山大《線性代數(shù)》課件01-5矩陣的初等變換與矩陣的秩

1、矩陣的初等變換矩陣的初等變換是線性代數(shù)中一個重要的工具. 以下三種變換分別稱為矩陣的第一、第二、第三種初等變換：利用初等變換可以將矩陣化為梯形陣。作用矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。例如：矩陣的等價 對矩陣A實行有限次初等變換得到矩陣B，則稱矩陣A與B等價，記作 A B. 等價矩陣具有自反性、對稱性、傳遞性。即：A的標(biāo)準(zhǔn)形定理：任何一個矩陣都有標(biāo)準(zhǔn)形。如上例：推論:矩陣 A與 B 等價的 充要條件是A與 B 有相同的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣的秩一般地：2.秩的定義:矩陣 A 的所有不等于零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣 A 的秩.記作 r(A) .顯然:r(O)=0;只要A不是零陣,就有 r(A)0

2、.并且:例:求矩陣A的秩.利用初等變換可以求矩陣的秩.秩的求法定理:矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變.證:只證行變換的情形.由此可以推出:例:求矩陣的秩:初等矩陣定義：對單位陣進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等行變換得到的初等矩陣分別為：對單位陣作一次列變換得到的矩陣也包括在上面的三類矩陣之中。初等矩陣的性質(zhì)1.初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩陣.2.初等矩陣都是非奇異的.初等矩陣與初等變換的關(guān)系先看一個例子行變換相當(dāng)于左乘初等矩陣;列變換相當(dāng)于右乘初等矩陣.例：求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形并用初等矩陣表示初等變換?？梢则炞C=？顯然，若兩個矩陣有相同的秩，則這兩個矩陣有相同的標(biāo)準(zhǔn)形，從而等價；反之

3、，若兩個矩陣等價，則它們的秩相同。即有：定理：矩陣A與B等價的充要條件是r(A)=r(B).! 請記?。壕仃囀欠竦葍r只須看矩陣的秩是否相同。滿秩矩陣定義：若方陣A的秩與其階數(shù)相等，則稱A為滿秩矩陣； 否則稱為降秩矩陣。( 滿秩非奇異 降秩奇異）E-滿秩陣 O-降秩陣定理：設(shè)A為滿秩陣，則A的標(biāo)準(zhǔn)形為同階單位陣 E .即矩陣的秩是矩陣的一個重要的數(shù)字特征。推論1：以下命題等價：證推論2：矩陣A與B等價的充要條件為存在m階及 n階滿秩陣P、Q，使由此還可得到：若P、Q為滿秩陣，則r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ)例：逆矩陣定義：對n階方陣A，若有n階矩陣B，使AB=BA=E

4、，則 稱B為A的逆矩陣，稱A為可逆的。（1）逆陣惟一。設(shè)B,C都是A的逆，則B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=CA的逆記為：（2）并非每個方陣都可逆。例如就不可逆。這是不可能的。故A不可逆。要解決的問題：1.方陣滿足什么條件時可逆?2.可逆時，逆陣怎樣求？復(fù)習(xí)：伴隨矩陣伴隨矩陣?代數(shù)余子式的順序!二階A矩陣的伴隨矩陣.你記住了嗎？一個很重要的式子公式定理:n階方陣A可逆的充要條件是證:牢記這個定理例1.解：例 2.證:同理證其它兩式。 這說明初等矩陣的逆陣仍為同類型的初等矩陣。這是初等矩陣的第三個性質(zhì)。練習(xí)：求逆陣？ ？的逆怎樣求？逆陣的性質(zhì)背過這些公式！逆陣的求法方法一：方法二：初等變換