最小二乘擬合

1、實(shí)驗(yàn)名稱：最小二乘擬合1引言在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(X,y)(i二1,2,，m)出發(fā)，尋求函ii數(shù)y=f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=(x)，稱為經(jīng)驗(yàn)公式，從幾何上來(lái)看，這就是一個(gè)曲線擬合的問(wèn)題。多項(xiàng)式的插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)近似表達(dá)式的問(wèn)題，但用它來(lái)解決這里的問(wèn)題，是有明顯的缺陷的。首先，由實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)往往有測(cè)試誤差。如果要求近似曲線y=f(x)嚴(yán)格地通過(guò)所給的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)，就會(huì)使曲線保留原來(lái)的測(cè)試誤差，因ii此當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大的時(shí)候，插值的效果是不理想的。其次，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，用插值法得到的近似表達(dá)式，明顯缺乏實(shí)用價(jià)值。在實(shí)驗(yàn)中，我們常常

2、用最小二乘法來(lái)解決這類問(wèn)題。定義5=q(x)-y為擬合函數(shù)在x處的殘差。為了是近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)TOC o 1-5 h ziiii的變化趨勢(shì)，我們要求|5|盡可能小。在最小二乘法中，我們選取p(x)，使得偏差平方和i最小，即工52=工p(x)y2=min，這就是最小二乘法的原理。iiii=1i=1實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵筮\(yùn)用matlab編寫.m文件，要求用最小二乘法確定參數(shù)。以下一組數(shù)據(jù)中x與y之間存在著y=aebx的關(guān)系，利用最小二乘法確定式中的參數(shù)a和b，并計(jì)算相應(yīng)的軍方誤差與最大偏差。數(shù)據(jù)如下：x12345678910y0.8982.383.071.842.021.942.222.774

3、.024.76x111213141516171819y5.466.5310.916.522.535.750.661.681.8算法原理與流程圖(1)原理最小二乘是要求對(duì)于給定數(shù)據(jù)列(x,y)(i=1,2,m)，要求存在某個(gè)函數(shù)類ii=p(x),p(x),.p(x)(nx=1:18;y=0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.6;abtmax=polyfit(x,y,1)Error!Pleaseinputagain!1）首先輸入已知點(diǎn)x=l:19;y=0.8982.383.071.842.02

4、1.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.6;max=27.3047其中，a,b,t,max分別為常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，均方誤差，最大偏差。討論與結(jié)論1、時(shí)間復(fù)雜度：tic;abtmax=polyfit(x,y,1);tocElapsedtimeis0.859861seconds.說(shuō)明該算法具有一定的復(fù)雜性。2、直觀展示：輸入以下命令：x=1:19;y=0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.6;fori=1:19y0(i)=log(y(i);endx0=0:0.01:20;y1=0.6814*exp(0.2306*x0);plot(x,y,+)holdonplot(x0,