. 11.如圖，在三棱柱中，已知，在底 面的投影是線段的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的正弦值（3）若

7、、分別為直線，上動點，求的最小值.12.如圖，等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E為CD中點，以AE為折痕把ADE折起，使點D到達點P的位置(P平面ABCE)()證明：AEPB；()當四棱錐P-ABCE體積最大時，求點C到平面PAB的距離例1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=CDA=90，PA平面ABCD，PA=AD=DC=1，AB=2(1)證明：平面PAC平面PBC；(2)求點D到平面PBC的距離【答案】解：(1)證明：由已知得AC=AD2+CD2=2，BC=AD2+(AB-CD)2=2，AB=2，AC2+BC2=AB2，BCAC，

8、PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，PAAC=A，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PAC平面PBC(2)解：由(1)得BC平面PAC，BCAC，BC=2，PC=12+(2)2=3，設(shè)點D到平面PBC的距離為d，VP-BCD=VD-PBC，1312DCADPA=1312PCBCd，1312111=131232d，解得d=66，點D到平面PBC的距離為66例2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90.點D，E分別為棱PA，PC的中點，M是線段AD的中點，N是線段BC的中點，PA=AC=4，AB=2 ()求證：MN/平面BDE；()求直線MN到平面BDE的距離；例2【

9、答案】證明：()在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90.點D，E分別為棱PA，PC的中點，M是線段AD的中點，N是線段BC的中點，PA=AC=4，AB=2以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，M(0,0，1)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，N(1,2，0)，D(0,0，2)，P(0,0，4)，E(0,2，2)，MN=(1,2，-1)，BD=(-2,0，2)，BE=(-2,2，2)，設(shè)平面BDE的法向量n=(x,y，z)，則nBD=-2x+2z=0nBE=-2x+2y+2z=0，取x=1，得n=(1,0，1)，nMN=0，MN平面BDE，MN/平面

10、BDE()BM=(-2，0，1)，直線MN到平面BDE的距離：d=|BMn|n|=12=22例3.如圖1，在直角梯形ABCD中，AB/CD,ABAD，且AB=AD=12CD=1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使ADEF平面與平面ABCD垂直，M為DE的中點，如圖2 例3【答案】解：(1)證明：取EC中點N，連接MN，BN在EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，所以MN/CD，且MN=12CD由已知AB/CD，AB=12CD，所以MN/AB，且MN=AB所以四邊形ABNM為平行四邊形所以BN/AM又因為BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM/平面

11、BEC(2)在正方形ADEF中，EDAD又因為平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，所以ED平面ABCD所以EDBC在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=2在BCD中，BD=BC=2,CD=2，所以BD2+BC2=CD2所以BCBD所以BC平面BDE.(3)由(2)知，BC平面BDE 又因為BC平面BCE，所以平面BDE平面BEC.過點D作EB的垂線交EB于點G，則DG平面BEC 所以點D到平面BEC的距離等于線段DG的長度在直角三角形BDE中，SBDE=12BDDE=12BEDG 所以DG=BDDEBE=23=63 所以點D到平面BEC的距離等于63

12、例4. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=BC=a，ABC=90，M、N分別是AB和A1C中點，求證：(1)ABMN；(2)求異面直線AB與A1C之間的距離；(3)求二面角B-A1C-A的大小AB平面MDN，ABMN；(2)連接MA1，MC，求得MA1=MC=5a2，MNA1C，MN為異面直線AB與A1C的公垂線段，在MDN中，求得MN=2a2，故異面直線AB與A1C的距離為2a2；(3)由(1)(2)可知，A1C平面ABN，ANB即為二面角B-A1C-A的平面角，求得AN=BN=3a2，在ABN中，由余弦定理求得cosANB=13，【答案】解：(1)證明：取AC中點D，連

13、接DM，DN，則DM/BC，DN/AA1，AA1底面ABC，DN平面ABC，DNAB，BCAB，DMAB，AB平面MDN，ABMN；(2)連接MA1，MC，求得MA1=MC=5a2，MNA1C，MN為異面直線AB與A1C的公垂線段，在MDN中，求得MN=2a2，故異面直線AB與A1C的距離為2a2；(3)由(1)(2)可知，A1C平面ABN，ANB即為二面角B-A1C-A的平面角，求得AN=BN=3a2，在ABN中，由余弦定理求得cosANB=13，12.如圖，等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E為CD中點，以AE為折痕把ADE折起，使點D到達點P的位置(P平面A

14、BCE)()證明：AEPB；()當四棱錐P-ABCE體積最大時，求點C到平面PAB的距離【答案】()證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O，AB/CE，AB=CE，四邊形ABCE為平行四邊形，AE=BC=AD=DE，ADE為等邊三角形，在等腰梯形ABCD中，C=ADE=3，DAB=ABC=23，在等腰ADB中，ADB=ABD=6，DBC=23-6=2，即BDBC，BDAE，翻折后可得：OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOB=O，AE平面POB，PB平面POB，AEPB()設(shè)點C到平面PAB的距離為d，由題意得，OP平面ABCE時，四棱錐P-ABCE體積最大，

15、OP=OB=32，PB=62，AP=AB=1，SPAB=126212-(64)2=158，SABC=1211sin23=34，VP-ABC=133432=18，又VP-ABC=VC-PAB=13158d=18，d=1551.若構(gòu)成教室墻角的三個面記為，墻角記為Q，教室內(nèi)一點P到，三個墻面的距離分別是3，4，5，則PQ=()A. 52B. 42C. 6D. 10【答案】A【解析】解：構(gòu)造棱長分別為3、4、5的長方體，使QP為長方體的對角線，故QP=32+42+52=52故選：A構(gòu)造棱長分別為3、4、5的長方體，OP為長方體的對角線，求出OP即可2. 已知三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑

16、為23的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直且相等，則球心到截面ABC的距離為()A. 233B. 33C. 23D. 3【答案】A【解析】解：正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，球O的半徑為23，正方體的邊長為4，即PA=PB=PC=4，球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=13SABCh=13SPABPC=1312444=323，ABC為邊長為42的正三角形，SABC=34(42)2=83，h=433，球心(即正方體中心)O到截面ABC的距離

17、：23-433=233故選：A3. 正四棱錐S-ABCD中，O為頂點S在底面ABCD內(nèi)的正投影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO=OD=2，則異面直線PC與BD的距離為()A. 1010B. 105C. 510D. 55【答案】B【解析】【分析】以O(shè)C、OD、OS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出向量，利用空間向量的距離公式求解即可本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，距離公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力【解答】解：S-ABCD為正四棱錐且O是S在底面ABCD內(nèi)的正投影，SO面ABCD，連接AC、BD，則ACBD且交于O，OC、BD面ABCD，SOOC、SOOD，以O(shè)C、OD、OS為x、

18、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，SO=OD=2，S(0,0,2)、D(0,2,0)、C(2,0,0)、B(0,-2,0)、P(0,22,22)，BD=(0,22,0),PC=(2,-22,-22)，設(shè)異面直線BD與PC的公垂線向量為n=(x,y,z)，則有nBD=0nPC=0即(x,y,z)(0,22,0)=0(x,y,z)(2,-22,-22)=0，得y=02x-22z=0不妨令x=1，則n=(1,0,2)，又CD=(-2,2,0)，異面直線BD與PC的距離d=|CDnn|=|-21+4|=105，異面直線BD與PC的距離為105故選：B4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若點P滿足AP=35AB+13AD+14AA1，則點P到直線AB的距離為()A. 25144B. 512C. 1320D. 10515【答案】B【解析】解：如圖，過P作PM平面ABCD于點M，過M作NMAB于點N，連接PN，則PN即為所求，因為滿足AP=35AB+13AD+14AA1，所以A