2022屆安徽省合肥一六八中學(xué)高三下學(xué)期5月最后一卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2022屆安徽省合肥一六八中學(xué)高三下學(xué)期5月最后一卷數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1若全集，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)子集的定義，結(jié)合補(bǔ)集的定義逐一判斷即可.【詳解】全集，故A錯誤； ，故，故選：B.2設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】B【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)和復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求出的代數(shù)形式，由此確定【詳解】所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)在

2、第二象限，故選：B.3據(jù)孫子算經(jīng)中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男子伯，侯公，共五級.若要給有巨大貢獻(xiàn)的2人進(jìn)行封爵，假設(shè)每種封爵的可能性相等，則兩人被封同一等級的概率為（）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)古典概型的概率公式計算即可【詳解】由題知，基本事件的總數(shù)有種情形，兩人被封同一等級的方法種數(shù)有男、子、伯、候、公，共5種情形，故所求事件的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)史及古典概型的概率計算，屬于較易題4方程的解是（）A1B2CeD3【答案】D【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【詳解】，.故選：D.5已知正四棱錐的底面邊長為2，高為，若存在點(diǎn)到該正四棱錐的四個側(cè)面和底面

3、的距離都等于，則（）A1BCD【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，則可得，再由結(jié)合已知可求得答案【詳解】如圖，正四棱錐，為底面中心，則平面，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，令，則由題意可得，且，解得.故選：C.6已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為B函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【分析】先依據(jù)圖像求得函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.【詳解】由圖象可知，即，又，所以，又，可得，又因為所以，所以，故A錯誤；當(dāng)時，.故B錯誤；當(dāng)時，故C正確；當(dāng)時，則，函數(shù)不單調(diào)遞減.故D錯誤故選：C7若為奇函數(shù)，且是的一個零點(diǎn)

4、，則一定是下列哪個函數(shù)的零點(diǎn)（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)是奇函數(shù)可得，因為是的一個零點(diǎn)，代入得，利用這個等式對A、B、C、D四個選項進(jìn)行一一判斷可得答案.【詳解】是奇函數(shù)，且是的一個零點(diǎn)，所以，把分別代入下面四個選項，對于A，不一定為0，故A錯誤；對于B，所以是函數(shù)的零點(diǎn)，故B正確；對于C，故C不正確；對于D，故D不正確；故選：B.8已知數(shù)列的各項互異，且，則（）ABC2D4【答案】C【分析】由題意得可得，代入化簡可得答案.【詳解】由題意，得，則，即，所以.故選：C.9在平面直角坐標(biāo)系中，圓C與圓外切，且與直線相切，則圓C的面積的最小值為（）ABCD【答案】A【分析】由圓與圓的位置關(guān)系和

5、直線與圓的位置關(guān)系，確定圓的半徑的最小值，由此可求圓C的面積的最小值.【詳解】由題可知，到直線的距離為，又因為圓C與圓外切，所以圓C的直徑的最小值為，所以圓C的面積的最小值為.故選：A.10已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）ABCD【答案】D【分析】依題意設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理計算可得；【詳解】解：設(shè)，則有，在中，即，解得，又在中，即，；故選：D.11已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，且對，若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】由題意將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，再由其在上的增函數(shù)，可得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用

6、導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】，不等式對恒成立，對恒成立，函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，化為：，令，則，時，此時函數(shù)單調(diào)遞增；時，此時函數(shù)單調(diào)遞減.時，函數(shù)取得極大值.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.12已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，點(diǎn)E在線段上，且.過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）ABCD【答案】C【分析】如圖，O1是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出O1E=1，當(dāng)截面垂直于OE時，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】如圖，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑，由勾股定理得棱錐的高，

7、設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，當(dāng)截面垂直于時，截面面積最小，此時半徑為，截面面積為.故選：C.二、填空題13若x，y滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】13【分析】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再由，得，向上平移過點(diǎn)時，取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，向上平移過點(diǎn)時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：1314已知向量，向量，且，則向量的夾角為_.【答案】【分析】由兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)化簡可求向量的夾角【詳解】因為，所以因為，所以，又，所以，所以，向量的夾角為,則所以

8、，則.故答案為：.15若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_.【答案】1或【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由條件列方程求.【詳解】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即，當(dāng)時，當(dāng)時，或.故答案為：1或.16設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，則_.【答案】960【分析】根據(jù)遞推式可以得出數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的特征，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和即可得結(jié)果.【詳解】由，當(dāng)n為奇數(shù)時，有；當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則，故答案為：960.三、解答題17一場馬拉松，不僅是一次身體的長途跋涉，更是對城市文化的尋找與認(rèn)同.在某市舉行的馬拉松“半馬精英賽”的賽事中，25名參賽選手的成

9、績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示：(1)已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘，若從成績不超過85分鐘的選手中隨機(jī)抽取3人接受電視臺采訪，求甲被選中的概率；(2)若從總體中選取一個樣本，使得該樣本的平均水平與總體相同，且樣本的方差不大于7，則稱選取的樣本具有集中代表性，試從總體（25名參賽選手的成績）選取一個具有集中代表性且樣本容量為5的樣本，并求該樣本的方差.【答案】(1)(2)樣本為：88、90、93、94、95；方差為，答案不唯一.【分析】（1）根據(jù)古典概率的求法，求出總事件數(shù)，求出目標(biāo)事件數(shù)即可；（2）先計算平均數(shù)，然后選擇一個符合要求的樣本，再求方差.【詳解】(1)成績不超過85分的參賽選手共5

10、人，設(shè)為甲，乙，丙，丁，戊，隨機(jī)選取3人的基本事件有：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，總數(shù)有10種，甲在其中有6種，記被選中的概率為.(2)因為25名參賽選手的成績的總分為2300，所以總體的平均數(shù)為.具有集中代表性且樣本容量為5的一個樣本為：88、90、93、94、95，該樣本的方差為.答案不唯一，符合題意即可.18如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面，.(1)證明：平面平面；(2)點(diǎn)M在平面內(nèi)，直線平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理證明面，再根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；(2)

11、先求四棱錐的高，再根據(jù)錐體體積公式求解即可.【詳解】(1)連接交于點(diǎn)O，底面平面，又，平面，面，平面，平面平面；(2)連接，過A作交于點(diǎn)N，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以重合，因為，所以，又，,所以，所以，點(diǎn)M到底面的距離為，又.19在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若，角C為鈍角，.(1)求的值；(2)求邊c的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由求導(dǎo)，利用求得，再由兩角差的正弦展開式可得答案；（2）利用正弦定理和可得答案.【詳解】(1)因為C為鈍角，由，則，則， C為鈍角可得為銳角，所以，可得.(2)由（1）可知：，則，則，正弦定理：，可得：.20已知函數(shù).(1)若

12、，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再由點(diǎn)斜式求切線方程；(2)化簡不等式，通過討論的范圍分離變量，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可得a的取值范圍.【詳解】(1)因為，所以 又，所以切線方程為，即(2)由知，因為所以，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故時，因此當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故時，因此綜上：【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.21已知橢圓 C：，右焦點(diǎn)為 F(，0) ，

13、且離心率為 (1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè) M，N 是橢圓 C 上不同的兩點(diǎn)，且直線 MN 與圓 O：相切，若 T 為弦 MN的中點(diǎn)，求|OT|MN|的取值范圍【答案】(1)；(2)，3.【分析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或為0，易求，當(dāng)直線 MN 斜率存在且不為 0 時，設(shè)直線 MN 的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【詳解】(1)由題可得， = 2 ， = 橢圓 C 的方程為：；(2)當(dāng)直線 MN 斜率為 0 時，不妨取直線 MN 為 = ，則，此時，則；當(dāng)直線 MN 斜率不存在，不妨取直線 MN 為x=

14、，則，此時，則；當(dāng)直線 MN 斜率存在且不為 0 時，設(shè)直線 MN 的方程為：，因為直線MN 與圓相切，所以，即，又因為直線 MN 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)：由，得，則，所以 MN 中點(diǎn) T 坐標(biāo)為，則，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即 取等號，|OT|MN|；綜上所述：|OT|MN|的取值范圍為，3.22在平面直角坐標(biāo)系中.直線（t為參數(shù)，為l的傾斜角.）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓，直線l與圓C交于M.N兩點(diǎn).(1)若直線l的斜率，求弦MN的中點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)與弦長的值；(2)若點(diǎn).證明：對任意，有為定值.并求出這個定值.【答案】(1)，；(2)證明見解析，定值33【分析】（1）將代入圓C的方程，得.設(shè)點(diǎn)M，N，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為，由參數(shù)t的幾何意義和中點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)和.（2）由（1）根據(jù)參數(shù)t的幾何