《新學(xué)案》2015年春高中數(shù)學(xué)蘇教版必修5名師導(dǎo)學(xué)：第二章 數(shù)列(含解析)

1、第2章數(shù)列第1課時數(shù)列(1) 教學(xué)過程一、 問題情境如圖1,某劇場有30排座位, HYPERLINK 第一排有20個座位,從第二排起,后一排都比前一排多2個座位,那么各排的座位數(shù)依次為20,22,24,26,28,.(圖1)某種細(xì)胞,如果每個細(xì)胞每分鐘分裂為2個,那么每過1分鐘,1個細(xì)胞分裂的個數(shù)依次為1,2,4,8,16,.從1984年到2004年,我國共參加了6次奧運(yùn)會,各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為15,5,16,16,28,32.這些問題有什么共同的特點(diǎn)?二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)1. 數(shù)列定義:像這樣按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項(xiàng).問題1你能舉出學(xué)習(xí)與生活中相關(guān)

2、的例子嗎?1師生共同點(diǎn)評,找?guī)讉€有代表性的例子進(jìn)行分析.例如: 學(xué)生的學(xué)號由小到大為:1,2,3,4,5,50. “一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,依次寫出每次得到的數(shù):1, QUOTE , QUOTE , QUOTE , QUOTE ,. 堆放的鋼管如圖2所示,各層的鋼管數(shù)從下至上為:9,8,7,6,5,4.(圖2) 某人2011年112月份的工資依次為:2500,2500,2500. (-1)n,n=1,2,3,取到的值為:-1,1,-1,1,.2問題2下列說法是否正確?為什么?(1) 數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一數(shù)列;(2) 數(shù)列1,2,3與數(shù)列1,2,3,是同一數(shù)列;(3) 數(shù)

3、列a,b,c與數(shù)列c,b,a一定不是同一數(shù)列.(都不對,對于(2),前一個數(shù)列只有3項(xiàng),后一個數(shù)列不止3項(xiàng);對于(3),可舉反例,如:a=b=c=1)21教育網(wǎng)問題3觀察所舉例子,請你分析各數(shù)列項(xiàng)的個數(shù).32. 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.問題4數(shù)的所有不足近似值按從小到大依次排列得到一個數(shù)列,你能寫出它的前7項(xiàng)嗎?原數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列?(前7項(xiàng)分別為3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592.原數(shù)列是無窮數(shù)列)數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,an,簡記為 QUOTE ,其中a1稱為數(shù)列 QUOTE 的第1項(xiàng)(或

4、稱為首項(xiàng)),a2稱為第2項(xiàng),an稱為第n項(xiàng).探討活動:體會數(shù)列與函數(shù)概念的聯(lián)系.教師將序號寫在舉例數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的上面,引導(dǎo)學(xué)生說出上下兩行分別是兩組變量,并體會項(xiàng)與序號的關(guān)系.(讓學(xué)生自主思考或交流討論,通過聯(lián)想函數(shù)變量之間的關(guān)系,進(jìn)而認(rèn)識數(shù)列是函數(shù).然后師生共同找出數(shù)列的定義域)數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或 HYPERLINK 它的有限子集1,2,3,4,k)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時,所對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意義,那么我們可以得到一個數(shù)列:f(1),f(2),f(3),f(n),.三、 數(shù)學(xué)

5、運(yùn)用【例1】(根據(jù)教材P32例1 HYPERLINK 改編)已知數(shù)列的第n項(xiàng)an為2n-1,寫出這個數(shù)列的首項(xiàng)、第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第n-1項(xiàng)和an+1.(見學(xué)生用書課堂本P17)處理意見教師可以提出以下問題: 數(shù)列的第n HYPERLINK 項(xiàng)an為2n-1,這里的n可以是哪些數(shù)?如何求第1項(xiàng)?(答案:n可以是1,2,3,等任意的正整數(shù).只需用1代換2n-1中的n就可以求出第1項(xiàng)) 如何求數(shù)列中的第n-1項(xiàng)?(答案:與求第1項(xiàng)的方法相同,只需用n-1代換2n-1中的n即可) (本問可在學(xué)生解完例1 HYPERLINK 后再提問,本問的目的是引出數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系)求第1項(xiàng)即用1代換2n-1中的n,

6、求第2項(xiàng)即用2代換2n-1中的n,求第n+1項(xiàng)即用n+1代換2n-1中的n,這種方法你在哪個知識里曾遇到過?(答案:在函數(shù)中遇到過,如已知函數(shù)解析式f(x),求f(1),f(2),f(x+1)規(guī)范板書解首項(xiàng) HYPERLINK 為a1=21-1=1;第2項(xiàng)為a2=22-1=3;第3項(xiàng)為a3=23-1=5;第n-1項(xiàng)為an-1=2(n-1)-1=2n-3;an+1即數(shù)列的第n+1項(xiàng),an+1=2(n+1)-1=2n+1.題后反思 如果 HYPERLINK 數(shù)列an的第n項(xiàng)an與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式. 數(shù)列的通項(xiàng)公式反映了第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)

7、系.變式已知數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式為an= QUOTE ,那么5是否為該數(shù)列中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?規(guī)范板書解令 QUOTE =5,解得n=7,所以5是該數(shù)列中的第7項(xiàng).【例2】某家庭記錄了2011年內(nèi)每月的用電量如下:月份123456789101112用電量(kWh)1101209080628010311584658195將用電量按月份排列得到一個1 HYPERLINK 2項(xiàng)的數(shù)列,試寫出該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、首項(xiàng)、末項(xiàng);并以月份作為橫坐標(biāo),用電量作為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出該家庭這一年中每月用電量的大致情況.(見學(xué)生用書課堂本P18)處理意見由學(xué)生自主思考或交流討論.規(guī)范板

8、書 HYPERLINK 解每一個月的用電量依次記為a1,a2,a12,最大項(xiàng)為a2=120,最小項(xiàng)為a5=62,首項(xiàng)為a1=110,末項(xiàng)為a12=95.它們的圖象如圖所示.(例2)題后反思(1) 數(shù)列可以用通項(xiàng)公式、列表或圖象表示.(2) 數(shù)列的圖象是一個個孤立的點(diǎn).【例3】寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1) -3,0,3,6,9;(2) 3,5,9,17,33;(3) QUOTE , QUOTE , QUOTE , QUOTE ;(4) -1,1,-1,1.(見學(xué)生用書課堂本P18)處理意見 HYPERLINK 由學(xué)生先自主思考并交流討論,教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo).觀察各項(xiàng)與

9、序號之間的關(guān)系:(1) 后一項(xiàng)均等于前一項(xiàng)加3,那么第n項(xiàng)就是第一項(xiàng)加n-1個3.(2) 每一項(xiàng)減1為2的冪.(3) 各項(xiàng)是分式,且分子是2的冪,分母加1是偶數(shù)的平方.(4) 各項(xiàng)是-1的冪;奇數(shù)項(xiàng)為-1,偶數(shù)項(xiàng)為1.(其中第(4)小題答案較多,可讓學(xué)生分組討論交流)規(guī)范板書解(1) an=3n-6;(2) an=2n+1;(3) an= QUOTE = QUOTE ;(4) an=(-1)n或an=cosn或an= QUOTE 題后反思(1) 同一 HYPERLINK 數(shù)列的通項(xiàng)公式可以不同;(2) 數(shù)列是個特殊的函數(shù),它的通項(xiàng)公式也可以和分段函數(shù)一樣表示成分段的形式;(3) 有一類數(shù)列叫周

10、期數(shù)列(說明:對于周期數(shù)列不用下嚴(yán)格定義,只要讓學(xué)生了解即可).思考數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎?(答案:不是,如例2中的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式)變式(教材P33例3)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1) QUOTE ,- QUOTE , QUOTE ,- QUOTE ;(2) 0,2,0,2.規(guī)范板書解(1) an= QUOTE .(2) an=1+(-1)n或an=1+cosn或an= QUOTE *【例4】已知數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式an= QUOTE .(1) 寫出該數(shù)列的前5項(xiàng);(2) 判斷并證明該數(shù)列的單調(diào)性.處理意見第(1)題及 HYPERLINK 第(2)題中判斷該數(shù)

11、列的單調(diào)性比較簡單,可由學(xué)生自己作答.第(2)題中證明該數(shù)列的單調(diào)性可先讓學(xué)生回憶函數(shù)單調(diào)性的定義及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,再引導(dǎo)學(xué)生得出數(shù)列單調(diào)性的定義.規(guī)范板書解(1) 前5項(xiàng)分別是1, QUOTE , QUOTE , QUOTE , QUOTE .(2) 數(shù)列 QUOTE 是單調(diào)遞減數(shù)列.因?yàn)閍n+1-an= QUOTE - QUOTE = QUOTE 0,所以an+1an,所以數(shù)列 QUOTE 是單調(diào)遞減數(shù)列.題后反思對于數(shù)列 QUOTE 來說: 若anan+1,則稱數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列.變式已知數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.(1) 該數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?(2) n

12、為何值時,an有最小值?并求出最小值.處理意見第(1)題讓學(xué)生自主思考或交流討論;第(2)題要引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)列是個特殊的函數(shù),那么函數(shù)如何求最值呢?規(guī)范板書解(1) 由an=n2-5n+40,解得1n0,得n3,所以a1a2=a3,a2=a3a4a50時,數(shù)列 QUOTE 是單調(diào)遞增數(shù)列;當(dāng)d0,公差d0,則當(dāng)滿足 QUOTE 時,前n項(xiàng)和Sn最大. 思考:在等差數(shù)列 QUOTE 中,若首項(xiàng)a10,那么滿足什么條件時前n項(xiàng)和Sn最小?答案: QUOTE 變式設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S120,S130.(1) 求公差d的取值范圍;(2) S1,S2,S12中哪一個值最大?

13、并說明理由.處理建議讓學(xué)生先討論,模仿上面問題的處理方法來解決問題,投影學(xué)生的計算過程,糾正可能出現(xiàn)的錯誤.規(guī)范板書解(1) QUOTE 解得 QUOTE 因?yàn)閍3=a1+2d=12,代入上式得 QUOTE 所以- QUOTE d-3.(2) 因?yàn)?HYPERLINK S13=13a70,所以a70,所以a6+a70,所以a60.所以數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列,所以S6最大.*【例3】一個“V” HYPERLINK 型鉛筆架(如圖)的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個V形架上共放著多少支鉛筆?5(例3)處理建議讓學(xué)生先討論,主要是引導(dǎo)學(xué)生能夠建立等差

14、數(shù)列模型.規(guī)范板書解由題意可知,這個V形架上共放著120層鉛筆,且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列,記為 QUOTE ,其中a1=1,a120=120.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得 QUOTE = QUOTE =7260.答:V形架上共放著7260支鉛筆.題后反思通過本例讓學(xué)生體會到生活中的數(shù)學(xué)無處不在,也讓他們體會到用數(shù)學(xué)的樂趣.四、 課堂練習(xí) 1. 若等差數(shù)列 QUOTE 滿足a1+a2+a3+a101=0,則(C)A. a1+a1010B. a1+a1010C. a1+a101=0D. a51=51提示因?yàn)閍1+a2+a3+a101= QUOTE =0,所以a1+a101=0. 2. 設(shè)S

15、n是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若 QUOTE = QUOTE ,則 QUOTE =1.提示 QUOTE = QUOTE = QUOTE QUOTE =1. 3. 在等差數(shù)列 QUOTE 中,若Sn=3n2+2n,則公差d=6.提示因?yàn)榈炔顢?shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和公式可整理成Sn= QUOTE n2+ QUOTE n,所以 QUOTE 解得d=6. 4. 求集合M=m|m=7n,nN*且m100中元素的個數(shù),并求出這些元素的和.解由7n100,得n0, q1或a10, 0q0, 0q1或a11時,等比數(shù)列 QUOTE 是單調(diào)遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時,等比數(shù)列 QUOTE 是常數(shù)數(shù)列;當(dāng)q0, a2

16、a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.規(guī)范板書解因?yàn)?QUOTE 是等比數(shù)列,所以a2a4+2a3a5+a4a6= QUOTE +2a3a5+ QUOTE = QUOTE =25,又an0,所以a3+a5=5.*【例4】已知無窮數(shù)列 QUOTE , QUOTE , QUOTE , , QUOTE , ,求證:(1) 這個數(shù)列是等比數(shù)列;(2) 這個數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的 QUOTE ;(3) 這個數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個數(shù)列中.5處理建議從定義入手,正確進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.規(guī)范板書證明(1) 當(dāng)n2時, QUOTE = QUOTE = QUOTE ,所以該數(shù)列是等比數(shù)列.

17、(2) QUOTE = QUOTE =10-1= QUOTE ,即an= QUOTE an+5.(3) 設(shè)ap, aq是該數(shù)列的任意兩項(xiàng),其中pN*, qN*, apaq= QUOTE QUOTE = QUOTE ,因?yàn)閜,qN*,所以p+q2.所以p+q-11,且p+q-1N*,所以 QUOTE QUOTE ,且它為該數(shù)列的第p+q-1項(xiàng).題后反思學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),是為了分析問題、解決問題,通過本例讓學(xué)生體會到用數(shù)學(xué)的樂趣.四、 課堂練習(xí) 1. 已知等比數(shù)列 QUOTE 中,a2=18,a4=162,則首項(xiàng)a1=6,公比q=3.提示 QUOTE =q2=9,解得q=3,所以a1=6. 2. 在等比數(shù)

18、列an中,若a1= QUOTE , an= QUOTE , q= QUOTE ,則項(xiàng)數(shù)n=4.提示由題意得 QUOTE = QUOTE QUOTE ,解得n=4. 3. 在等比數(shù)列 QUOTE 中,若a3=3,a9=75,則a10=75 QUOTE .提示由題意得q6=25,解得q= QUOTE ,所以a10=a9q=75 QUOTE . 4. 在等比數(shù)列 QUOTE 中,若a1, a10是方程3x2-2x-6=0的兩個根,則a4a7=-2.提示a4a7=a1a10=-2.五、 課堂小結(jié) 1. 要會推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1qn-1,并掌握其基本應(yīng)用,以及更具一般性的通項(xiàng)公式形式:an

19、=amqn-m. 2. 利用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比(一般稱為基本量),通過列方程或方程組進(jìn)行計算是等比數(shù)列的基本運(yùn)算方式. 3. 理解并掌握等比數(shù)列的重要性質(zhì):在等比數(shù)列 QUOTE 中,若m, n, s, t, pN*,且m+n=s+t=2p,則有aman=asat= QUOTE .第9課時等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1) 教學(xué)過程一、 問題情境國王要獎賞國 HYPERLINK 際象棋的發(fā)明者,問他有什么要求,發(fā)明者說:“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,在第2個格子里放上2顆麥粒,在第3個格子里放上4顆麥粒,在第4個格子里放上8顆麥粒,依此類推,每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍

20、,直到第64個格子,請給我足夠的糧食來實(shí)現(xiàn)上述要求.”21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)(一) 生成概念問題1請你說說國王一共需要給這個發(fā)明者多少顆麥粒.(國王一共需要給這個發(fā)明者1+2+22+263顆麥粒,引導(dǎo)學(xué)生說出:這是一個首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列的前64項(xiàng)之和)問題2國王能滿足他的要求嗎?怎樣來求這個和呢?(引導(dǎo)學(xué)生回憶等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo))問題3我們能用倒序相加法來求這個等比數(shù)列的64項(xiàng)之和嗎?用倒序相加法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的時候最主要體現(xiàn)了什么樣的特征?(引導(dǎo)學(xué)生理解將Sn與Sn的倒序和兩式相加,這樣的2Sn就是一個有n項(xiàng)的且每一項(xiàng)都是a1+an的常數(shù)列,從而導(dǎo)出了Sn的公

21、式)問題4那么等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)能不能用倒序相加法呢?如果不能,那么是不是可以構(gòu)造出一個常數(shù)列或者部分常數(shù)列呢?(仿照等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)構(gòu)造常數(shù)列,引導(dǎo)學(xué)生每一項(xiàng)乘以公比以后會與后一項(xiàng)相同)通過討論,給出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程以及前n項(xiàng)和公式.方法一:設(shè)等比數(shù)列 QUOTE 的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的前n項(xiàng)和Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, 式兩邊同乘以q,得qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn,-得(1-q)Sn=a1-a1qn,所以當(dāng)q1時,Sn= QUOTE .顯然,當(dāng)q=1時,Sn=na1.(二) 理解概念 1. 推導(dǎo)過程中的“錯位相減法

22、”是等比數(shù)列求和的一種常用方法. 2. 根據(jù)a1qn=anq,又可得到Sn= QUOTE (q1). 3. 公比q是否為1一般需要進(jìn)行討論.(三) 鞏固概念問題5請你說說國王需要給出的麥粒數(shù).國王需要給出1+2+22+263= QUOTE =264-1顆麥粒問題6請你說說等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)與等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)的相同之處.(兩種數(shù)列求和公式推導(dǎo)的 HYPERLINK 基本思路都是構(gòu)造常數(shù)列,構(gòu)造常數(shù)列的思想也是其他一些數(shù)列求和的基本思想,主要是通過消除數(shù)列中一些項(xiàng)與項(xiàng)的差異來解決問題)問題7除了用錯位相減法來推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式,你還能找到其他方法嗎?下面我們給出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的

23、其他推導(dǎo)方法:方法二:由等比數(shù)列的定義得 QUOTE = QUOTE = QUOTE =q,根據(jù)等比定理得 QUOTE = QUOTE =q,解得(1-q)Sn=a1-anq,所以當(dāng)q1時,Sn= QUOTE = QUOTE .顯然,當(dāng)q=1時,Sn=na1.【來源：21世紀(jì)教育網(wǎng)】方法二圍繞基本概念,從等比數(shù)列的定義出發(fā),運(yùn)用等比定理,導(dǎo)出了公式.方法三:Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),所以(1-q)Sn=a1-anq,所以當(dāng)q1時,Sn= QUOTE = QUOTE .顯然,當(dāng)q=1時,Sn=na1.www-2

24、-1-cnjy-com方法三運(yùn)用了方程思想,“方 HYPERLINK 程”在代數(shù)課程里占有重要的地位,方程思想是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想,利用方程思想,可以在已知量和未知量之間搭起橋梁,從而使問題得到解決.三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】已知等比數(shù)列 QUOTE 中,a1=1,a6=32,求該等比數(shù)列從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.3(見學(xué)生用書課堂本P33)處理建議讓學(xué)生應(yīng)用公式進(jìn)行計算,達(dá)到熟悉公式,進(jìn)而熟練使用公式的目的.規(guī)范板書解由a6=a1q5=1q5=32,解得q=2,則S4= QUOTE =15,S10= QUOTE =1023.所以從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為S10-S4=1008.題后反思在等比

25、數(shù)列的通 HYPERLINK 項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中,含有a1, q, n, an, Sn五個量,只要已知其中的三個量,就可以求出余下的兩個量.變式已知 QUOTE 為等比數(shù)列,a1a3=36, a2+a4=60, Sn400,求n的范圍.處理建議讓學(xué)生應(yīng)用公式進(jìn)行計算,其過程體現(xiàn)方程的思想.規(guī)范板書解由題意得a1a3= QUOTE =36, a2(1+q2)=60,所以a20,所以a2=6, 1+q2=10,所以q=3.當(dāng)q=3時,a1=2, Sn= QUOTE 400,即3n401,解得n6,且nN*;當(dāng)q=-3時,a1=-2, Sn= QUOTE 400,即(-3)n801,解得n8,且

26、n為偶數(shù).綜上所述,所以n8,且n為偶數(shù).【例2】(教材P56例2)在等比數(shù)列 QUOTE 中,S3= QUOTE , S6= QUOTE ,求an.4(見學(xué)生用書課堂本P34)處理建議讓學(xué)生應(yīng)用公式進(jìn)行計算,其過程體現(xiàn)方程的思想.規(guī)范板書解法一若q=1,則S6=2S3,這與已知S3= QUOTE , S6= QUOTE 是矛盾的,所以q1.從而 QUOTE 將兩式兩邊分別相除,得1+q3=9,所以q=2.由此可得a1= QUOTE ,所以an= QUOTE 2n-1=2n-2.題后反思利用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比(一般稱為基本量),通過解方程或方程組進(jìn)行計算是等比數(shù)列的基本運(yùn)算方式.解法二S6=

27、a1+a2+a3+a4+a5+a6=S3+q3S3,即S6=(1+q3)S3,得1+q3=9,所以q=2.由此可得a1= QUOTE ,所以an= QUOTE 2n-1=2n-2.題后反思 等比數(shù)列中應(yīng)用整體的思想,可以回避等比數(shù)列內(nèi)部基本量的計算,是解決問題的常見手段. 思考一:根據(jù)解法二,那 HYPERLINK 么在這個等比數(shù)列中,S3, S6, S9是什么關(guān)系?(引導(dǎo)學(xué)生模仿解法二過程進(jìn)行思考,進(jìn)而得出:S3, S6-S3, S9-S6構(gòu)成等比數(shù)列) 思考二:在等比數(shù)列 QUOTE 中,Sn, S2n-Sn, S3n-S2n,還是等比數(shù)列嗎?(不一定.當(dāng)q=-1, n為偶數(shù)時,Sn=0,

28、 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, 不能構(gòu)成等比數(shù)列)變式已知 QUOTE 為等比數(shù)列,且Sn=a,S2n=b(ab0),求S3n.處理建議含參數(shù)字母的等比數(shù)列求和問題,學(xué)生常常忽略q=1的情況,這要引起足夠的重視,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.【版權(quán)所有：21教育】規(guī)范板書解法一設(shè)等比數(shù)列 QUOTE 的公比為q.若q=1(此時數(shù)列為常數(shù)列),則Sn=na1=a, S2n=2na1=b,則2a=b,所以S3n=3na1=3a QUOTE ;若q1(即2ab),則Sn= QUOTE =a, S2n= QUOTE =b, 又ab0, 得1+qn= QUOTE , qn= QUOTE -1,將

29、式代入式得 QUOTE = QUOTE ,所以S3n= QUOTE = QUOTE 1- QUOTE = QUOTE .解法二由題可得Sn, S2n-Sn, S3n-S2n成等比數(shù)列,即a, b-a, S3n-b成等比數(shù)列,所以a(S3n-b)=(b-a)2,所以S3n= QUOTE (包含了q=1的情況).*【例3】一個有窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),如果其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).5處理建議引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)没玖炕蚵?lián)系項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系解決問題.規(guī)范板書解法一設(shè)此數(shù)列的公比為q, (顯然q1),項(xiàng)數(shù)為2n,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則S奇= QUO

30、TE =85, S偶= QUOTE =170, QUOTE = QUOTE =q=2,所以 QUOTE =85, 22n=256, 2n=8.所以q=2,項(xiàng)數(shù)為8.解法二設(shè)此數(shù)列的公比為q(顯然 HYPERLINK q1),項(xiàng)數(shù)為2n,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,顯然S偶=a2+a4+a2n=a1q+a3q+a2n-1q=qS奇,所以q=2,易得項(xiàng)數(shù)為8.題后反思 在等比數(shù)列中,抽取的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)仍構(gòu)成等比數(shù)列. 推廣:在等比數(shù)列中,抽取下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列均為等比數(shù)列.四、 課堂練習(xí) 1. 求等比數(shù)列-4, -2, -1, - QUOTE , 的前10項(xiàng)和.解S10= QU

31、OTE =- QUOTE . 2. 已知數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式為an=22n-1,則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=682.提示由題意知 QUOTE 為等比數(shù)列,且a1=2,q=4,所以S5= QUOTE =682. 3. 求和: QUOTE 提示 QUOTE 4. 已知等比數(shù)列 QUOTE 中,a3=-12, S3=-9,則a1=-3,公比q=-2.提示由題意得 QUOTE 解得 QUOTE 五、 課堂小結(jié) 1. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式在推導(dǎo)過程中采用了錯位相減法. 2. 在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中,含有a1, q, n, an, Sn五個量,可以知三求二. 3. 利用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公

32、比(一般稱為基本量),通過列方程或方程組進(jìn)行計算是等比數(shù)列的基本運(yùn)算方式. 4. 在處理等比數(shù)列問題的過程中,注意運(yùn)用整體思想及性質(zhì)解題.第10課時等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(2) 教學(xué)過程一、 問題情境在“即時體驗(yàn)”第2題中,由 QUOTE 是等比數(shù)列可得r=-1;反過來,當(dāng)r=-1時, QUOTE 是等比數(shù)列嗎?二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)(一) 生成概念問題1怎樣說明一個數(shù)列是等比數(shù)列?結(jié)合等比數(shù)列的定義,引導(dǎo)學(xué)生說出: QUOTE (n2)為定值問題2你能直接看到結(jié)果和該等比數(shù)列的公比嗎?(引導(dǎo)學(xué)生思考等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特征)問題3若數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和變?yōu)镾n=3n+1,那么該數(shù)列還是等比數(shù)列

33、嗎?(引導(dǎo)學(xué)生跳出具體的數(shù)列,找出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一般形式)問題4你能求出等比數(shù)列前n項(xiàng)和組成的數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和嗎?(引導(dǎo)學(xué)生:數(shù)列求和的關(guān)鍵是研究數(shù)列項(xiàng)的特征)先通過討論,再給出等比數(shù)列前n項(xiàng)和組成的數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和Tn(如下).設(shè)等比數(shù)列 QUOTE 的首項(xiàng)為a1,公比為q,當(dāng)q=1時,Sn=na1,則Tn=a1+2a1+3a1+na1= QUOTE a1;當(dāng)q1時,Sn= QUOTE = QUOTE - QUOTE qn,則Tn= QUOTE + QUOTE + QUOTE + QUOTE = QUOTE - QUOTE (q1+q2+q3+qn)= QUO

34、TE - QUOTE QUOTE = QUOTE - QUOTE .21cnjy(二) 理解概念 1. 強(qiáng)調(diào)公比q不確定時,要討論q是否為1. 2. 一般的數(shù)列求和要化歸為特殊數(shù)列求和.(三) 鞏固概念問題5當(dāng)q1時,等比數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和公式有什么特征?(引導(dǎo)學(xué)生歸納出:Sn=Aqn-A,其中A為常數(shù))三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】(教材P57例3)求數(shù)列1+ QUOTE , 2+ QUOTE , 3+ QUOTE , , n+ QUOTE ,的前n項(xiàng)和.3(見學(xué)生用書課堂本P35)處理建議可由學(xué)生分析該數(shù)列的特征:這個數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的和,因此采用分組求

35、和.【來源：21cnj*y.co*m】規(guī)范板書解Sn= QUOTE + QUOTE + QUOTE + QUOTE =(1+2+3+n)+ QUOTE + QUOTE + QUOTE + QUOTE = QUOTE + QUOTE = QUOTE +1- QUOTE .題后反思一般數(shù)列求和的處理,要從通項(xiàng)入手,觀察其特征,化歸為特殊數(shù)列,如常數(shù)列、等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和.變式求和: QUOTE + QUOTE + QUOTE (其中x0, x1, y1).處理建議讓學(xué) HYPERLINK 生觀察表達(dá)式,模仿例1,找出數(shù)列的通項(xiàng);可以看出上面各個括號內(nèi)的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)分別組成等比數(shù)列,分別求出

36、這兩個等比數(shù)列的和,就能得到所求式子的和.規(guī)范板書解當(dāng)x0, x1, y1時, QUOTE + QUOTE + QUOTE =(x+x2+xn)+ QUOTE = QUOTE + QUOTE = QUOTE + QUOTE .【例2】某家用電器售 HYPERLINK 價2000元,若顧客采用分期付款,則每期付款數(shù)相同,每期為一個月,購買后一個月付款一次,共需付12次,即購買后一年付清;如果按月利率8,每月復(fù)利一次計算,那么每期應(yīng)付款多少元?4(見學(xué)生用書課堂本P36)處理建議對 HYPERLINK 于分期付款,銀行有如下規(guī)定: 分期付款為復(fù)利計息,每期付款數(shù)相同,且在期末付款; 到最后一次付款

37、時,各期所付的款額的本利之和等于商品售價的本利之和.規(guī)范板書解法一設(shè)每期付款x元,則第1次付款與到最后一次付款所生利息之和為x QUOTE ,第2次付款與到最后一次付款所生利息之和為x QUOTE ,第11次付款與到最后一次付款所生利息之和為x QUOTE ,第12次付款與到最后一次付款所生利息之和為x,所以各期付款連同利息之和為x(1+1.008+1.00811)= QUOTE x.又所購電器的現(xiàn)價及其利息之和為2000(1+0.008)12,于是有 QUOTE x=2000(1+0.008)12,解得x175.46,即每期應(yīng)付款約175.46元.解法二設(shè)每期付款x元,第k月后欠款為ak元(

38、k=1, 2, , 12),則a1=2000 QUOTE -x,a2=a1 QUOTE -x,an=an-1 QUOTE -x.設(shè)an-=1.008 QUOTE ,則= QUOTE ,所以an- QUOTE =1.008 QUOTE ,所以數(shù)列 QUOTE 構(gòu)成等比數(shù)列,所以an= QUOTE 1.008n-1+ QUOTE .因?yàn)閍12=0,即 QUOTE 1.00811+ QUOTE =0,將a1=2016-x代入上式,解得x175.46,即每期應(yīng)付款約175.46元.題后反思應(yīng)用問題的關(guān)鍵是弄 HYPERLINK 懂題意,讓學(xué)生能夠逐一了解各個月份的情形.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),是為了分析問題、解決問

39、題,通過本例,讓學(xué)生體會到生活的數(shù)學(xué)無處不在,也讓他們體會到用數(shù)學(xué)的樂趣.*【例3】(教材P62習(xí)題2.3(2)第13題)求和:Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn-1.5處理建議由學(xué)生觀察數(shù)列的特點(diǎn),找出特殊之處;教師在學(xué)生中交流,了解學(xué)生的思考過程,投影學(xué)生的解題過程,糾正出現(xiàn)的錯誤.規(guī)范板書解(1) 當(dāng)x=0時,Sn=1.(2) 當(dāng)x0時,Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn-1,xSn=x+2x2+3x3+ QUOTE xn-1+nxn,-得 QUOTE Sn=1+x+x2+xn-1-nxn,當(dāng)x1時, QUOTE Sn= QUOTE -nxn= QUOTE = QUOTE ,所以

40、Sn= QUOTE ;當(dāng)x=1時,Sn=1+2+3+4+n= QUOTE .題后反思本題中數(shù)列各項(xiàng)是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積,我們一般稱之為差比數(shù)列,通常采用錯位相減法求和.四、 課堂練習(xí) 1. 某廠去年的產(chǎn)值記為1,計劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比前一年增長10%,則從今年起到第五年,這個廠的總產(chǎn)值為11(1.15-1).提示這個廠從今年起到第五年的產(chǎn)值組成以1.1為首項(xiàng),1+10%為公比的等比數(shù)列,所以S5= QUOTE =11(1.15-1). 2. 已知等比數(shù)列 QUOTE 的首項(xiàng)為1,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和Tn=q1-nSn.(用含Sn的式子

41、表示)提示當(dāng)q=1時,Tn=Sn;當(dāng)q1時,Tn= QUOTE = QUOTE QUOTE q1-n= QUOTE q1-n=Snq1-n,綜上可得Tn=q1-nSn. 3. 已知數(shù)列 QUOTE 中,an=23n-1,由它的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= QUOTE .提示新數(shù)列是首項(xiàng)為6,公比為9的等比數(shù)列,則Sn= QUOTE = QUOTE . 4. 已知數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式為an=3n-2n,則它的前n項(xiàng)和Sn= QUOTE .提示Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+(3n-2n)=(31+32+33+3n)-(21+22+23+2n)= QUOTE

42、- QUOTE = QUOTE .五、 課堂小結(jié) 1. 對于常見數(shù)列的求和問題,要先研究其通項(xiàng),再化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來處理. 2. 對于實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是建立等比數(shù)列的模型.第11課時本章復(fù)習(xí)(1) 教學(xué)過程一、 知識梳理(一) 數(shù)列 1. 數(shù)列的概念(1) 從定義角度看:按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.(2) 從函數(shù)角度看:數(shù)列可以 HYPERLINK 看成以正整數(shù)集N*或它的有限子集為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按從小到大依次取值時,所對應(yīng)的一列函數(shù)值. 2. 數(shù)列的表示(1) 列表法.(2) 圖象法(注意圖象是一些孤立的點(diǎn)).(3) 通項(xiàng)公式.(4) 遞推公式. 3.

43、數(shù)列的分類(1) 按數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少,可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.(2) 按數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系,可以分為單調(diào)遞增數(shù)列、單調(diào)遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列. 4. 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系對于任一數(shù)列an,都有an= QUOTE (二) 等差數(shù)列 1. 等差數(shù)列的定義若an- QUOTE =d(其中n2, nN*),則數(shù)列an為等差數(shù)列. 2. 等差中項(xiàng)如果a, A, b這三個數(shù)成等差數(shù)列,那么A= QUOTE .我們把A= QUOTE 叫做a和b的等差中項(xiàng). 3. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d. 4. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn= QUOTE ; Sn=na1+ Q

44、UOTE d. 5. 等差數(shù)列的性質(zhì)(1) 在等差數(shù)列an中,有an-am=(n-m)d.(2) 在等差數(shù)列an中,若 HYPERLINK m+n=p+q=2s(其中m, n, p, q, sN*),則am+an=ap+aq=2as,也稱as為am,an或ap, aq的等差中項(xiàng).(3) 當(dāng)d0時,等差數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列;當(dāng)d0 HYPERLINK , q1或a10, 0q0, 0q1或a11時,等比數(shù)列an為單調(diào)遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時,等比數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列;當(dāng)q0,且 QUOTE 解得d=2, q=2.所以an=2n-1, bn=2n-1.題后反思解決等差、等比數(shù)列問題的基本方法是回歸到首

45、項(xiàng)、公差(比)來探究.(二) 等差數(shù)列、等比數(shù)列中累加法與累乘法思想的應(yīng)用【例2】已知數(shù)列 QUOTE 滿足a1=1, an=3n-1+an-1(n2, nN*).(1) 求a2, a3;(2) 求數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式.(見學(xué)生用書課堂本P38)處理建議本題可先由學(xué)生自己求解,教師展示其解題過程,最后將其與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程聯(lián)系起來,并形成結(jié)論.規(guī)范板書解(1) 因?yàn)閍1=1,所以a2=3+1=4, a3=32+4=13.(2) 方法一當(dāng)n2時,an=3n-1+an-1=3n-1+3n-2+an-2=3n-1+3n-2+3+a1= QUOTE +1= QUOTE ;當(dāng)n=1時,

46、a1=1也滿足上式.所以an= QUOTE .方法二由題意得an-an-1=3n-1, an-1-an-2=3n-2, an-2-an-3=3n-3, , a2-a1=31,將以上各式相加得an-a1=3n-1+3n-2+3= QUOTE = QUOTE ,所以an= QUOTE ,n2;當(dāng)n=1時,a1=1也滿足上式.所以an= QUOTE .題后反思如果數(shù)列 QUOTE 的遞推公式為an=an-1+f(n)型時,并且f(n)容易求和,這時可采用疊加法.變式1已知數(shù)列 QUOTE 滿足an+1=an+3n-2,且a1=1,求數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式.規(guī)范板書解因?yàn)閍n+1=an+3n-2

47、,所以an+1-an=3n-2,所以 QUOTE 將以上各式相加得an-a1=1+4+ QUOTE = QUOTE = QUOTE ,所以an= QUOTE .變式2在數(shù)列 QUOTE 中,已知a1=4, an+1=5nan,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.規(guī)范板書解由題意得 QUOTE =5n,所以 QUOTE =5, QUOTE =52, , QUOTE =5n-1,將以上各式相乘得 QUOTE =5525n-1=51+2+(n-1)= QUOTE ,所以an=4 QUOTE .(三) 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法【例3】若數(shù)列 QUOTE 對于一切正整數(shù)n都滿足a1+2a2+22a3+2n-1an=9-6n

48、,求數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式.(見學(xué)生用書課堂本P38)處理建議教師可提出以下問題: 條件的左邊有很多項(xiàng),但結(jié)果只要保留一項(xiàng)an,如何將多余的各項(xiàng)消去? 用退位相減法時要注意什么?規(guī)范板書解當(dāng)n=1時,a1=9-61=3;當(dāng)n2時,2n-1an=(a1+2a2+22a3+2n-1an)-(a1+2a2+22a3+2n-2an-1)=(9-6n)-9-6(n-1)=-6,所以an= QUOTE .綜上所述,an= QUOTE 題后反思 HYPERLINK (1) 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,可用退位相減法求通項(xiàng)公式,但要注意單獨(dú)考慮“n=1”時的情形.(2) 已知a1+2a2+22a3+2n-1an

49、=9-6n,本質(zhì)上是一個數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式已知數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)積Tn=n2,求an.處理建議引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)列項(xiàng)與和的關(guān)系,類比發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與積的關(guān)系.規(guī)范板書解當(dāng)n=1時,a1=T1=1;當(dāng)n2時,an= QUOTE = QUOTE .綜上所述,an= QUOTE 題后反思已知數(shù)列的前n項(xiàng)積,可用退位相除法求通項(xiàng)公式,但要注意單獨(dú)考慮“n=1”時的情形.(四) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定*【例4】已知數(shù)列 QUOTE 滿足an=2an-1+2n-1(n2),且a1=5.(1) 求證: QUOTE 為等差數(shù)列.(2) 求數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式.(見學(xué)生用書課堂本P20)處理建議引導(dǎo)學(xué)生

50、通過條件構(gòu)造 QUOTE 的結(jié)構(gòu).規(guī)范板書解(1) an=2an-1+2n-1, an-1=2(an-1-1)+2n, QUOTE = QUOTE +1, QUOTE - QUOTE =1, 數(shù)列 QUOTE 是公差為1的等差數(shù)列.(2) 由(1)知 QUOTE = QUOTE +(n-1)1=n+1, an=(n+1)2n+1(n2);當(dāng)n=1時,a1=5也滿足上式.所以an=(n+1)2n+1.變式成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2, 5, 13后成為等比數(shù)列 QUOTE 中的b3, b4, b5.(1) 求等比數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式;(2) 若等比數(shù)列 QUO

51、TE 的前n項(xiàng)和為Sn,求證: QUOTE 是等比數(shù)列.處理建議第(1)問由學(xué)生講解思路,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生說出“已知三個數(shù)成等差數(shù)列,常對稱設(shè)元”.規(guī)范板書解(1) 設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d, a, a+d,依題意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以等比數(shù)列 QUOTE 中的b3, b4, b5依次為7-d, 10, 18+d,則(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故等比數(shù)列 QUOTE 的第3項(xiàng)為5,公比為2.由b3=b122,即5=b122,解得b1= QUOTE .所以等比數(shù)列 QUOTE 是以 QUOTE 為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,其通

52、項(xiàng)公式為bn= QUOTE 2n-1=52n-3.(2) 由(1)知等比數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和Sn= QUOTE =52n-2- QUOTE ,即Sn+ QUOTE =52n-2,所以S1+ QUOTE = QUOTE , QUOTE = QUOTE =2.因此 QUOTE 是以 QUOTE 為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.題后反思根據(jù)條件構(gòu)造一個與an有關(guān)的新數(shù)列,通過新數(shù)列通項(xiàng)公式的求解求得數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式,這是求不熟悉數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法.三、 課堂練習(xí) 1. 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n,則a4=11.提示a4=S4-S3=11. 2. 已知數(shù)列 QUOTE

53、的前n項(xiàng)和Sn=n2+1,求數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式.解當(dāng)n=1時,a1=S1=2;當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=2n-1.綜上所述,an= QUOTE 3. 設(shè)等差數(shù)列an的公差d0, a1=4d,若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng),則k的值為3.提示由題意知an=(n+3)d,又因?yàn)閍k是a1與a2k的等比中項(xiàng),所以 QUOTE =a1a2k,即 QUOTE d2=4d QUOTE d,且d0,解得k=3. 4. 已知數(shù)列an滿足a1=1, an+1=2an+1,試證明an+1是等比數(shù)列,并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2-1-c-n-j-y解 an+1=2an+1, an+1+1=2(an+

54、1), QUOTE =2, QUOTE 是以a1+1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. an+1=2n, an=2n-1.四、 課堂小結(jié) 1. 求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有觀察法、待定系數(shù)法、累和法、退位相減法、構(gòu)造法等. 2. 求數(shù)列的通項(xiàng)公式通常采用由特殊到一般、化歸、方程等思想.第12課時本章復(fù)習(xí)(2). 教學(xué)過程一、 數(shù)學(xué)運(yùn)用(一) 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法【例1】設(shè) QUOTE 是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為等比數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和.已知S3=7,且a1+3, 3a2, a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.(1) 求等比數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式;(2) 令bn=lna3n+1, n=1, 2, ,求

55、數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和Tn.(見學(xué)生用書課堂本P39)處理建議本題可由學(xué)生自己思考、交流、展示、點(diǎn)評.本例是用等差(比)數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和的題型.規(guī)范板書解(1) 設(shè)等比數(shù)列 QUOTE 的公比為q(q1),由已知得 QUOTE 即 QUOTE 解得 QUOTE 所以等比數(shù)列 QUOTE 的通項(xiàng)公式為an=2n-1.(2) 由(1)得a3n+1=23n,所以bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,所以數(shù)列 QUOTE 是以b1=3ln2為首項(xiàng),3ln2為公差的等差數(shù)列.所以Tn= QUOTE = QUOTE .題后反思數(shù)列求和要先求通項(xiàng),然后根據(jù)通項(xiàng)的類型選擇適當(dāng)方法

56、求和.變式已知an是等差數(shù)列,an0,且公差d0; bn是等比數(shù)列,bn0, 且公比q1.(1) 若a1=b1, a2n+1=b2n+1,請比較an+1與bn+1的大小,并證明你的結(jié)論;(2) 若a1=b1, a2=b2,當(dāng)n2時,請比較an+1與bn+1的大小,并證明你的結(jié)論.處理建議由數(shù)列的通項(xiàng)公式,知等差數(shù)列an滿足an=nd+(a1-d),所以它的圖象在一直線上;等比數(shù)列bn滿足bn= QUOTE qn,所以它的圖象在一“指數(shù)函數(shù)”圖象上.然后借助函數(shù)圖象討論數(shù)列項(xiàng)之間的大小關(guān)系.規(guī)范板書解因?yàn)榈?HYPERLINK 差數(shù)列an滿足an0,所以d0,即an是單調(diào)遞增數(shù)列;因?yàn)閎n0,且

57、公比q1,所以bn也是單調(diào)遞增數(shù)列.根據(jù)(1)可得圖甲,此時an+1bn+1;由(2)可得圖乙,此時an+10,所以an+1bn+1.(變式圖乙)(2) 由a1=b1, a2=b2,可得a1+d=b1q, d=a1(q-1). bn+1-an+1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1(q-1)=a1(qn-1)-n(q-1),因?yàn)?+q+q2+qn-1= QUOTE ,所以qn-1=(q-1)(1+q+q2+qn-1).所以bn+1-an+1=a1(q-1)(1+q+q2+qn-1)-n(q-1)=a1(q-1)(1+q+q2+qn-1-n).因?yàn)閝1, 所以qi1(i=0, 1, 2

58、, , n-1). 所以1+q+q2+qn-11+1+1=n. 所以bn+1-an+10,即bn+1an+1.題后反思本題先利用函數(shù)的圖象判斷出an+1和bn+1的關(guān)系,得到結(jié)論后,再給出證明.這樣解題,思路清晰,降低了難度.【出處：21教育名師】(二) 數(shù)列的和的求法【例2】(1) 已知數(shù)列 QUOTE 中,an=2n-3+2n,求數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和Sn.(2) 求和:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1).(見學(xué)生用書課堂本P39)處理建議對于第(1)題,可引導(dǎo)學(xué)生分析通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu);對于第(2)題,可引導(dǎo)學(xué)生先求出S1, S2, S3, S4,以便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律.規(guī)范板書

59、解(1) Sn=-1+1+3+5+(2n-3)+2+4+2n= QUOTE + QUOTE =n(n-2)+2n+1-2.(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=(-1+3)+(-5+7)+ QUOTE =2 QUOTE =n;當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=-1+(3-5)+(7-9)+ QUOTE =-1+(-2) QUOTE =-n.所以,Sn= QUOTE 題后反思根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng),或?qū)?shù)列的兩項(xiàng)(或多項(xiàng))組成一項(xiàng),將一般數(shù)列求和轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和.(三) 利用“錯位相減法”求數(shù)列的和【例3】已知cn= QUOTE ,n=1, 2, 3,Tn為數(shù)列 QUOTE 的前n項(xiàng)和,求Tn.

60、(見學(xué)生用書課堂本P40)處理建議(1) 本題中的數(shù)列 QUOTE 是一種新類型的數(shù)列,大部分學(xué)生將沒有解題思路,可讓學(xué)生先將Tn還原成各項(xiàng)和的形式,即Tn=4 QUOTE +10 QUOTE +16 QUOTE + QUOTE QUOTE .(2) 教師可以提出以下問題: 數(shù)列 QUOTE 是等差數(shù)列還是等比數(shù)列?(數(shù)列 QUOTE 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,它是由一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列而得到的新數(shù)列,我們稱這樣的數(shù)列為差比數(shù)列) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和 HYPERLINK 公式是用什么方法推導(dǎo)的?(等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程是采用倒序相加法,等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程是采用錯位