2022年人教A版選修1-1教案：32立體幾何中的向量方法第2課時(shí)

1、 3.2.2 空間角與距離的運(yùn)算舉例【學(xué)情分析】：教學(xué)對(duì)象是高二的同學(xué),同學(xué)已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)學(xué)問(wèn) , 上次課已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的方向向量和平面的法向量,所以本節(jié)課是通過(guò)舉例來(lái)求空間的距離和角；我們可以將空間中的有關(guān)距離和角的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積來(lái)解決；【教學(xué)目標(biāo)】：（1）學(xué)問(wèn)與技能：能用向量方法進(jìn)行有關(guān)距離的運(yùn)算；能用向量方法解決線線、線面與面面的夾角的運(yùn)算問(wèn)題 . （2）過(guò)程與方法： 在解決問(wèn)題中,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想方法,加深對(duì)相關(guān)學(xué)問(wèn)的懂得；（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題優(yōu)勢(shì),培育探究精神；【教學(xué)重點(diǎn)】：將空間角與距離的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的夾角

2、與模來(lái)運(yùn)算 . 【教學(xué)難點(diǎn)】：將空間角與距離的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的夾角與模來(lái)運(yùn)算 . 【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)引1 兩個(gè)向量的數(shù)量積如何運(yùn)算？為探究新學(xué)問(wèn)做準(zhǔn)入2 向量的模與向量的數(shù)量積是什么關(guān)系？備. 3 向量的加法法就；二、探究與一、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“ 三步曲”讓同學(xué)通過(guò)回憶尋練習(xí)同學(xué)回憶用平面對(duì)量解決平面幾何問(wèn)題的“ 三步曲”,與老師共同得找將立體幾何問(wèn)題出用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“ 三步曲”：轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問(wèn)題中涉及的步驟；點(diǎn)、直線、平面,把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）（2）通過(guò)向

3、量運(yùn)算,討論點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題； （進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“ 翻譯” 成相應(yīng)的幾何意義；二、例題（回到圖形問(wèn)題）例 1：如圖 1：一個(gè)結(jié)晶體的外形為四棱柱,其中,以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等,且它們彼此的夾角都是 點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？60 ,那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端解： 如圖 1,設(shè)BADBAA 1DAA 160范,簡(jiǎn)單把握,可ABAA 1AD1,以讓同學(xué)很好地體會(huì) 向 量 解 題 的 優(yōu)化為向量問(wèn)題AC 1ABADAA 1勢(shì)；依據(jù)向量的加法法就,進(jìn)行向量運(yùn)算AA 12AC 12ABAD2 AB2 ADAA 122 ABAD

4、ABAA 1ADAA 1 1112cos60cos60cos606|AC 1|6AA1 D1BB1C1D 圖1 C 回到圖形問(wèn)題這個(gè)晶體的對(duì)角線AC 1的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的6倍；提示同學(xué)不能缺少摸索：這一步；（1）此題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？分析 :BD 1BABCBB 1,B 1BC60轉(zhuǎn)化為向量；其中ABCABB 1120（ 2）假如一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等,并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 , 那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎. 分析 : x,BADBAA 1DAA 1這是例題 1 的推廣,設(shè)AC 1a,ABADAA 1方法類(lèi)似,同學(xué)進(jìn)一步體會(huì) . ABA

5、DAB就由AC1ABADAA 1AA 1ADAA 1AC12AB2AD2AA 122即a23x2232 xcosx31a6cos 這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)；（ 3）此題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（提示：求 兩個(gè)平行平面的距離,通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）分析： 面面距離點(diǎn)面距離向量的模.回來(lái)圖形讓同學(xué)體會(huì)空間距解：過(guò)A 1 點(diǎn)作A 1 H平面AC于點(diǎn)H.就A 1H為所求相對(duì)兩個(gè)面之間的距離由A 1ABA 1ADBAD且ABADAA 1離的轉(zhuǎn)化；H在 AC 上.AC2ABBC2112cos603BCAC3cos 601 .及 時(shí) 進(jìn) 行 類(lèi) 比 訓(xùn)AA 1ACAA 1ABB

6、CAA 1ABAA 1cos 60cosA 1ACAA 1AC1sinA 1AC6|AA 1|AC|3A 1HAA 1sinA 1AC633所求的距離是6；3練,鞏固所學(xué)方法練習(xí) : 和技能；如圖 2,空間四邊形OABC各邊以及 AC,BO的長(zhǎng)都是 1,點(diǎn) D,E 分別是邊 OA, BC 的中點(diǎn),連結(jié) DE,運(yùn)算 DE的長(zhǎng)OD C A E 例 2 是關(guān)于角的有 關(guān)問(wèn)題,引導(dǎo)同學(xué) 找到相應(yīng)的向量進(jìn) 行轉(zhuǎn)化；圖2B 例 2：如圖 3,甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A 處,乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處；從 A, B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和 BD分別為a 和 b,CD 的長(zhǎng)為 c, AB 的長(zhǎng)為 d；

7、求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值B 解： 如圖ACa,BDC c,ABD 以下設(shè)計(jì)與例1 類(lèi)A 圖3d.似；b,CD化為向量問(wèn)題依據(jù)向量的加法法就ABACCDDBDBCDDB進(jìn)行向量運(yùn)算CDDB2d2AB2ACCDACAB2CD2BD22ACa22 cb22ACDBa22 cb22 CADBb 2c2d22 CADBa2設(shè)向量 CA 與 DB 的夾角為,就是庫(kù)底與水壩所成的二面角；因此2 abcosa22b2ac2d2.2d2.cosa2bc2d2.2ab2回到圖形問(wèn)題b2c庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為2 ab摸索：（ 1）此題中假如夾角可以測(cè)出,而AB未知,其他條件不變,可以運(yùn)算出 AB的長(zhǎng)

8、嗎？分析：由AB2AC2CDDB2ACCDACDBCDDBAB2CD2BD22a2cb22 abcos 可算出 AB 的長(zhǎng)；（2）假如已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng),并且以同一 頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等,那么可以確定各棱之間夾角的余弦 值嗎？分析：如圖,設(shè)以頂點(diǎn)A 為端點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為d,三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,各棱間夾角為. D1 C 1 A 1 B1 A 2A 1D ABACB C C2就dCC12a22 cb22 abbcaccoscosd2a2b2c22 abbcac （ 3）假如已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等a,并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于,那么可以確定這個(gè)四棱

9、柱相鄰兩個(gè)夾角的余 弦值嗎？分析： 二面角平面角向量的夾角回來(lái)圖形A A 1 D 1 C 1 B1 C D E B F 解：如圖, 在平面 AB1 內(nèi)過(guò) A1 作 A1EAB 于點(diǎn) E,在平面 AC 內(nèi) 作 CFAB 于 F ；就A 1ECFasin,AEBFacosBFcosa22 coscoscosEA 1,FCcosA 1 E,CFA 1 ECFA 1AAE CB|a2sin2|A 1 E|CFcosa2cosa2coscosa2a2sin2cos 1 cos可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值；練習(xí)：（ 1）如圖 4,60 的二面角的棱上有A、B 兩點(diǎn),直線AC、 BD分別在這個(gè)二面

10、角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直 8,求 CD的長(zhǎng)；CD 圖4A 2）三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,A1AB45 , A1AC60 ,求二面角B-A A1-C 的平面角的余弦值；A 1C1B1A CB圖5三、小結(jié)1 用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“ 三步曲 ” ；反思?xì)w納四、作業(yè)2 面面距離點(diǎn)面距離向量的?；貋?lái)圖形二面角平面角向量的夾角回來(lái)圖形課本 P112 第 2、4 題；練習(xí)與測(cè)試：（基礎(chǔ)題）1 正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1,就側(cè)棱與底面所成的角為（）A 75B 60C45D30答： C；2如圖,在棱長(zhǎng)為 2 的正方體ABCDA 1B 1C 1D 1中,O 是底面

11、 ABCD 的中心,A1FD1DOB1BC1E、 F 分別是CC 、AD 的中點(diǎn)；那么異面直線OE 和FD 所成的角的余弦值等E于（）A10B15C4D2 3AC555答： B；3,把正方形 ABCD 沿對(duì)角線 AC 折起 ,當(dāng)以 A、B、C、D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大時(shí),直線 BD 和平面ABC 所成的角的大小為）A 90B 60C,45D 30答： C；4,已知 AB 是兩條異面直線AC BD 的公垂線段,AB1,ACBD10,CD301,就AC BD所成的角為答：0 60 或0 120 ；（中等題）5,一條線段夾在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面內(nèi),它和兩個(gè)面所成的角都是30 ,P 在棱CC上,且這條線段與這個(gè)二面角的棱所成的角為；答：4506,棱長(zhǎng)為4 的正方體ABCDA B C D 中, O 是正方形A B C D 的中心,點(diǎn)D1 O C1 CC 14